高考數(shù)學大一輪復習不等關系與不等式理蘇教版

1、 基礎知識基礎知識自主學習自主學習 題型分類題型分類深度剖析深度剖析 思想方法思想方法感悟提高感悟提高 練出高分練出高分 1兩個實數(shù)比較大小的方法 b 傳遞性ab，bc 可加性ab bc acbc acbc acb0 (nN，n1)a，b同為 正數(shù) acbd acbd anbn 3.不等式的一些常用性質(zhì) (1)倒數(shù)的性質(zhì) b0，m0，則 u思考辨析 判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)abac2bc2.() 題號答案解析 1 2 3 4 v40 km/h a1b1a2b2a1b2a2b1 解析 a1b1a2b2(a1b2a2b1) a1(b1b2)a2(b2b1) (b1b2

2、)(a1a2)， a1a2，b1b2， (b1b2)(a1a2)0， a1b1a2b2a1b2a2b1. 例1某商人如果將進貨單價為8元 的商品按每件10元銷售，每天可銷 售100件，現(xiàn)在他采用提高售價，減 少進貨量的辦法增加利潤已知這 種商品的單價每提高1元，銷售量就 相應減少10件若把提價后商品的 單價設為x元，怎樣用不等式表示每 天的利潤不低于300元？ 題型一用不等式( (組) )表示不等關系 解析思維升華 解析思維升華 解 若提價后商品的單價為x元， 例1某商人如果將進貨單價為8元 的商品按每件10元銷售，每天可銷 售100件，現(xiàn)在他采用提高售價，減 少進貨量的辦法增加利潤已知這 種

3、商品的單價每提高1元，銷售量就 相應減少10件若把提價后商品的 單價設為x元，怎樣用不等式表示每 天的利潤不低于300元？ 題型一用不等式( (組) )表示不等關系 因此，每天的利潤為(x 8)10010(x10)元， 則“每天的利潤不低于300元” 可以表示為不等式 ( x 8 ) 1 0 0 1 0 ( x 10)300. 解析思維升華 對于不等式的表示問題， 關鍵是理解題意，分清變 化前后的各種量，得出相 應的代數(shù)式，然后，用不 等式表示而對于涉及條 件較多的實際問題，則往 往需列不等式組解決 例1某商人如果將進貨單價為8元 的商品按每件10元銷售，每天可銷 售100件，現(xiàn)在他采用提高售

4、價，減 少進貨量的辦法增加利潤已知這 種商品的單價每提高1元，銷售量就 相應減少10件若把提價后商品的 單價設為x元，怎樣用不等式表示每 天的利潤不低于300元？ 題型一用不等式( (組) )表示不等關系 跟蹤訓練1已知甲、乙兩種食物的維生素A，B含量如下表： 甲乙 維生素A(單位/kg)600700 維生素B(單位/kg)800400 設用甲、乙兩種食物各x kg，y kg配成至多100 kg的混合食 物，并使混合食物內(nèi)至少含有56 000單位維生素A和62 000 單位維生素B，則x，y應滿足的所有不等關系為 _ 例2(1)已知a1，a2(0,1)，記 Ma1a2，Na1a21，則M 與N

5、的大小關系是_ 題型二比較大小 解析 答案 思維升華 MNa1a2(a1a21) a1a2a1a21 a1(a21)(a21) (a11)(a21)， 又a1(0,1)，a2(0,1)， a110，a210， 即MN0. MN. 解析 答案 思維升華 例2(1)已知a1，a2(0,1)，記 Ma1a2，Na1a21，則M 與N的大小關系是_ 題型二比較大小 解析 答案 思維升華 MNa1a2(a1a21) a1a2a1a21 a1(a21)(a21) (a11)(a21)， 又a1(0,1)，a2(0,1)， a110，a210， 即MN0. MN. 例2(1)已知a1，a2(0,1)，記 M

6、a1a2，Na1a21，則M 與N的大小關系是_ 題型二比較大小 MN 比較大小的常用方法 (1)作差法： 一般步驟：作差；變 形；定號；結論其 中關鍵是變形，常采用配 方、因式分解、有理化等 方法把差式變成積式或者 完全平方式當兩個式子 都為正數(shù)時，有時也可以 先平方再作差 解析 答案 思維升華 例2(1)已知a1，a2(0,1)，記 Ma1a2，Na1a21，則M 與N的大小關系是_ 題型二比較大小 MN (2)作商法： 一般步驟：作商；變形； 判斷商與1的大??；結 論 (3)函數(shù)的單調(diào)性法： 將要比較的兩個數(shù)作為一個 函數(shù)的兩個函數(shù)值，根據(jù)函 數(shù)單調(diào)性得出大小關系 解析 答案 思維升華

7、例2(1)已知a1，a2(0,1)，記 Ma1a2，Na1a21，則M 與N的大小關系是_ 題型二比較大小 MN 解析 答案 思維升華 解析 答案 思維升華 log8164b； 所以bc.即cbe時，函數(shù)f(x)單 調(diào)遞減 因為e34f(4)f(5)， 即cbe時，函數(shù)f(x)單 調(diào)遞減 因為e34f(4)f(5)， 即cba. cba 解析 答案 思維升華 cba 比較大小的常用方法 (1)作差法： 一般步驟：作差；變 形；定號；結論其 中關鍵是變形，常采用配 方、因式分解、有理化等 方法把差式變成積式或者 完全平方式當兩個式子 都為正數(shù)時，有時也可以 先平方再作差 解析 答案 思維升華 c

8、ba (2)作商法： 一般步驟：作商；變形； 判斷商與1的大??；結 論 (3)函數(shù)的單調(diào)性法： 將要比較的兩個數(shù)作為一個 函數(shù)的兩個函數(shù)值，根據(jù)函 數(shù)單調(diào)性得出大小關系 跟蹤訓練2 (1)如果ab0，那么下列不等式成立的是_ 解析 對于，由ab0，ab0， 跟蹤訓練2 (1)如果ab0，那么下列不等式成立的是_ 對于，由ab0，abb2，故錯誤； 對于，由ab0，a2ab， 即aba2，故錯誤； 對于，由ab0，得ab0， 跟蹤訓練2 (1)如果ab1，所以c最大 即ab，所以cab. cab 解析 思維升華 答案 題型三不等式性質(zhì)的應用 例3已知ab0，給出下列四 個不等式： 方法一由ab0

9、可得 a2b2，成立； 由ab0可得ab1，而 函數(shù)f(x)2x在R上是增函 數(shù)， f(a)f(b1)，即2a2b1， 成立； 解析思維升華 答案 題型三不等式性質(zhì)的應用 例3已知ab0，給出下列四 個不等式： 解析思維升華 答案 題型三不等式性質(zhì)的應用 例3已知ab0，給出下列四 個不等式： 解析思維升華 答案 題型三不等式性質(zhì)的應用 例3已知ab0，給出下列四 個不等式： 若a3，b2，則a3b3 35,2a2b36， a3b3b2， 2a2b1， 解析思維升華 答案 題型三不等式性質(zhì)的應用 例3已知ab0，給出下列四 個不等式： 而a3b32a2b不成立 解析思維升華 答案 題型三不等式

10、性質(zhì)的應用 例3已知ab0，給出下列四 個不等式： 而a3b32a2b不成立 解析思維升華 答案 (1)判斷不等式是否成立，需 要逐一給出推理判斷或反例 說明常用的推理判斷需要 利用不等式的性質(zhì) (2)在判斷一個關于不等式的 命題真假時，先把要判斷的 命題和不等式性質(zhì)聯(lián)系起來 題型三不等式性質(zhì)的應用 例3已知ab0，給出下列四 個不等式： 解析思維升華 答案 題型三不等式性質(zhì)的應用 例3已知ab0，給出下列四 個不等式： 考慮，找到與命題相近 的性質(zhì)，并應用性質(zhì)判 斷命題真假，當然判斷 的同時還要用到其他知 識，比如對數(shù)函數(shù)、指 數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等 中，因為baa0. 故b|a|，即|a|b0，故

11、錯誤； 中，因為baa20， 而yln x在定義域(0，)上為增函數(shù)， 所以ln b2ln a2，故錯誤 由以上分析，知正確 解析 若c0則命題不正確正確中由2c0知正確 (2)已知a，b，cR，有以下命題： 若ab，則ac2bc2；若ac2bc2，則ab；若ab，則 a2cb2c. 其中正確的是_(填上所有正確命題的序號) 易錯警示系列9不等式變形中擴大變量范圍致誤 典例：設f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，則f(2) 的取值范圍是_ 解 析易 錯 分 析溫 馨 提 醒 解題中多次使用同向不等式的可加性，先求出a，b的范 圍，再求f(2)4a2b的范圍，導致變量范圍擴大 解

12、析易 錯 分 析溫 馨 提 醒 易錯警示系列9不等式變形中擴大變量范圍致誤 典例：設f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，則f(2) 的取值范圍是_ 方法一設f(2)mf(1)nf(1) (m、n為待定系數(shù))， 則4a2bm(ab)n(ab)， 即4a2b(mn)a(nm)b， 解 析易 錯 分 析溫 馨 提 醒 易錯警示系列9不等式變形中擴大變量范圍致誤 典例：設f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，則f(2) 的取值范圍是_ 解 析易 錯 分 析溫 馨 提 醒 f(2)3f(1)f(1) 又1f(1)2,2f(1)4， 易錯警示系列9不等式變形中擴大變量范圍致誤 典

13、例：設f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，則f(2) 的取值范圍是_ 解 析易 錯 分 析溫 馨 提 醒 53f(1)f(1)10，即5f(2)10. 易錯警示系列9不等式變形中擴大變量范圍致誤 典例：設f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，則f(2) 的取值范圍是_ 解 析易 錯 分 析溫 馨 提 醒 易錯警示系列9不等式變形中擴大變量范圍致誤 典例：設f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，則f(2) 的取值范圍是_ 解 析易 錯 分 析溫 馨 提 醒 f(2)4a2b3f(1)f(1) 又1f(1)2,2f(1)4， 53f(1)f(1)10，故5f(

14、2)10. 易錯警示系列9不等式變形中擴大變量范圍致誤 典例：設f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，則f(2) 的取值范圍是_ 解 析易 錯 分 析溫 馨 提 醒 確定的平面區(qū)域如圖陰影部分， 易錯警示系列9不等式變形中擴大變量范圍致誤 典例：設f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，則f(2) 的取值范圍是_ 解 析易 錯 分 析溫 馨 提 醒 當f(2)4a2b過點B(3,1)時， 易錯警示系列9不等式變形中擴大變量范圍致誤 典例：設f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，則f(2) 的取值范圍是_ 解 析易 錯 分 析溫 馨 提 醒 取得最大值43211

15、0， 5f(2)10. 5,10 易錯警示系列9不等式變形中擴大變量范圍致誤 典例：設f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，則f(2) 的取值范圍是_ (1)此類問題的一般解法：先建立待求整體與已知范圍的整體 的關系，最后通過”一次性“使用不等式的運算求得整體范圍； (2)求范圍問題如果多次利用不等式有可能擴大變量取值范圍. 解 析易 錯 分 析溫 馨 提 醒 5,10 易錯警示系列9不等式變形中擴大變量范圍致誤 典例：設f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，則f(2) 的取值范圍是_ 方 法 與 技 巧 1用同向不等式求差的范圍 這種方法在三角函數(shù)中求角的范圍時經(jīng)常用

16、到 2倒數(shù)關系在不等式中的作用 方 法 與 技 巧 3.比較法是不等式性質(zhì)證明的理論依據(jù)，是不等 式證明的主要方法之一比差法的主要步驟：作 差變形判斷正負在所給不等式完全是 積、商、冪的形式時，可考慮比商 4.求某些代數(shù)式的范圍可考慮采用整體代入的 方法 失 誤 與 防 范 1.abacbc或abacbanbn對于正數(shù)a、b才成立. 失 誤 與 防 范 6.比商法比較大小時，要注意兩式的符號. 23456789101 1.“acbd”是“ab且cd”的_條件. 解析由同向不等式的可加性知“ab且cd”“a cbd”，反之不對. 必要不充分 2.若 0，則下列結論不正確的是_. a2b2 abb

17、2 ab|ab| 23456789101 a2b2，abb2，abB. AB 23456789101 5.設a1，且mloga(a21)，nloga(a1)，ploga(2a)，則m， n，p的大小關系為_. 解析因為a1，所以a212a(a1)20， 即a212a，又2aa1， 所以由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知loga(a21)loga(2a)loga(a1)， 即mpn. 23456789101 mpn 34567891012 6.已知a0，1b”連接) 解析由1b0，可得bb21. 又aab2a. abab2a 34567891012 解析方法一y2x22c(ab)0，yx. 同理，zy，zy

18、x. 方法二令a3，b2，c1， 34567891012 答案zyx 34567891012 8.已知a，b，c，d均為實數(shù)，有下列命題 34567891012 解析ab0，bcad0， bcad0，正確； ab0，正確.故都正確. 答案 34567891012 10.甲乙兩人同時從宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路 程跑步；乙一半時間步行，一半時間跑步；如果兩人步行、 跑步速度均相同，則誰先到教室？ 解設路程為s，跑步速度為v1，步行速度為v2， 34567891012 34567891012 t甲t乙，當且僅當v1v2時“”成立. 由實際情況知v1v2，t甲t乙.乙先到教室. 1.下列三個

19、不等式中，恒成立的個數(shù)是_. 解析當x0時，不成立. 23451 所以恒成立. 23451 答案2 2.已知alog32，bln 2，c5 ，則a，b，c的大小關系為 _.(用“”連接) 0ln 21， aln 2b，即ac， cab. 答案caABD. 23451 CA. 23451 AB(1a2)(1a2)2a20， AB. 23451 BD. 綜上所述，CABD. 答案CABD 23451 5.某單位組織職工去某地參觀學習需包車前往.甲車隊說： “如果領隊買一張全票，其余人可享受7.5折優(yōu)惠.”乙車 隊說：“你們屬團體票，按原價的8折優(yōu)惠.”這兩個車隊 的原價、車型都是一樣的，試根據(jù)單位去的人數(shù)比較兩車 隊的收費哪家更優(yōu)惠. 23451 解設該單位職工有n人(nN*)，全票價為x元，坐甲車需花 y1元，坐乙車需花y2元， 23451 當n5時，y1y2； 當n5時，y1y2； 23451 當ny2. 因此當單位去的人數(shù)為5人時，兩車隊收費同等優(yōu)惠； 當單位去的人數(shù)多于5人時，甲車隊收費更優(yōu)惠； 當單位去的人數(shù)少于5人時，乙車隊收費更優(yōu)惠. 23451 u思考辨析 判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)abac2bc2.() 跟蹤訓練2 (1)如果ab0，那么下列不等式成立的是_ 方法一設f(2)mf