無窮小及其應(yīng)用

1、無窮小及其應(yīng)用杜雪梅（西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充） 【摘要】無窮小量在分析學(xué)的早期發(fā)展中起著不可或缺的作用,它是大學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的概念之一。無窮小量在很多方面都有著廣泛的應(yīng)用，譬如判斷級(jí)數(shù)的斂散性、廣義積分、求函數(shù)的極限運(yùn)算等，它的存在推動(dòng)了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展。本文提出無窮小量的重要性，并從其定義出發(fā)，闡述無窮小量的相關(guān)概念，歸納總結(jié)了它的基本性質(zhì)并加以說明，同時(shí)通過理論講述和具體實(shí)例相結(jié)合的方式展示了無窮小量在各個(gè)方面的運(yùn)用，從而幫助讀者更好的理解無窮小并掌握其應(yīng)用。【關(guān)鍵詞】無窮小量；極限；正項(xiàng)級(jí)數(shù)；廣義積分；小量分析Abstract: Infinitesimal plays a

2、n integral role in the early development of analytics, it is the university one of the most important mathematical concepts. Infinitesimal in many ways have a wide range of applications, such as judgment of convergence and divergence of series、 generalized integrals、 limits of operation and other fu

3、nctions, its existence promoted the development of mathematical sciences. In this paper the importance of infinitesimal, and from its definition, describes related concepts of infinitesimal, summarizes its basic properties and explained, combined with about the theory and examples show application o

4、f Infinitesimal in all aspects, so as to help the readers better understand infinitesimal and master the application.Keywords: Infinitesimal; limit; Positive Series; generalized integral; a small amount of analysis一、概述17世紀(jì)，無窮小量隨著近代力學(xué)的需要登上了歷史的舞臺(tái)。然而，作為分析學(xué)的基礎(chǔ)，無窮小以其無限的神秘帶給了數(shù)學(xué)界幾百年來激烈的爭論，終于在19世紀(jì)，柯西最偉大的數(shù)學(xué)家

5、之一，把微積分建立在極限的基礎(chǔ)上，使微積分體系“嚴(yán)密”化，從而揭開了數(shù)學(xué)嚴(yán)格化運(yùn)動(dòng)的序幕。于是，極限概念成為微積分的理論基礎(chǔ)，其中幾個(gè)重要概念如導(dǎo)數(shù)、積分、級(jí)數(shù)都是用極限來定義的，因此極限概念對(duì)于微積分的重要性怎么強(qiáng)調(diào)都不為過。正如極限對(duì)于微積分，無窮小在極限中扮演者同等重要的角色，這是因?yàn)樗袠O限的討論都可以歸結(jié)到無窮小，所以充分而全面的理解無窮小且良好掌握其應(yīng)用，對(duì)于學(xué)好極限以至微積分都有著至關(guān)重要的作用。二、無窮小量的相關(guān)內(nèi)容1 無窮小量的概念1. 設(shè)an為數(shù)列，如果對(duì)于任意給定的正數(shù),都存在正整數(shù)N，使得當(dāng)nN時(shí)，不等式|an|N時(shí)，恒有，性質(zhì)2 無窮小量乘以有界變量為無窮小量。證明：

6、又設(shè)是當(dāng)xx0時(shí)的無窮小，性質(zhì)3 當(dāng)x時(shí)（此處代表點(diǎn)x0或，下文同），函數(shù)f(x)A等價(jià)于f(x)-A是當(dāng)x時(shí)的無窮小量，或等價(jià)于f(x)=A+,其中是x時(shí)的無窮小量。性質(zhì)4 如果f是x時(shí)的無窮小量，那么|f|也是x時(shí)的無窮小量，反之亦然。性質(zhì)5 若f是x時(shí)的無窮小量，且f0,則1/f是x時(shí)的無窮大量。性質(zhì)6 當(dāng)x時(shí)，若f/ga存在，且g是無窮小量，則f也是無窮小量。性質(zhì)7 設(shè)f，g均是x時(shí)的無窮小量，則。性質(zhì)8 若f(x)g(x)(xx0),則存在去心領(lǐng)域U0(x0),使得當(dāng)xU0(x0)時(shí)f(x)與g(x)同號(hào)，即go(g)與g(x)同號(hào)。（結(jié)論易由極限的保號(hào)性得知）性質(zhì)9 【4】設(shè)函數(shù)f

7、，g，h在U0(x0)上有定義，且f(x)g(x)(x).()當(dāng)x時(shí)，若f(x)h(x)A,則g(x)h(x)A;()當(dāng)x時(shí)，若h(x)/f(x)B,則h(x)/g(x)B.性質(zhì)10 4設(shè)x時(shí)，ff1,gg1,則（）當(dāng)f/g-1時(shí)，有fgf1g1;（）當(dāng)f/g1時(shí)，有f-gf1g1.性質(zhì)的幾點(diǎn)注意事項(xiàng)：（1）性質(zhì)1可以推廣到有限個(gè)無窮小量之和、差、乘積，結(jié)論依然成立，但換成無限個(gè)則不一定成立；（2）由性質(zhì)5可以看出，極限與無窮小之間存在著密切的關(guān)系，利用該性質(zhì)可求出函數(shù)的表達(dá)式；（3）運(yùn)用f=g極限的乘積運(yùn)算法則易證性質(zhì)6；（4）由性質(zhì)9可得到一種求極限的重要方法等價(jià)無窮小量代換求極限，該方法

8、使得求極限更加簡單容易.但要注意利用此方法求極限時(shí)，只有對(duì)所求極限式中相乘或相除的因式才能用等價(jià)無窮小量來代換，而對(duì)相加或相減部分則不能隨意代換，比如其正確值為，而不能由x(x0), x(x0)得值為0，；（5）性質(zhì)10是等價(jià)無窮小代換法的推廣，利用性質(zhì)9可證得結(jié)論。（五） 洛畢達(dá)法則 若函數(shù)f和g滿足： 1.； 2. 在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且的導(dǎo)數(shù)不為0； 3. （可為實(shí)數(shù)，也可為或）則 .三、無窮小量在多個(gè)方面的應(yīng)用（一）在極限求解相關(guān)方面中的應(yīng)用無窮小量在極限求解的過程中有著非常廣泛的應(yīng)用，其中利用無窮小量的等價(jià)代換法求極限是最常用的，如果能夠靈活巧妙地運(yùn)用此方法，那么復(fù)雜困難的

9、求極限問題將變得簡單明了。1.一般極限運(yùn)算中例1已知 =2，求。解：由1-cosxx2(x0)和性質(zhì)9，得=1，再由性質(zhì)5，得=1+=1+，其中0（x0）,又x-(1+x)x2(x0) 2x-(1+2x)2x2, 2(x0),故所求極限值為3。例2利用等價(jià)無窮小量代換求極限。解：由于tan-sin=(1-cosx)，而sinx(x0),1-cosx(x0),sinx3x3(x0),故有=。例3求極限。解：由x0時(shí)sin5x5x,tan2x2x,ln(1+x)x及等價(jià)無窮小代換法和性質(zhì)10，得原式=3。2.冪指函數(shù)極限中求解冪指函數(shù)極限的常用方法是利用恒等變換u(x)v(x)=e將其轉(zhuǎn)化成指數(shù)函

10、數(shù)，然后運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性求極限，但是形如00，0，1等類型的不定式極限，可以直接運(yùn)用洛必達(dá)法則或等價(jià)無窮小代換法來求解。為了讓讀者更能看懂下列實(shí)例，這里給出一些重要的定理并加以簡單證明，方便讀者理解。定理1設(shè)在x=x0的某去心領(lǐng)域內(nèi)，函數(shù)f(x)與g(x)連續(xù)，且f(x)0，f(x)=A, g(x)=B,則f(x)g(x)=AB.證明：f(x)g(x)= =,由于f(x)=A, g(x)=B，所以f(x)g(x)= =()B=AB.定理2【5】設(shè)在點(diǎn)x=x0的某去心領(lǐng)域內(nèi)，函數(shù)f(x)與g(x)連續(xù)，,f(x)0，且當(dāng)xx0時(shí)，g(x)與h(x)為等價(jià)無窮小量，即g(x)h(x),則f(x

11、)g(x)= f(x)h(x).證明：則f(x)g(x)= =，因?yàn)楫?dāng)xx0時(shí)，g(x)h(x)，即=1，所以=，所以f(x)g(x)= =f(x)h(x)。定理3設(shè)在點(diǎn)x=x0的某去心領(lǐng)域內(nèi)，函數(shù)f(x)與g(x)連續(xù)，f(x)0，且當(dāng)xx0時(shí)，f(x)1,g(x),則f(x)g(x)= 。例4求極限解：由于當(dāng)x0時(shí)，1-cosx,故由定理2可得，原式=，再由定理3可得=e所以= e。例5求極限解：當(dāng)x0+時(shí)，sin xtan .所以=e0=13.求代數(shù)和極限中前面在介紹無窮小量的性質(zhì)時(shí)已經(jīng)提到，利用等價(jià)無窮小量代換求極限，只有對(duì)所求極限式中相乘或相除的因式才能用等價(jià)無窮小量來代換，而對(duì)相加

12、或相減部分則不能隨意代換。其實(shí)在特定條件下，對(duì)極限式中的加減部分恰當(dāng)?shù)氖褂玫葍r(jià)無窮小量來替代，可以使某些問題變得簡單化。定理4若函數(shù)f(x)與g(x)為同一變化過程中的兩個(gè)無窮小量，且g(x)=o(f(x),則f(x)+g(x)f(x).證明：因?yàn)間(x)=o(f(x)，所以=0，則=1+=1，即f(x)+g(x)f(x).定理5設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)，(x)，(x)為同一變化過程中的無窮小量，且f(x)與g(x)是同階無窮小量，f(x)(x),g(x)(x),則（1）當(dāng)-1時(shí)，有f(x)+g(x)(x)+(x);（2）當(dāng)1時(shí)，有f(x)-g(x)(x)-(x).證明：因?yàn)閒(x)與g(x)

13、為同階無窮小量，所以=c, 又g(x)(x),所以=1，則當(dāng)c-1時(shí)，有=1，即當(dāng)-1時(shí)，有f(x)+g(x)(x)+(x).結(jié)論（2）同理可證。例6 求極限解：因?yàn)楫?dāng)x0時(shí)，tan3x3x,又-1= -1（cosx-1）-.顯然與都是2x的高階無窮小量，而-1是tan3x的高階無窮小量，由定理4可知2x，3x.所以=。例7 求極限解：因?yàn)楫?dāng)x0時(shí)，x, 3x,且=3-1，所以，當(dāng)x0時(shí)，+4x,同理sin2x2x,-tan5x-5x,且=-1，所以，sin2x-tan5x-3x，故由定理5可知=。4.求復(fù)合函數(shù)極限中求復(fù)合函數(shù)的極限往往是十分復(fù)雜困難的，但是如果對(duì)其某些內(nèi)部函數(shù)適當(dāng)?shù)膶?shí)施無窮

14、小量的等價(jià)代換，那么問題就隨之而解了。引理 設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在a的某去心領(lǐng)域內(nèi)有定義，且滿足：（1） xU0(a),f(x)0,g(x)0;（2） f(x)g(x)(xa). 則（xa）; (xa).證明：由已知條件易知=，=，從而=0，=0，又=1，所以（xa）。定理6 設(shè)對(duì)U0(a),f(x)與g(x)均大于0，且f(x)g(x),若=,則=.證明：由引理知（xa），故有=。定理7 若f(x)(x)(xa),g(x)(x)(xa),且=.則有=。證明：=。例7計(jì)算的值。解：當(dāng)x時(shí)，從而由定理7可得=。例8求解解：當(dāng)x0時(shí)，(2x)6=x6sin(1-cosx)3(1-cosx)3=

15、.從而由定理6可得=1.（二）在判斷極值中的應(yīng)用例9已知函數(shù)f(x)在x=0的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，且=1，判斷x=0是否為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)。解：f在x=0連續(xù)，f(x)f(0)(x0),由已知極限和性質(zhì)6=0f(x)0(x0),故f(0)=0，又由已知極限和性質(zhì)5f(x)=x+(1+)x2=x+(x),再由性質(zhì)8知，當(dāng)x0時(shí)f(x)與x同號(hào)，即x0時(shí)，f(x)0=f(0),x0時(shí)，f(x)0,級(jí)數(shù)0，如果=，則（1） 當(dāng)0+時(shí)，級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)具有相同的斂散性；（2） 當(dāng)=0且級(jí)數(shù)收斂時(shí)，級(jí)數(shù)也收斂；（3） 當(dāng)=+且級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)也發(fā)散；由上面的定理可知，一般的應(yīng)該有=0，也就是說此時(shí)與是當(dāng)n時(shí)的

16、無窮小量，那么對(duì)于上述運(yùn)用比較收斂法的極限形式來判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的方法，就可以用無窮小量階的比較作如下理解：（1） 當(dāng)00,且=c,則有：（1） 當(dāng)0c0)內(nèi)的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且在任意a，u上可積，則有：（1） 當(dāng)f(x)=o()(p1)時(shí)，廣義積分收斂；（2） 當(dāng)|f(x)|=o()(p1)時(shí)，廣義積分發(fā)散.例12判斷廣義積分的斂散性。解：因?yàn)楫?dāng)x+時(shí)，則被積函數(shù)f(x)= =(x+),又因?yàn)?，?dāng)1時(shí)，收斂，當(dāng)1時(shí)，發(fā)散，所以當(dāng)1時(shí)，原積分收斂，當(dāng)1時(shí)，原積分發(fā)散。（五）在物理學(xué)方面的應(yīng)用在物理學(xué)中，有很多問題形成的過程是復(fù)雜的，我們所要研究的物理量在整個(gè)過程中可能都在變化，且許多量都是連續(xù)

17、的量，比如時(shí)間、位移、分布性電量、分布性質(zhì)量、場(chǎng)能等等，因此為了給我們的研究帶來方便，常常需要借助于小量分析法。小量分析法中的小量是無窮小量的簡稱，也就是無限趨于零又不為零的量。在數(shù)學(xué)表達(dá)式中，量前加符號(hào)，表示間隔（增）量，例如中學(xué)物理中對(duì)瞬時(shí)速度的定義v= ，式子中的x、t均為間隔（增）量，是位移和時(shí)間的無窮小量。中學(xué)物理中有許多問題都可以用此方法進(jìn)行解決，并且這種分析問題的方法對(duì)發(fā)散學(xué)生思維，提高解決問題的能力十分有益。在中學(xué)物理問題中，常涉及到的小量分析有小量比例、小量近似、小量關(guān)聯(lián)和小量累加等四個(gè)方面。1.小量比例物理學(xué)中小量比例隨處可見，比如加速度a= 、密度= 、比熱容c= 、磁通

18、量的變化率= ,借助小量比例還可以推導(dǎo)出其他的物理公式。例1已知質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為、半徑為R,試推導(dǎo)質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度公式。解析：設(shè)質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間小量內(nèi)由位置1運(yùn)動(dòng)到位置2，所對(duì)應(yīng)的圓心角= ，對(duì)應(yīng)的弧長= = ，如圖1所示，根據(jù)相似三角形的比例關(guān)系有= ，所以向心加速度a= = = =圖12.小量近似物理中許多問題的計(jì)算可以通過小量近似來進(jìn)行簡化，從而簡化運(yùn)算使問題快速解決。例2 半徑為 R， 質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)均勻帶電，帶電量QO。將此圓環(huán)放在光滑絕緣的水平面上 ，空間有豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng) B。若圓環(huán)以角速度繞過圓心的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖2所示，試求環(huán)內(nèi)因此種運(yùn)動(dòng)而形成

19、的附加張力。OB B圖3圖2IRm、QRO F安解析：在圓環(huán)上去圓弧小量=R,所對(duì)應(yīng)的質(zhì)量=,因圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)形成的等效電流I=Q/2,圓弧所受安培力方向如圖3所示，大小為 ： F安=BI=BR (1)圓弧兩端張力FT的向心合力為：FT合=2FT=2FT= FT （2） （這里應(yīng)用了小量近似=）圓弧做圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力為： F心= (3)由力的合成可知: F心= FT合- F安 (4)由以上四式聯(lián)立可解得：FT=-q4q例3 如圖4帶電量分別為4q和-q的小球A、B固定在水平放置的光滑絕緣細(xì)桿上,相距為d。若桿上套一帶電小環(huán)C，帶電體A、B和C均可視為點(diǎn)電荷。AdB(1)求小環(huán)c的平衡位置圖4（2）

20、若小環(huán)C帶電量為q，將小環(huán)C拉離平衡位置一小位移x(xd)后靜止釋放，試判斷小環(huán)C能否回到平衡位置。(回答“能”或“不能”即可)( 3 )若小環(huán)C帶電量為-q,將小環(huán)拉離平衡位置一小位移x(xd)后靜止釋放，試證明小環(huán)C將作簡諧運(yùn)動(dòng)。(提示：當(dāng)x1時(shí)，=1-nx)解析：由于（1）、（2）兩問不涉及小量分析法，故此處只對(duì)（3）進(jìn)行解答。（3）由解答(1)可知環(huán)c的平衡位置距B球d，環(huán)c帶電-q,平衡位置不變 ,拉離平衡位置 一小位移x后，c受力為：= + = + 因?yàn)閤d,故、均為小量，利用題中已知小量近似式有：=1- ；=1- 代入上式得：=+=，所以小球c將做簡諧運(yùn)動(dòng)。3.小量關(guān)聯(lián)由于物理問

21、題中存在的某些關(guān)系，常使同一類型的物理量之間產(chǎn)生小量關(guān)系，其中最常見的是因幾何關(guān)系形成的小量關(guān)系。例4如圖5所示，河岸高為h ，人用繩經(jīng)滑輪拉船靠岸，若當(dāng)繩與水平方向夾角為時(shí)，收繩速率為v，則該位置船的速率為多大 ?hv圖5圖6解析：設(shè)船在角位置時(shí)經(jīng)時(shí)間小量左行距離，如圖6所示，作小量直角三角形。顯然繩長縮短量與間存在如下小量關(guān)聯(lián)： =兩邊同時(shí)除以，即得：v=v船因此船的速率為：v船=v/4.小量累加在數(shù)學(xué)中小量累加就是積分，但并不是涉及到小量累加的所有問題都只能用積分公式計(jì)算，例如某些物理問題不借助積分公式也能處理。例5如圖7所示，頂角=45o的金屬導(dǎo)軌MON固定在水平面內(nèi),導(dǎo)軌處在方向豎直,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。一 根與0N垂直的導(dǎo)體棒在水平外力作用下以恒定速度v