三角函數(shù)倍角公式（經(jīng)典實(shí)用）

1、三角函數(shù)倍角公式復(fù)習(xí)重點(diǎn):二倍角公式 二倍角的正弦公式：sin2A2sinAcosA二倍角的余弦公式：cos2Acos2Asin2A2cos2A112sin2A二倍角的正切公式：tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga對公式的再認(rèn)識： (1) 適用范圍：二倍角的正切公式有限制條件：Ak且A (kZ)； (2) 公式特征：二倍角公式是兩角和的正弦、余弦和正切公式之特例；二倍角關(guān)系是相對的。(3) 公式的靈活運(yùn)用：正用、逆用、變形用。復(fù)習(xí)難點(diǎn):倍角公式的應(yīng)用 復(fù)習(xí)內(nèi)容: 小結(jié)：倍角公式：sin2A2sinAcosAcos2Acos2Asin2A2cos

2、2A112sin2Atan2A化“1”公式（升冪公式）1sin2A(sinAcosA)2，1sin2A(sinAcosA)21cos2A2cos2A1cos2A2sin2A降冪公式cos2Asin2A二倍角公式是兩角和公式的特殊情況，即: 由此可繼續(xù)導(dǎo)出三倍角公式.觀察角之間的聯(lián)系應(yīng)該是解決三角變換的一個關(guān)鍵.二倍角公式中余弦公式有三種形式，采用哪種形式應(yīng)根據(jù)題目具體而定. 倍角和半角相對而言，兩倍角余弦公式的變形可引出半角公式.推導(dǎo)過程中可得到一組降次公式，即， 進(jìn)一步得到半角公式: 降次公式在三角變換中應(yīng)用得十分廣泛，“降次”可以作為三角變換中的一個原則.半角公式在運(yùn)用時一定要注意正、負(fù)號

3、的選取，而是正是負(fù)取決于所在的象限.而半角的正切可用的正弦、余弦表示，即:.這個公式可由二倍角公式得出，這個公式不存在符號問題，因此經(jīng)常采用.反之用tan也可表示sin, cos, tan，即: ，這組公式叫做“萬能”公式. 教材中只要求記憶兩倍角公式，其它公式并沒有給出，需要時可根據(jù)二倍角公式及同角三角函數(shù)公式推出. 例1推導(dǎo)三倍角的正弦、余弦公式 解:sin3=sin(2+) cos3=cos(2+) 例2利用三倍角公式推導(dǎo)sin18的值. 解: sin36=cos54, 2sin18cos18=4cos318-3cos18 cos180 2sin18=4cos218-3 2sin18=4

4、-4sin218-3 4sin218+2sin18-1=0 . 本題還可根據(jù)二倍角公式推出cos36. 即. 例3化簡求值:(1) csc10-sec10(2) tan20+cot20-2sec50 解:(1) csc10-sec10 (2) tan20+cot20-2sec50 例4求:sin220+cos250+sin30sin70 解:sin220+cos250+sin30sin70 例5已知:.求: cos4+sin4的值. 解:, , 即， 即 ， cos4+sin4 例6求cos36cos72的值. 解:cos36cos72 例7求:的值. 解: 上述兩題求解方法一致，都是連續(xù)應(yīng)用

5、二倍角的正弦公式.而能采用這種方法求值的題目要求也是嚴(yán)格的，要滿足（1）余弦相乘，（2）后一個角是前一個角的兩倍，（3）最大角的兩倍與最小值的和（或差）是.滿足這三個條件即可采用這種方法. 例8已知:2cos=1+sin，求. 方法一: 2cos=1+sin， 或， , , 或 =2. 方法二: 2cos=1+sin， , , 或 , 或 =2. 例9已知:，求:tan的值. 解:， ， 0, , (1)當(dāng)時, ， 則有,， ， ， . (2)當(dāng)，則有 ， ， ，. 注意:1與sin在一起時，1往往被看作，而1與cos在一起時，往往應(yīng)用二倍角余弦公式把1去掉. 例10已知:sin, sin, cos為等差數(shù)列;sin,sin, cos為等比數(shù)列.求證:2cos2=cos2. 證明: ， 4sin2=1+2sin2 2-4sin2=2-1-2sin2 2cos2=cos2. 課后練習(xí): 1若，則（ ）. A、PQB、PQC、P=QD、PQ= 2若A為ABC的內(nèi)角，則cos2A=（ ）. A、B、C、D、 3若，則sin2=（ ）. A、B、C、D、 4若，則sin=（ ）. A、B、C、D、- 5若，則=（ ）. A、B、C、1D、-1 6若，則cos=_. 7. 若為第二象限角，且，則=_.8已知sinA+c