《新編基礎物理學》第四章習題解答和分析

1、習題四4-1 觀察者a測得與他相對靜止的oxy平面上一個圓的面積是12 cm2，另一觀察者b相對于a以 0.8 c (c為真空中光速)平行于oxy平面作勻速直線運動，b測得這一圖形為一橢圓，其面積是多少？ 分析：本題考察的是長度收縮效應。解：由于b相對于a以勻速運動，因此b觀測此圖形時與v平行方向上的線度將收縮為，即是橢圓的短軸. 而與v垂直方向上的線度不變，仍為，即是橢圓的長軸. 所以測得的面積為(橢圓形面積) =7.2cm2 4-2 長度為1m的米尺l靜止于中，與軸的夾角系相對系沿軸運動，在系中觀察得到的米尺與軸的夾角為，試求：（1）系相對系的速度是多少？（2）系中測得的米尺的長度？分析：

2、本題考察的是長度收縮效應。根據(jù)兩個參考系下米尺的不同長度再結合長度收縮效應我們可以很方便的得到兩個參考系之間的相對速度解：（1）米尺相對系靜止，它在軸的投影分別為：米尺相對s系沿x方向運動，設運動速度為v，為s系中的觀察者，米尺在x方向?qū)a(chǎn)生長度收縮，而y方向的長度不變，即故米尺與x軸的夾角滿足將與、的值代入可得：（2）在s系中測得米尺的長度為：4-3 已知介子在其靜止系中的半衰期為。今有一束介子以的速度離開加速器，試問，從實驗室參考系看來，當介子衰變一半時飛越了多長的距離？分析：本題考察的是時間膨脹效應。根據(jù)靜止系中的半衰期加上時間膨脹效應我們可以求出在實驗室參考系中的半衰期，然后根據(jù)該半衰

3、期求出飛行距離。解：在介子的靜止系中，半衰期是本征時間。由時間膨脹效應，實驗室參系中的觀察者測得的同一過程所經(jīng)歷的時間為：因而飛行距離為：4-4 在某慣性系k中，兩事件發(fā)生在同一地點而時間相隔為。已知在另一慣性系中，該兩事件的時間間隔為，試問它們的空間間隔是多少？分析：本題考察的是時間膨脹效應以及洛倫茲變換。根據(jù)時間膨脹效應我們可以求出兩參考系的相對速度，繼而根據(jù)洛倫茲變換演化出空間間隔變換的公式求出該兩事件在s系中的空間間隔。解：在k系中，為本征時間，在系中的時間間隔為 兩者的關系為：故兩慣性系的相對速度為：由洛倫茲變換，系中兩事件的空間間隔為：兩件事在k系中發(fā)生在同一地點，因此有，故4-5

4、 慣性系相對另一慣性系沿x軸作勻速運動，取兩坐標原點重合的時刻作為計時起點。在系中測得兩事件的時空坐標分別為以及，已知在系中測得該兩事件同時發(fā)生。試問：（1）系相對系的速度是多少？（2）系中測得的兩事件的空間間隔是多少？分析：本題所考察的是洛倫茲變換的應用問題。根據(jù)洛倫茲變換在不同參考系下兩個事件的時間變換關系，我們可以很方便的得到兩個參考系之間的相對速度。有了相對速度以后，再根據(jù)洛倫茲變換的空間變換關系，我們可以得到兩事件的空間間隔。解：（1）設系相對s系的速度為v，由洛倫茲變換，系中測得兩事件的時間為：由題意，因此有其中負號表示系沿系的方向運動。（2）由洛倫茲變換，系中測得的兩事件的空間位

5、置為：故空間間隔為：4-6 （1）火箭a和b分別以的速度相對于地球向方向飛行，試求由火箭b測得的a的速度。（2）若火箭a相對地球以0.8c的速度向方向運動，火箭b的速度不變，試問a相對b的速度是多少？分析：本題考察的是洛倫茲速度變換。在火箭b為靜止的參考系中，先求出地面參考系相對此參考系的運動速度（此即為兩個參考系之間的相對速度），然后由火箭a相對地面的運動速度以及洛倫茲速度變換公式求出火箭a相對火箭b的速度。解：（1）設火箭b的靜止系為s，則地面參考系相對s的運動速度為。在地面參考系中，火箭a的運動速度為，由洛倫茲速度變換公式可得火箭a相對火箭b的運動速度為：（2）由于s系相對地面參考系以方

6、向飛行，而在地面參考系中火箭a的運動速度為。則根據(jù)洛倫茲速度變換公式在s系中火箭a的運動速度為：所以火箭a相對火箭b的速度為：4-7 靜止在系中的觀察者測得一光子沿與x 軸成60角的方向飛行，另一觀察者靜止于系中，系相對系為的速度沿x軸方向運動，試問系中的觀察者測得的光子運動方向是怎樣的？分析：本題考察的是洛倫茲速度變換。根據(jù)兩個參考系的相對速度以及光子在k系的速度，由洛倫速度變換可以求出光子在s系中的運動速度。解：已知系相對k系的速度為，光子速度為c，在k系中的運動方向為與x軸成60角，因此該光子在k系中的速度為。所以在系中光子的運動速度為：令該光子在系中的運動方向與x軸成角，則有：4-8

7、子的靜止質(zhì)量是電子靜止質(zhì)量的207倍，靜止時的平均壽命，若它在實驗室參考系中的平均壽命，試問其質(zhì)量是電子靜止質(zhì)量的多少倍？分析：本題考察的是時間膨脹效應和相對論質(zhì)量問題。根據(jù)時間膨脹效應我們可以求出該粒子在實驗室參考系中的運動速度，然后根據(jù)該速度可以求出速度下的相對論質(zhì)量。解：設子在實驗室參考系中的速度為、質(zhì)量為，依題意有：將的值代入得：當子速度為時其質(zhì)量為：4-9 一物體的速度使其質(zhì)量增加了10%，試問此物體在運動方向上縮短了百分之多少？分析：本題涉及的是相對論質(zhì)量和長度以收縮問題。根據(jù)質(zhì)量與靜止質(zhì)量之比可以求出該物體的運動速度，然后根據(jù)速度可以求出該物體在運動速度方向上的長度收縮。解：設物

8、體速度為、質(zhì)量為、長度為，靜止質(zhì)量和長度分別為和，依題意有：因此，根據(jù)長度收縮效應有：所以在運動方向上縮短了：4-10 一電子在電場中從靜止開始加速，試問它應通過多大的電位差才能使其質(zhì)量增加0.4%？此時電子速度是多少？（電子的靜能為0.511mev.）分析：此題考察的是相對論質(zhì)量與速度之間的關系。根據(jù)相對論質(zhì)量公式可以很方便的求出電子的運動速度，再根據(jù)能量守恒，求出加速所需的電位差。解：設電子速度為、質(zhì)量為，靜止質(zhì)量為，所加的電位差為u。依題意有：所以此時電子的速度為：根據(jù)能量守恒，有：4-11 已知一粒子的動能等于其靜止能量的n倍，試求該粒子的速率。分析：該題考察的是相對論的質(zhì)能關系式。根

9、據(jù)粒子的動能和靜能比可以求出該粒子總能量和靜能之比，這個比值也就是該粒子的質(zhì)量與靜止質(zhì)量之比，根據(jù)相對論質(zhì)量與速度的關系式，我們可以求出該粒子的速率，從而求出該粒子的動量。解：依題意有：所以其質(zhì)量與靜止質(zhì)量之比為：根據(jù)相對論質(zhì)量與速度的關系有：所以該粒子的速度為：4-12 一靜止的粒子（質(zhì)量為），裂變成兩個粒子，速度分別為。求裂變過程的靜質(zhì)量虧損和釋放出的能量。分析：該題涉及到質(zhì)量虧損的概念和動量守恒定律。由于反應后的兩個粒子的質(zhì)量未知，因此我們可以根據(jù)兩個粒子之間的速度關系推導出二者的質(zhì)量比，又由于該兩個粒子的總動能來源于該反應的靜質(zhì)量虧損，因此結合反應后兩個粒子的質(zhì)量比以及各自的速度大小，

10、我們可以求出該反應的質(zhì)量虧損，從而求出該反應所釋放的能量。解：設反應后兩粒子的質(zhì)量分別為、，則根據(jù)動量守恒定律有：（1）反應前后總的能量守恒，所以有：（2）將（1）式代入（2）式，得：所以反應前后的靜質(zhì)量虧損為：釋放出的能量為：4-13 試求靜止質(zhì)量為的質(zhì)點在恒力f作用下的運動速度和位移。在時間很短（）和時間很長（）的兩種極限情況下，速度和位移值又各是多少？分析：根據(jù)力和動量的關系，經(jīng)過積分后我們可以求解在恒力作用下的力與速度之間的關系，經(jīng)過再次積分，可以得到位移和力的關系。解：由于力代表的是動量的變化率，因此有：將上式積分，由于力為恒力與時間無關，再代入初始條件（起始時為靜止，即初速度為零）

11、可得：因此可得速度與力之間的關系式：將上式再積分，并假定起始時所處位置為坐標原點，可得位移與力之間的關系：當時，有：當時，有：4-14 在原子核聚變中，兩個原子結合而產(chǎn)生原子。試求：（1）該反應中的質(zhì)量虧損為多少？（2）在這一反應中釋放的能量是多少？（3）這種反應每秒必須發(fā)生多少次才能產(chǎn)生1w的功率？已知原子的靜止質(zhì)量為原子的靜止質(zhì)量為。分析：已知反應前后各種反應物和生成物的質(zhì)量，我們可以很方便的求出反應前后的質(zhì)量虧損，并據(jù)此求出反應所釋放的能量。解：反應的質(zhì)量虧損為：該反應所釋放的能量為：要達到1w的功率需要每秒鐘反應的次數(shù)為：4-15 當一個粒子所具有的動能恰好等于它的靜能時，試問這個粒子

12、的速度有多大？當動能為其靜能的400倍時，速度有多大？分析：粒子的總能量可以用粒子的動質(zhì)量與光速的平方的乘積來表示，而粒子的靜能則等于粒子的靜質(zhì)量與光速的平方的乘積，因上我們可以很方便的把粒子的動能和靜能之比用粒子的速度表示出來。解：根據(jù)粒子的質(zhì)量和速度之間的關系可得：所以粒子的總能與靜能之比為：又該粒子的總能等于動能與靜能之和，所以該粒子的動能與靜能之比為：所以當動能等于靜能時，有：當動能等于靜能的400倍時，有：4-16同位素核由兩個質(zhì)子和一個中子組成，它的靜質(zhì)量為。（1）以為單位，的靜能為多少？（2）取出一個質(zhì)子使成為（靜質(zhì)量為）加一個質(zhì)子（靜質(zhì)量為），試問需要多少能量？分析：本題涉及的

13、是靜能以及質(zhì)量虧損的概念。粒子的靜能由粒子的靜質(zhì)量與光速的平方的乘積表示；而反應前后總能量守恒的要求指明反應進行需要的能量由反應前后的質(zhì)量虧損所決定。解：靜能為：當從同位素氦核中取出一個質(zhì)子時，此時質(zhì)量虧損為：所以反應需要能量為：4-17 把一個靜止質(zhì)量為的粒子由靜止加速到0.1c所需的功是多少？由速率0.89c加速到0.99c所需的功又是多少？分析：此題涉及到的是粒子的總能量與速度之間的關系。根據(jù)能量守恒定律，通過計算任一速度下的總能量即可求出從該速度下再增加0.1c的速度所需要做的功。解：粒子的靜能量為：速度為0.1c時，該粒子的總能量為：因此將粒子由靜止加速到0.1c所需要做的功為：同理粒子在速度為0.89c和0.99c時的總能量分別為： 所以將粒子由0.89c加事到0.99c時所需做的功為4-18 兩個靜止質(zhì)量都是的小球，其中，一個靜止，另一個以運動，在它們做對心碰撞后粘在一起，求碰后合成小球的靜止