第三章解題技巧§1合理選擇研究對(duì)象,盡可能地減少中間未知量

1、第二章解題技巧評(píng)價(jià)解題方法的優(yōu)劣，有兩條標(biāo)準(zhǔn)：一是物理概念清楚；二是解題簡(jiǎn)便。同一道題，有的解得很繁，物理意義也不容易看得明白故見(jiàn)暗有的沒(méi)有幾步就作出來(lái)了， 物理意義也十分清楚。這里就存在一個(gè)十分重要的技巧問(wèn)題。解物理習(xí)題的技巧，概括起來(lái)主要有以下幾條：1、合理選擇研究對(duì)象，盡可能地減少中間未知量；2、根據(jù)獨(dú)立性作用原理，把復(fù)雜問(wèn)題拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單的，而后用疊加原理求解；3、靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)工具。1合理選擇研究對(duì)象，盡可能地減少中間未知量解題忡的未知量，一種是待求的，另一種是非待求的一俗稱中間未知量。對(duì)于中間未知 量又可分為兩類：一類是是不可避免的，另一類是可以設(shè)法避免的。由于中間未知量的出現(xiàn)，必然增

2、加解方程的繁難，因此，對(duì)于可以設(shè)法避免的中間未知量，應(yīng)該想方設(shè)法避免它。合理選擇研究對(duì)象，是減少中間未知重要渠道之一。例如，用隔離法解力學(xué)題時(shí)，選擇隔離體中就有一條：在獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù) 的前提下，隔離體的數(shù)目應(yīng)盡可能地少。最佳情況是：隔離體的數(shù)目等于待求的未知量的數(shù) 目，此時(shí)中間未知量一個(gè)也沒(méi)有出現(xiàn)。又如，氣態(tài)變化過(guò)程的習(xí)題，有時(shí)由于研究對(duì)象選擇 不合理，中間未知量可能多了幾個(gè)。因此減少中間未知量的問(wèn)題一個(gè)重要問(wèn)題。還有簡(jiǎn)諧振 動(dòng)中合理選擇勢(shì)能零點(diǎn)，力矩平衡問(wèn)題中合理選擇轉(zhuǎn)軸，也都是減少中間未知量的重要措施。茲舉例說(shuō)明：例1 起重機(jī)用鋼絲繩吊起一質(zhì)量為 m的物體，以速度v0作勻速下

3、降（圖3-1-1）問(wèn)當(dāng) 起重機(jī)突然剎車時(shí)，物體因 慣性繼續(xù)下降，使鋼絲繩再 有微小伸長(zhǎng)是多少？（設(shè)鋼絲繩的彈性系數(shù)為 k,鋼絲 繩的重量忽略不計(jì)。）？這樣 突然剎車后，鋼絲繩所受的 最大拉力將有多大？分析把物體、地球和鋼絲繩組成的系統(tǒng)作為研究對(duì)象，重力、繩子拉力都是保守力。電動(dòng)機(jī)拉繩的力是外力， 但它的作用點(diǎn)的位移為零，故不作功，所以該系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒定律。一 1 2 1 2剎車瞬間的機(jī)械能為 mghkx（）mv0 ,最大伸長(zhǎng)時(shí)的機(jī)械能為2 21 2-k X） h 0 0。在此，把自然伸長(zhǎng)處。作為彈性勢(shì)能的零點(diǎn)。在最大伸長(zhǎng)時(shí)作為重力勢(shì)能的零點(diǎn)選擇，這樣零點(diǎn)的選擇，說(shuō)明重力時(shí)一定要談繩子伸長(zhǎng)；

4、說(shuō)明繩伸長(zhǎng)時(shí)，也要一定談重力。能否不考慮重力和伸長(zhǎng)x0，從而使計(jì)算簡(jiǎn)便些呢？取物體和繩子作為研究對(duì)象（注意不包括地球!）因此物體的重力成為外力了。但是考慮到重力和繩子的彈力 kx0相平衡，可把繩二重物時(shí)作為繩自然狀態(tài)。這樣仍可有機(jī)械能守恒定律:1剎車瞬間的機(jī)械能為：一mv： 0 ；21 2最大伸長(zhǎng)處的機(jī)械能為：0 kh21 2 1 2 1 2 即 0 k hm0v 0 =02 2 2研究對(duì)象的這種選擇當(dāng)自然方便多了営N;作用于A點(diǎn)并與地面相垂直例2均勻立方體的 A的中點(diǎn)E靠在一個(gè)光滑的球 冠上，AD與水平面間的夾角為15。如立方體不發(fā)生滑 動(dòng)，立方體的A點(diǎn)與間的靜摩擦因數(shù) 應(yīng)為多大？（圖 3-

5、1-2）分析這一一個(gè)力的平衡問(wèn)題。以立方體為研究對(duì)象， 它共受四個(gè)力的作用： 作用于 重心O的重力G;與AD垂直且通過(guò)重心的球冠的支撐力的向上的支撐力 N1；作用于A點(diǎn)，方向向右的地面的靜摩擦力。當(dāng)靜摩擦因數(shù)為最小值時(shí),這一靜摩擦力為最大靜摩擦力Fm。解法一這立方體的邊長(zhǎng)為a,根據(jù)剛體的平衡條件：FmNsi n150 =0（1）Ncos1H M-GrO（2）a G 二 acos60 =02 2解方程組得：tsi n150V3/2-cos15 3上述(3)式是以A為轉(zhuǎn)軸，其力矩的代數(shù)和為零。轉(zhuǎn)軸的選擇是任意的。選A為轉(zhuǎn)軸比選E為轉(zhuǎn)軸要簡(jiǎn)便。因?yàn)橐?A為轉(zhuǎn)軸時(shí)，Ni及F兩個(gè)力的力矩都等于零。A、E

6、是立方體的兩個(gè)支持點(diǎn)，比較得到以A或E為轉(zhuǎn)軸。但是不定非選A或E不可。如果選取重心 O為轉(zhuǎn)軸，則只要一個(gè)方程就可求出 ，因?yàn)橹匦腛 是N與G的交點(diǎn)。解法二取重心 O為轉(zhuǎn)軸，根據(jù)力矩平衡有:a sin 60 - N1a cos60得：T33這種解法有兩個(gè)好處:一是省去了兩個(gè)方程，二是最后的答案無(wú)無(wú)原則查表，就能知道600角的斜切值。解法一中的答案中出現(xiàn) sin 150、cos150，還得查表計(jì)算，顯然要麻煩多了。例3 長(zhǎng)為丨的均勻直桿 AB，重量為G,用光滑的活 動(dòng)鉸鏈固定在 A點(diǎn)，B端擱在小車上。如果要使小車向右發(fā)生 運(yùn)動(dòng)，至少必須用多大的水平力拉小車？設(shè)桿與小車間的摩擦 因數(shù)為卩，桿與直線的

7、夾角為0，車輪與地面及軸間摩擦不計(jì)(圖 3-1-3)。解向右拉時(shí)，設(shè)水平拉力為F。要使小車向右發(fā)生運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)至少應(yīng)與桿、車間的摩擦力f二JQ相等。式中的正壓5-1-S力Q尚不知道。Q不是桿的重量，因?yàn)榫蜅U而言，在豎直方向共受 G、Q和鉸鏈作用力的作用，在此方向三力的合力為零，如列一方程，則因Q及鉸鏈的作用力都不知道，所以正壓力仍然求不出。能否將鉸鏈的作用力排除在方程之外，又能將Q從一個(gè)方程中一次就解出呢？可以讓我們把桿隔離出來(lái)。畫(huà)出受力圖3-1-4 :其中Fax、FAy為鉸鏈作用力的兩個(gè)分力。由于恰好拉動(dòng)小車時(shí)可以把桿 AB看為處于轉(zhuǎn)動(dòng)的平衡狀態(tài)，即合力矩為零，心可以任意選取，但一般選在使中間未

8、知量盡可以盡可能地少的。這是有關(guān)轉(zhuǎn)動(dòng)平衡問(wèn)題中經(jīng)常采用的一個(gè)技巧。按此原則，我們選在A點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，這樣 Fax、FAy對(duì)A點(diǎn)的力矩為零，就把鉸鏈作用力這個(gè)中間未知量排除在力矩平衡方程之外了。力矩平衡方程為：1G sin v - QI sin v - Fl cos 02于是可得：AGs in 日2 sin1 cos由上可見(jiàn)，Q這個(gè)中間未知量是不可避免的，而鉸鏈作用力這個(gè)中間未知量卻因巧選矩 心而排除了，因而為解題帶來(lái)了不少方便。例4如圖3-1-5所示質(zhì)量分別為imi、m2的兩個(gè)球，用彈簧連在一起，且以長(zhǎng)為|1的線拴在軸o上，m、m2均 以角速度3繞軸作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)兩球之間距離為l2時(shí)，將線

9、燒斷，試求線被燒斷時(shí)的瞬間兩球的加速度a和a2（彈簧和線的質(zhì)量忽略不計(jì)）。分析在勻速圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，球m受到繩子的張力 t和彈簧的作用力f的作用，用T - f為m提供向心力；球只受彈簧力f的作用。在連線燒斷的瞬間， 球m2突然失去了 繩子的拉力T,但由于彈性，彈簧維持原狀，即彈力f不變。牛頓第二定律具有瞬時(shí)性，連線燒斷瞬間球m的加速度由f決定，即：f = kx 二 m1a1式中k彈簧的彈性系數(shù)；x 彈簧的伸長(zhǎng)。球m,在連線燒斷瞬間，仍由 f二kx產(chǎn)生加速度a2，即：kx = m2a2要求出a和a2，必須求出x。這時(shí)把m2作為研究對(duì)象，當(dāng)它以 3旋轉(zhuǎn)時(shí)，有:2kx 二 m2li I22m2（h

10、+l2 ）X k如果選擇m為研究對(duì)象，則:可要求出x還得求T，多了一個(gè)中間未知數(shù)，所以為了求出a1和a，將m2為研究對(duì)象為宜。解在連線燒斷瞬間，有:kx 二 m1a2kx 二 m2a22kx = m2 l1 l22aim 111 l22m2 l1 l2 2 l ,a2l1 l2m2團(tuán)IV例 5如圖 3-1-6 所示，兩板 m, =5kg、m2 = 10kg , 鉛球的質(zhì)量M =20kg。設(shè)繩子不伸長(zhǎng)，繩子、滑輪的質(zhì) 量及一切摩擦不計(jì)。試求鉛球的加速度。分析因?yàn)槔K子不伸長(zhǎng)，繩子、滑輪的質(zhì)量及一切摩擦不計(jì)，因此，鉛球與兩板的加速度是相等的，而且可 以將問(wèn)題簡(jiǎn)化:為了求出M的加速度，將 M隔離，它受

11、兩個(gè)張力和一個(gè)重力，列出運(yùn)動(dòng)方程，式中除了加速度外，兩個(gè)張力是中間未知量，為此還得將m、m2分別隔離出來(lái)再列出兩個(gè)方程。這樣三個(gè)方程聯(lián)立求得：Mg202a10 = 5.7 m/sm1 m2 M 20 10 5由上式可以得到啟發(fā)：為了求a,可將m, m2 M整體看成一個(gè)系統(tǒng)， 該系統(tǒng)只受重力Mg （張力是內(nèi)力）的作用，幫按牛頓第二定律即可得上式。例6質(zhì)量為M的物體A在離平板B為h高度處自由下落， 打在B上，B的質(zhì)量與A相等，B裝置在彈性系數(shù)為 K的彈簧上。 設(shè)A與B發(fā)生完全非彈性碰撞。試求碰撞后彈簧被壓縮的長(zhǎng)度S （圖 3-1-7）。解法一該題分為三個(gè)物理過(guò)程: A自由下落過(guò)程：選擇A與地球?yàn)橄?/p>

12、統(tǒng)，因?yàn)橥饬外=0，非保守內(nèi)力功A內(nèi)=0，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒：.1 2mgh= mv0V。= 2gh（1） A與B發(fā)生完全非彈性碰撞過(guò)程：選擇A、B為研究系統(tǒng)。由于A、B碰撞時(shí)的沖擊力（內(nèi)力）比重力、彈簧對(duì)B的豎直作用 力（外力大得多，故有 a F外=0，據(jù)此系統(tǒng)滿足動(dòng)量守恒定律:M M V 二 Mv0（2） A、B 一起作簡(jiǎn)諧振動(dòng)過(guò)程：取A、B、彈簧、地球?yàn)檠芯繉?duì)象。因?yàn)锳外=0, A內(nèi)=0 ,所以系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒定 律。如取最低點(diǎn) R為重力勢(shì)能的零點(diǎn)、取彈簧的自由長(zhǎng)度為彈性勢(shì)能的零點(diǎn)。則:1 2 1 2E1M M V2kx(2M M gs1 , 2E2k X0 s2式中x0為A未與

13、B碰撞前對(duì)彈簧的壓縮量，滿足Kx0二Mg;E1 二 E2KS2-2MgS-Mgh =0解此方程有：Mg 士 J(Mg f +MgkhS -k取“+”得:S Mg + J( Mg j + Mgkh解法二 第一、第二過(guò)程同上，得 A、B的共同速度為:第三過(guò)程用簡(jiǎn)諧振動(dòng)知識(shí)解:簡(jiǎn)諧振動(dòng)過(guò)程中，滿足機(jī)械能守恒定律，選O點(diǎn)為平衡位置，則系統(tǒng)的總勢(shì)能為丄kx2。2故有:1 2 -2M V1 2 1 2 2-kx2R2OR22 2式中x =些考慮到式（1），有:kOR =右 J(Mg2i 亠 Mgkh因此彈簧的總壓縮量為:S = x OR 二丄 Mg Mg $ Mgkhk例7有容積為1升和2升的容器在各一個(gè)

14、，內(nèi)儲(chǔ)空氣，并用一毛細(xì)管相連接。最初 把這兩個(gè)容器浸在 00C的水中，最后把2升的容器用1000C的水蒸汽包圍（1升容器的溫度不變）。如果兩的初審取初壓強(qiáng)都為1atm。問(wèn)最后壓強(qiáng)多大？（設(shè)容器的膨脹、毛細(xì)管的傳熱都忽略不計(jì)）。解法一設(shè)兩容器中空氣的初始質(zhì)量分別為M。則PMM2REP2申REM； M M1 M2R (Vi +V2)RT-_ R(M+V2)fM V2丿7 t2=t1(1+2)P2；廠胡.21atm273 1273 273丿加上質(zhì)量守恒，F(xiàn)是題目要求在上述解題過(guò)程中，理想氣體狀態(tài)方程對(duì)兩個(gè)容器的始末狀態(tài)各用兩次, 共得五個(gè)方程。五個(gè)方程中有五個(gè)未知數(shù)都可以求出。但是，其中只有一個(gè) 的

15、，其它四個(gè)都是中間未知量。能否通過(guò)合理選擇研究對(duì)象，將中間未知量減少呢?解法二設(shè)兩個(gè)容器中的氣體分子數(shù)為N，根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程有：R(v； +V2 =NkTklR(V；+V2)(1)N =kT分別對(duì)兩個(gè)容器的末狀態(tài)應(yīng)用理想氣體狀態(tài)方程有：RV2 = N；kT；(2)RV； = N2kT2 二 N - N； kT2(3)由式(1)至并注意到N N2得:V1V2=1.21 atm四個(gè)方程中有四個(gè)未知數(shù)，因此方程也解出來(lái)了。但四個(gè)未知數(shù)中，還有兩個(gè)是中間未 知量。能設(shè)法進(jìn)一步減少方程和中間未知量嗎？解法三假設(shè)所研究的對(duì)象是圖3-1-8中大容器畫(huà)陰影的部分和小容器的全部，對(duì)于畫(huà)陰影部分的氣體來(lái)說(shuō)，體

16、積從 、2=2- N，膨脹為2升，壓強(qiáng)從R =1atm變?yōu)镻2,溫度從T, =273K增加到T2 -373K，于是根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程有：R 2- ：VF2 2 2(1)273373對(duì)于剩下的那部分氣體，其初狀態(tài)為：F =1atm,T, =273K,V, =1+AV ；末狀態(tài)為:T2訂273K,V2 =1升,P2 =?。于是根據(jù)玻意耳一馬略特定律有:11 V 二 F2 1(2)聯(lián)立、兩式即可得：F2 =1.21 atm方程的未知數(shù)越少，解題越方便。能否只列出一個(gè)方程就把P2這個(gè)未知數(shù)求出來(lái)？解法四把大容器整個(gè)系統(tǒng)作為研究對(duì)象。初狀態(tài)為P、U+V人；末狀態(tài)分為兩部分，其壓強(qiáng)都為 P2，溫度和體積分別為