[精品]一 二元一次不定方程ppt

1、知識回顧 回顧一下我們學過的方程，一元一次回顧一下我們學過的方程，一元一次 方程，如：方程，如：x+2=5，滿足方程的解滿足方程的解x=3. 一元一次方程一元一次方程的特征是只含有一個的特征是只含有一個 未知數(shù)未知數(shù)x，含有未知數(shù)的個數(shù)與方程的個數(shù)，含有未知數(shù)的個數(shù)與方程的個數(shù) 一樣多，一樣多，x有有整數(shù)解，而且整數(shù)解，而且僅有一個解僅有一個解. 導入新課 當方程的個數(shù)少于未知數(shù)的個數(shù)當方程的個數(shù)少于未知數(shù)的個數(shù) 時怎樣解？如方程：時怎樣解？如方程：x+y=3，想一想這想一想這 樣的方程該怎樣解呢？它的解是否只樣的方程該怎樣解呢？它的解是否只 有一組有一組?類似這樣的方程是否一定有解類似這樣的

2、方程是否一定有解 呢？呢？ 雞翁一，值錢五，雞母一，雞翁一，值錢五，雞母一， 值錢三，雞雛三，值錢一，百錢值錢三，雞雛三，值錢一，百錢 買百雞，問雞翁、母、雛各幾何買百雞，問雞翁、母、雛各幾何. 你能算出有多你能算出有多 少只雞嗎？少只雞嗎？ 上面的問題即是著名的上面的問題即是著名的“百錢買百百錢買百 雞雞”，百錢能買到百雞嗎？若能買到，百錢能買到百雞嗎？若能買到， 能買到雞翁、雞母和雞雛各多少只？能買到雞翁、雞母和雞雛各多少只？ 生活中類似的問題還有很多，要怎生活中類似的問題還有很多，要怎 樣順利的解決這些問題，就需要學習新樣順利的解決這些問題，就需要學習新 的知識的知識二元一次不定方程二元

3、一次不定方程. 教學目標 知識與能力知識與能力 1、掌握二元一次不定方才有整數(shù)掌握二元一次不定方才有整數(shù) 解的判別準則解的判別準則. 2、理解掌握二元一次不定方程有理解掌握二元一次不定方程有 整數(shù)解時整數(shù)通解的表示整數(shù)解時整數(shù)通解的表示. 3、學會求解簡單的二元一次不定學會求解簡單的二元一次不定 方程及方程及“百錢買百雞百錢買百雞”問題問題. 情感態(tài)度與價值觀情感態(tài)度與價值觀 了解我過古代數(shù)學家在不定方程的研究方了解我過古代數(shù)學家在不定方程的研究方 面取得的一些成就面取得的一些成就. . 過程與方法過程與方法 1、聯(lián)系生活對比一元一次方程，引出二聯(lián)系生活對比一元一次方程，引出二 元一次不定方程

4、元一次不定方程. . 2、通過實例介紹不定方程有解的條件，通過實例介紹不定方程有解的條件， 及其特解、通解及其特解、通解. . 教學重難點 重點重點 1、理解二元一次不定方程有整數(shù)解的理解二元一次不定方程有整數(shù)解的 判別準則及其探究過程判別準則及其探究過程. . 2、二元一次不定方程有整數(shù)解時整數(shù)二元一次不定方程有整數(shù)解時整數(shù) 通解的表示方法并能求解簡單一次不定方程通解的表示方法并能求解簡單一次不定方程. . 難點難點 探究二元一次不定方程有整數(shù)解的判探究二元一次不定方程有整數(shù)解的判 定準則和整數(shù)通解的表示定準則和整數(shù)通解的表示. . 學過的一元一次方程，如學過的一元一次方程，如x+7=9.這

5、樣的這樣的 方程含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的個數(shù)與方程含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的個數(shù)與 方程的個數(shù)是相等的，方程的個數(shù)是相等的， 對于對于x+y=9這樣的方程來說，即未知數(shù)這樣的方程來說，即未知數(shù) 的個數(shù)多于方程的過個數(shù)的方程或方程組我的個數(shù)多于方程的過個數(shù)的方程或方程組我 們叫做們叫做不定方程不定方程. . 二元一次不定方程一般式：二元一次不定方程一般式：ax+by=c， 其中其中a，b，c為整數(shù)，且為整數(shù)，且a，b不等于零不等于零. . 不定方程不定方程 例一、例一、 解不定方程解不定方程4x+6y=1. 解：解：原式可以化為原式可以化為2（2x+3y）=1由于由于 左邊必是左邊必是2的

6、倍數(shù)，而右邊是的倍數(shù)，而右邊是1，所以所以不可不可 能有整數(shù)解能有整數(shù)解. 所以所以，不定方程，不定方程不一定不一定有整數(shù)解有整數(shù)解. 下面我們就來討論什么情況下不定方下面我們就來討論什么情況下不定方 程有整數(shù)解程有整數(shù)解. 分析（一）分析（一） 分析（一）分析（一） 設設不定方程不定方程ax+by=c有整數(shù)解有整數(shù)解x=x0，y=y0. 因為因為（a，b）a，（，（a，b） b 所以所以（a，b） ax0+by0=c， 即即若不定方程有整數(shù)解，若不定方程有整數(shù)解，則則（a，b） c 這是不定方程有解時系數(shù)之間的關系，這是不定方程有解時系數(shù)之間的關系， 下面我們來看驗證，當系數(shù)滿足下面我們來看

7、驗證，當系數(shù)滿足 （a，b） c 時是否一定有整數(shù)時是否一定有整數(shù) 解解. 若若d=（a，b） c ，令令a=ad，b=bd，c=cd， 則則不定方程化簡為不定方程化簡為ax+bx=c ，（，（a，b）=1.由由 最大公約數(shù)的性質，存在一對整數(shù)最大公約數(shù)的性質，存在一對整數(shù)u，v，使得，使得 au+bv=1.于是于是a（uc）+b (vc) = c，從而從而有有a （uc）+b (vc ) = c.得得x= uc，y= vc 就是不定就是不定 方程的整數(shù)解方程的整數(shù)解. 如果不定方程如果不定方程ax+by=c有整數(shù)解，那么有整數(shù)解，那么 （a，b） c .反過來，當反過來，當（a，b） c 時

8、，時， 不定方程不定方程ax+by=c一定有整數(shù)解一定有整數(shù)解. 分析（二）分析（二） 對于一元一次方程對于一元一次方程x+7=9，我們容易得我們容易得 到到x的整數(shù)解為的整數(shù)解為x=2，知道，知道一元一次方程一元一次方程的的 解是解是唯一唯一的的. 不定方程不定方程x+y=9的解卻可以是的解卻可以是x=1，y=8； x=-1，y=10等情況等情況.也就是說不定方程也就是說不定方程 的解是的解是不唯一不唯一的的. 分析（三）分析（三） 對于不定方程對于不定方程x+y=9，我們不可能將，我們不可能將 所有不定方程的解都寫出來，但是卻可以所有不定方程的解都寫出來，但是卻可以 將所有解表示表示一組式

9、子將所有解表示表示一組式子 x=1+t， y=8-t，t是任意整數(shù)是任意整數(shù). 分析（三）分析（三） 當當ax+by=c有整數(shù)解，且有整數(shù)解，且（a，b）=1時設時設 x=x0，y=y0為不定方程的整數(shù)解，對于任意的整為不定方程的整數(shù)解，對于任意的整 數(shù)數(shù)t， x=x0+bt y=y0-at 注意：注意： x=x0，y=y0為方程的一個特解為方程的一個特解， 為不為不 定方程的通解定方程的通解.當不定方程當不定方程 ax+by=c的（的（a，b） 1可以化為可以化為ax+bx=c其中（其中（a，b）=1. 設設（a，b）=1則不定方程則不定方程ax+by=c的整的整 數(shù)通解為數(shù)通解為， x=x

10、0+bt y=y0-at 其中其中t為為任意的整數(shù)任意的整數(shù)x=x0，y=y0為不定方程為不定方程 ax+by=c的一個特解的一個特解 . 課堂小結 一、二元一次不定方程一般式：一、二元一次不定方程一般式：ax+by=c . 其其 中中 a，b，c為整數(shù)，且為整數(shù)，且a，b不等于零不等于零. 二、二、 ax+by=c有整數(shù)解的條件：有整數(shù)解的條件：（a，b） c 三、三、 ax+by=c有整數(shù)解的時通解：有整數(shù)解的時通解： x=x0+bt y=y0-at 其中其中t是任意整數(shù)是任意整數(shù)，x=x0，y=y0是一個特解是一個特解. 高考鏈接 1、某電臺在黃金時段的、某電臺在黃金時段的2 2分鐘廣告

11、時間內，分鐘廣告時間內， 計劃插播長度為計劃插播長度為1515秒和秒和3030秒的兩種廣告秒的兩種廣告.1515秒秒 廣告每播廣告每播1 1次收費次收費0.60.6萬元，萬元，3030秒廣告每播秒廣告每播1 1次次 收費收費1 1萬元，若要求每種廣告播放不少于萬元，若要求每種廣告播放不少于2 2次，次， 問：問： 兩種廣告的播放次數(shù)有幾種安排方式？兩種廣告的播放次數(shù)有幾種安排方式？ 電視臺選擇哪種方式播放收益最大？電視臺選擇哪種方式播放收益最大？ 答：電視臺選擇答：電視臺選擇15 秒秒4 次次，30 秒秒2 次收益最大次收益最大. . 解：設解：設15秒廣告播放秒廣告播放x次，次，30 秒廣告

12、播放秒廣告播放y次次 得得15x+30y=120，所以所以x=8-2y 因為因為 x、y 為不小于為不小于2 的正整數(shù)，的正整數(shù)， 所以所以 x=4，y=2或或 x=2，y=3所以兩種方式，所以兩種方式， 即即15秒廣告播放秒廣告播放4 次次，30 秒廣告播放秒廣告播放2 次；次； 或或 15 秒播放秒播放2 次次，30 秒播放秒播放3 次次 若若x=4,y=2， 則則 0.64+12=4.4（萬元）（萬元） 若若x=2,y=3， 則則 0.64+13=4.2（萬元）（萬元） 解：設解：設買甲物買甲物x斤，乙物斤，乙物y斤，丙物斤，丙物z斤，斤， 則則 5x 3y z = 100，x y z

13、= 100. 消去消去z，得到得到7x 4y = 100. (1) 顯然顯然x = 0，y = 25是方程是方程(1)的解，的解， 因此因此，方程，方程(1)的一般解是的一般解是 ， t z ty tx 725 4 2、甲物每斤、甲物每斤5元，乙物每斤元，乙物每斤3元，丙物元，丙物 每三斤每三斤1元，現(xiàn)在用元，現(xiàn)在用100元買這三樣東西共元買這三樣東西共 100斤，問各買幾斤斤，問各買幾斤? 因為因為 x 0，y 0，所以所以0 t 3. 即即 t可以取值可以取值t1 = 0，t2 = 1，t3 = 2，t4 = 3. 相應的相應的x，y，z的值是的值是 (x, y, z) = (0, 25,

14、 75)，(4, 18, 78)，(8, 11, 81) ， (12, 4, 84). 3 3、求不定方程求不定方程15x+19y=1 的整數(shù)解的整數(shù)解 解：因為解：因為（15，19）=1， 所以所以原不定方程有整數(shù)解比較原不定方程有整數(shù)解比較x，y的系數(shù)，的系數(shù)， 用系數(shù)用系數(shù)1515除不定方程得除不定方程得 因為因為x，yz，所以所以 z，令令 則則 15s=1+11y，所以所以 因為因為y，s z， 所以所以 z，得到得到 所以所以 x=-5 x=-5+19t y=4是方程的一個特解是方程的一個特解. 得解得解 y=4-15t t z 1 191 11 2 1515 yy xy 1 11

15、 15 y 1 11 15 y s 15141 1111 ss ys 41 11 s 34,5syx 課堂練習 1、二元一次方程二元一次方程3x+2y=11 ( ). ( ). a a、 任何一對有理數(shù)都是它的解任何一對有理數(shù)都是它的解 b b、只有一個解、只有一個解 c c、只有兩個解、只有兩個解 d d、無窮多個解、無窮多個解 d d 2、x x、y y的方程的方程ax2+bx+2y=3是一個二元一次是一個二元一次 方程，則方程，則a、b的值為（的值為（ ）. . a a 、a=0a=0且且b=0 bb=0 b、 a=0a=0或或b=0 b=0 c c、 a=0a=0且且b0 db0 d、

16、a0a0且且b0b0 c c 3、已知方程已知方程5x+3y=7 5x-7=2 2xy=1 x2-y=1 5(x-y)+2(2x-3y)=4其中二元一次其中二元一次 方程的個數(shù)是方程的個數(shù)是 （ ）. .3 4、下列方程組：（下列方程組：（x、y 為未知數(shù)）為未知數(shù)） x+y=5 x+y=9 x=10 x=a 2xy=7 y+z=0 y=4 x-y=b 其中二元一次方程組的個數(shù)是其中二元一次方程組的個數(shù)是 （ ） 3 解解 ： (3, 6) = 3 15，所以方程有解，所以方程有解. 由直接觀察，可知由直接觀察，可知x = 1，y = 1是是 3x 6y = 3的解，的解， 所以所以 x0 =

17、 5，y0 = 5是原方程的一個解是原方程的一個解. 所以所以 所求方程的解是所求方程的解是 ty tx 5 25 5、求不定方程求不定方程3x 6y = 15的解的解. 6、求不定方程求不定方程13x 17y = 5 的解的解. 解：因為解：因為（13，17）=1， 所以所以原不定方程有整數(shù)解比較原不定方程有整數(shù)解比較x，y的系數(shù)，的系數(shù)， 用系數(shù)用系數(shù)13除不定方程得除不定方程得 因為因為x，yz，所以所以 z，令令 則則 13s=5+9y，所以所以 因為因為y，s z， 所以所以 z，得到得到 所以所以 x=3 x=3+17t y=-2是方程的一個特解是方程的一個特解. 得解得解 y=-

18、2-13t t z 5 1759 2 1313 yy xy 59 13 y 59 13 y s 13545 99 ss ys 45 9 s 12,3syx 7 7、求不定方程求不定方程126x-102y=18的整數(shù)解的整數(shù)解. . 因為因為（126，102）=6，且且618 所以所以原不定方程有整數(shù)解原不定方程有整數(shù)解. 原不定方程可化為原不定方程可化為 21x-17y=3 . 觀察得觀察得x=5，y=6時成立，時成立， 所以所以原方程的解為原方程的解為 x=5+17t y=6+21t 教材習題答案 習題（第習題（第3636頁）頁） 1、解、解 （1）因為（）因為（5，4）=1，而，而111，

19、所以不定方所以不定方 程有整數(shù)解，觀察到不定方程程有整數(shù)解，觀察到不定方程5x+4y=1有一個特有一個特 解，解，x=1，y=-1.那么那么x=11，y=-11就是原不定方就是原不定方 程的一個特解程的一個特解.于是，原不定方程的整數(shù)通解為于是，原不定方程的整數(shù)通解為 x=11+4t ， y=-1-5t，其中其中t為任意整數(shù)為任意整數(shù). 1、解、解 （2）因為）因為（25，-13）=1，而而17，所以不定所以不定 方程有整數(shù)解，觀察到不定方程方程有整數(shù)解，觀察到不定方程25x-13y=1有一有一 個特解個特解，x=-1，y=-2.那么那么x=-7，y=-14就是原不就是原不 定方程的一個特解定

20、方程的一個特解.于是，原不定方程的整數(shù)通于是，原不定方程的整數(shù)通 解為解為 x=-7-13t ， y=-14-25t，其中其中t為任意整數(shù)為任意整數(shù). 2、解、解 設大馬、中馬和小馬的個數(shù)分別為設大馬、中馬和小馬的個數(shù)分別為x，y，z 由題意由題意得得 將不定方程中第一個方將不定方程中第一個方 程的程的2倍減去第二個不定方程，倍減去第二個不定方程，得得5x+3y=100.觀察觀察 發(fā)現(xiàn)，不定方程發(fā)現(xiàn)，不定方程5x+3y=1有一個有一個特解特解x=-1，y=2，那那 么么x=-100，y=200是不定方程是不定方程5x+3y=100的一個特解的一個特解. 于是，不定方程于是，不定方程5x+3y=

21、100的整數(shù)的整數(shù)通解通解為為 x=-100+3t ， y=200-5t，其中其中t為任意整數(shù)為任意整數(shù). 注意注意0 x 100， 0 y 100，則有則有 1 3x2yz100 2 xyz100 1212 33t66,20t4033t66,20t40 3333 從而從而t=34，35，36，37，38，39，40，再將再將x，y的值的值 代入方程代入方程x+y+z=100，可求得不定方程組有七組非負可求得不定方程組有七組非負 整數(shù)解：整數(shù)解： x=2, x=5, x=8, x=11, x=14, y=30, y=25, y=20, y=15, y=10, z=68; z=70; z=72;

22、 z=74; z=76; x=17, x=20, y=5, y=0, z=78; z=80. h5d2a-x*u$qznwkshpdmaj7f4c1z)w&s!pymujrgocl9h6e3b+y(v%r#owltiqenbk8g5d1a-x*t$qznvkshpdmai7f4c0z)w&s!pxmujrfocl9h6e2b+y(u%r#owlthqenbj8g5d1a-w*t$qynvksgpdlai7f3c0z)v&s#pxmuirfock9h5e2b+x(u%rzowlthqembj8g4d1a-w*t!qynvjsgpdlai6f3c0y)v&s#pxluirfnck9h5e2a+x(

23、u$rzowkthpembj7g4d1z-w&t!qymvjsgodlai6f3b0y)v%s#pxluiqfnck8h5e2a+x*u$rznwkthpemaj7g4c1z- w&t!pymvjrgodl9i6e3b0y(v%s#oxltiqfnbk8h5d2a+x*u$qznwkshpemaj7f4c1z)w&t!pymujrgocl9i6e3b+y(v%r#oxltiqenbk8g5d2a-x*t$qznvkshpdmai7f4c0z)w&s!pxmujrfocl9h6e3b+y(u%r#owltiqenbj8g5d1a-x*t$qynvksgpdmai7f3c0z)v&s!pxmuir

24、fock9h6e2b+x(u%rzowlthqembj8g4d1a-w*t$qynvjsgpdlai7f3c0y)v&s#pxmuirfnck9h5e2b+x(u$rzowkthqembj7g4d1z-w*t!qymvjsgodlai6f3b0y)v%s#pxluiqfnck8h5e2a+x(u$rznwkthpembj7g4c1z- w&t!qymvjrgodl9i6f3b0y(v%s#oxluiqfnbk8h5h5d2a+x*u$qznwkshpemaj7f4c1z)w&t!pymujrgocl9i6e3b0y(v%r#oxltiqfnbk8g5d2a-x*u$qznvkshpdmaj7f

25、4c0z)w&s!pymujrfocl9h6e3b+y(u%r#owltiqenbj8g5d1a-x*t$qynvksgpdmai7f4c0z)v&s!pxmujrfock9h6e2b+y(u%rzowlthqenbj8g4d1a-w*t$qynvjsgpdlai7f3c0y)v&s#pxmuirfnck9h5e2b+x(u%rzowkthqembj8g4d1z-w*t!qynvjsgodlai6f3c0y)v%s#pxluirfnck8h5e2a+x(u$rznwkthpembj7g4c1z- w&t!qymvjrgodl9i6f3b0y)v%s#oxluiqfnck8h5d2a+x*u$r

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29、shpdmaj7f4c0z)w&s!pymujrfocl9h6e3b+y(u%r#owltiqenbj8g5d1a-x*t$qynvksgpdmai7f3c0z)v&s!pxmuirfock9h6e2b+y(u%rzowlthqenbj8g4d1a-w*t$qynvjsgpdlai7f3c0y)v&s#pxmuirfnck9h5e2b+x(u$rzowkthqembj7g4d1z- w*t!qynvjsgodlai6f3c0y)v%s#pxluirfnck8h5e2a+x(u$rznwkthpembj7g4c1z-w&t!qymvjrgodl9i6f3b0y(v%s#oxluiqfnck8h5

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