復(fù)習(xí)方案北師大版2019中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)課件第39課時二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題共31張

1、第39課時二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問題 第39課時 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問題 二次函數(shù)與三角形、四邊形、圓和相似三角形常常綜合 在一起考查，解決這類問題需要用到數(shù)形結(jié)合思想，把“數(shù)” 與“形”結(jié)合起來，互相滲透存在探索型問題是指在給定 條件下，判斷某種數(shù)學(xué)現(xiàn)象是否存在、某個結(jié)論是否出現(xiàn)的 問題，解決這類問題的一般思路是先假設(shè)結(jié)論存在，然后在 這個假設(shè)下進(jìn)行演繹推理，若推出矛盾，即可否定假設(shè)；若 推出合理，則可肯定假設(shè) 考向互動探究 探究一二次函數(shù)與三角形的結(jié)合 例 1 2014內(nèi)江 內(nèi)江 如圖391，拋物線 yax 2 bxc經(jīng)過點 A(3，0) ，C(0，4)，點 B在拋物線上，

2、CBx 軸，且 AB平分 CAO . 圖 39 1 第39課時 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問題 考向互動探究 (1) 求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式 (2) 線段 AB上有一動點P，過點P作y軸的平行線，交拋物 線于點 Q，求線段PQ的最大值 (3) 拋物線的對稱軸上是否存在點 M，使ABM是以AB為 直角邊的直角三角形？如果存在， 求出點 M的坐標(biāo)； 如果不存在， 說明理由 第39課時 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問題 考向互動探究 (1)根據(jù)CBx軸，且AB平分CAO等幾何條件，能求出點 B的坐標(biāo)嗎？ (2)為了求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式已具備了哪些條件？ (3)點P在哪兒，如何用x表示點P

3、的坐標(biāo)？事實上只要求出 AB 所在直線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式就可以了 (4)線段PQ的兩個端點在哪兩個函數(shù)圖象上，怎樣表示它 們的坐標(biāo)，如何表示PQ的長？ (5)ABM是以AB為直角邊的直角三角形存在以 MAB 為 直角和以MBA為直角兩種情況 【例題分層分析】 第39課時 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問題 考向互動探究 以二次函數(shù)、三角形為背景的有關(guān)點的存在性的問題是 以二次函數(shù)的圖象和表達(dá)式為背景，判斷三角形滿足某些關(guān)于 點的條件時，是否存在的問題，這類問題有關(guān)于點的對稱點、 線段、三角形等類型之分這類試題集代數(shù)、幾何知識于一體， 數(shù)形結(jié)合，靈活多變 【解題方法點析】 第39課時 二次函數(shù)與幾

4、何綜合類 存在性問題 考向互動探究 解：(1)點 A的坐標(biāo)為(3，0)，點C的坐標(biāo)為(0，4)，AC 5. AB平分CAO，CABBAO. CBx軸，CBABAO， CABCBA，ACBC5， 點 B的坐標(biāo)為(5，4) 將 A(3，0)，C(0 ，4)，B(5，4)代入 yax 2 bxc，得 ? ? ? ? ?09a3bc， 4c， 425 a5bc， 解得 ? ? ? ? ? ? ?a 1 6 ， b 5 6 ， c4， 拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為 y 1 6 x2 5 6 x4. 第39課時 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問題 考向互動探究 (2) 設(shè)直線 AB所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為ykxn

5、，把A(3 ， 0) ，B(5，4)代入，得 ? ? ? ? ?0 3 kn， 45 kn， 解得 ? ? ? ? ?k 1 2 ， n3 2 ， 直線AB所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y1 2 x3 2 . 設(shè)點 P的坐標(biāo)為(x，1 2 x3 2 )，則點Q的坐標(biāo)為(x，1 6 x 2 5 6 x 4)，PQ1 6 x25 6 x4( 1 2 x3 2 )1 6 (x1) 2 8 3 ， 故當(dāng) x1時，線段PQ的值最大，最大值為 8 3 . 第39課時 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問題 考向互動探究 (3) 拋物線 y1 6 x25 6 x4的對稱軸是直線x5 2 . 要使ABM是以 AB為直角邊的直

6、角三角形， 有兩種情況： 當(dāng)點 B為直角頂點時，如圖所示 設(shè)拋物線的對稱軸與 BC交于點D，與AB交于點G，與x 軸交于點 H.由點G在直線AB和拋物線的對稱軸上可知，點G 的坐標(biāo)為( 5 2 ，11 4) 第39課時 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問題 考向互動探究 BDG90，BD55 2 5 2 ，DG411 4 5 4 ， BG BD 2 DG 2 （5 2 ）2（ 5 4 ）25 5 4 . 同理 AG11 5 4 . AGHMGB，AHGMBG90， AGHMGB， AG MG GH GB，即 11 5 4 MG 11 4 5 5 4 ，解得 MG25 4， MHMGGH25 4 1

7、1 49 ， 故點 M的坐標(biāo)為( 5 2 ，9) 第39課時 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問題 考向互動探究 當(dāng)點 A為直角頂點時，如圖所示設(shè)拋物線的對稱軸 與 AB交于點G，與x軸交于點H. 由知 GH11 4.GHA BAM90，MAH 90 GAHAGM . AHG MHA，AGH MAH，AGHMAH，GH AH AH MH ，即 11 4 35 2 35 2 MH ， 解得 MH11 ，點 M的坐標(biāo)為( 5 2 ，11) 綜上所述，存在點 M，點M的坐標(biāo)為( 5 2 ，9)或( 5 2 ，11) 第39課時 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問題 考向互動探究 探究二二次函數(shù)與四邊形的結(jié)合

8、 例例 2 2013棗莊 棗莊 如圖 39 2，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函 數(shù) yx2bxC的圖象與x軸交于A，B兩點，點B的坐標(biāo)為(3 ， 0)，與y軸交于點C(0 ，3)，點 P是直線BC下方拋物線上的動 點 圖 39 2 第39課時 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問題 考向互動探究 (1) 求這個二次函數(shù)的表達(dá)式 (2) 連接 PO，PC， 并將POC沿y軸對折， 得到四邊形POP C， 那么是否存在點 P，使得四邊形POP C 為菱形？若存在，求出此 時點 P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 (3) 當(dāng)點 P 運動到什么位置時，四邊形 ABPC的面積最大？求 出此時點 P的坐標(biāo)和四邊形ABP

9、C的最大面積 第39課時 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問題 考向互動探究 【例題分層分析】 求四邊形面積的函數(shù)表達(dá)式，一般是利用割補法把四邊形 的面積轉(zhuǎn)化為三角形面積的和或差 【解題方法點析】 (1)圖中已知拋物線上幾個點？將點B，C的坐標(biāo)代入二次 函數(shù)的表達(dá)式 (2)畫出四邊形POP C，若四邊形POP C為菱形，那么點P 必在OC的垂直平分線上，由此能求出點P的坐標(biāo)嗎？ (3)由于ABC的面積為定值，求四邊形ABPC的最大面 積，即求BPC的最大面積 第39課時 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問題 考向互動探究 解：(1)將 B，C 兩點的坐標(biāo)代入 yx2bxc，得 ? ? ? ? ?9 3

10、bc0， c3， 解得 ? ? ? ? ?b2 ， c3， 這個二次函數(shù)的表達(dá)式為 yx22x3. 第39課時 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問題 考向互動探究 (2) 如圖，假設(shè)拋物線上存在點 P(x，x22 x3)，使得 四邊形 POP C為菱形 連接PP交CO于點E.四邊形POP C 為菱形，PCPO，PECO，OEEC3 2 ， 點 P 的縱坐標(biāo)為 3 2 ，即 x22 x3 3 2 ，解得 x1 210 2 ，x22 10 2 (不合題意，舍去)，存在點P( 210 2 ， 3 2 )，使得四邊形POP C為菱形 第39課時 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問題 考向互動探究 (3) 如圖

11、，過點 P作y軸的平行線交BC于點Q，交OB 于點 F，設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，x 2 2 x3)由 x22 x30， 得點 A的坐標(biāo)為(1，0) 點B的坐標(biāo)為(3，0)，點C的坐 標(biāo)為(0，3)，直線 BC的表達(dá)式為yx3，點Q的坐 標(biāo)為(x，x3)，AB4，CO3，BO3，PQx 2 3 x， S四邊形 ABPCSABCSBPQSCPQ1 2 ABCO1 2 PQBF 1 2 PQFO1 2 ABCO1 2 PQ(BFFO)1 2 ABCO1 2 PQBO 1 2 43 1 2 (x23 x)3 3 2 x2 9 2 x6 3 2? ? ? ? ? ? x3 2 2 75 8， 第39課時 二

12、次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問題 考向互動探究 當(dāng) x3 2 時，四邊形 ABPC的面積最大此時點P的坐 標(biāo)為? ? ? ? ? ? 3 2 ，15 4 ，四邊形 ABPC的最大面積為 75 8. 第39課時 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問題 考向互動探究 例例 3 2014廈門 廈門 如圖 39 3，已知 C0，拋物線yx2bx c與 x軸交于A(x1，0) ，B(x2，0)兩點(x2x1)，與y軸交于點C. (1) 若 x21，BC5，求函數(shù)yx 2 bxc的最小值； (2) 過點 A作APBC，垂足為P(點P 在線段BC上)， AP交y軸于點M.若 OA OM 2， 求拋物線 yx 2 b

13、xc頂點的縱坐標(biāo)隨橫 坐標(biāo)變化的函數(shù)表達(dá)式， 并直接寫出自變量 的取值范圍 圖 39 3 探究三二次函數(shù)與相似三角形的結(jié)合 第39課時 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問題 考向互動探究 【例題分層分析】 (1) A(x1，0)，B(x2，0)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)軸上的線段是什么？能 求出點 C的坐標(biāo)嗎？ (2) 先根據(jù)點 B，C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出二次函數(shù) yx2bxC的表達(dá)式 (3) RtOAMRt OCB嗎？如何證明？ (4) 由三角形相似，根據(jù)對應(yīng)邊成比例，得 OC OB OA OM 2， 即 OC2 OB，所以C2 x2，利用x 2 2bx2C0，求得 C 2 b4.將此關(guān)系式代入拋物線的頂點

14、坐標(biāo)，即可求得所求 函數(shù)表達(dá)式 第39課時 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問題 考向互動探究 此類問題常涉及運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù) 的表達(dá)式，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角 形、等腰三角形的判定要注意的是當(dāng)相似三角形的對應(yīng)邊和 對應(yīng)角不明確時，要分類討論，以免漏解 【解題方法點析】 第39課時 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問題 考向互動探究 解：(1)x21，OB1. BC 5，OC2.c0，c2. 將 B(1 ，0)代入 yx 2 bxc， 得 1b20，解得b1， 故二次函數(shù)的表達(dá)式為 yx2x2(x1 2 ) 2 9 4 ， 二次函數(shù) yx 2 x2的最小值是 9

15、 4 . 第39課時 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問題 考向互動探究 (2) APBC， PMCPCM90. OAMOMA90，OMAPMC， OAMPCM， RtOAMRtOCB， OA OM OC OB 2，即 OC2 OB. x10，x20， c2 x2. 第39課時 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問題 考向互動探究 由 x2 2bx2 c0，得 c2 b4， 二次函數(shù) yx2bxcx2bx2 b4. 它的頂點坐標(biāo)是(b 2 ，b 2 8 b16 4 ) b 2 8 b16 4 (b 2 )24 (b 2 )4， 頂點的縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)變化的函數(shù)表達(dá)式是 yx 2 4 x4( x 3 4 )

16、 第39課時 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問題 考向互動探究 例例 4 2014長沙 長沙 如圖 39 4，拋物線yax 2 bxc(a，b，c 是常數(shù)，a0)的對稱軸為 y軸，且經(jīng)過(0 ，0)和( a， 1 16 )兩點， 點 P在該拋物線上運動， 以點P為圓心的P總經(jīng)過定點A(0 ， 2) 圖 39 4 探究四二次函數(shù)與圓的結(jié)合 第39課時 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問題 考向互動探究 (1) 求a，b，c的值； (2) 求證：在點P的運動過程中， P始終與x軸相交； (3) 設(shè)P與x 軸相交于M(x 1，0) ，N(x2 ，0)( x 1 x 2 )兩點，當(dāng) AMN 為等腰三角形時，

17、求圓心 P的縱坐標(biāo) 第39課時 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問題 考向互動探究 【例題分層分析】 (1) 拋物線拋物線 y ax 2 bxc(a，b，c是常數(shù)，是常數(shù)，a0)的對稱軸為的對稱軸為 y軸，且經(jīng)過點 軸，且經(jīng)過點(0，0)說明說明 b， ，c是多少呢？由是多少呢？由( a， 1 16 )你能求出 a的值嗎？ (2) 要判斷要判斷P與與 x軸的位置關(guān)系， 軸的位置關(guān)系，即要比較點 P到 到 x軸的距 離與圓的半徑的大?。浑x與圓的半徑的大?。?(3) AMN為等腰三角形，分三種情況討論：當(dāng)為等腰三角形，分三種情況討論：當(dāng) AN MN 4時；當(dāng)當(dāng) AM MN4時；當(dāng)當(dāng) AM AN時時針對

18、這三種情針對這三種情 況分別求出點況分別求出點 P的縱坐標(biāo) 第39課時 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問題 考向互動探究 用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的表達(dá)式，勾股定 理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程組，二次函數(shù)的最值， 切線的判定等知識點的連接和掌握，能綜合運用這些性質(zhì)進(jìn)行 推理和計算是解此題的關(guān)鍵 【解題方法點析】 第39課時 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問題 考向互動探究 解：(1) a1 4 ，b0，c0. (2) 設(shè) P(m，1 4 m 2 )，如圖，過點P作PH 1x 軸于點 H1，PH 2 y軸于點 H2，則AH 22 OH221 4 m 2 ，PH2m，PA 2 m 2 (21 4 m 2 )2 1 16 m 4 4. 又PH 2 1( 1 4 m 2 )2 1 16 m 4 ， 1 16 m 4 4 1 16 m 4 ，即 PA PH 1， P始終與 x軸相交 第39課時 二次函數(shù)與幾何綜合類 存在性問題 考向互動探究 (3) 由(2)知 PN 2 1 16 m 4 4，PH 2 1 1 1