第10講比和比例應(yīng)用---奧數(shù)

1、北師大二附中培訓(xùn)中心思維班講義第十講比和比例知識(shí)要點(diǎn)：1. 兩個(gè)數(shù)相除叫做兩個(gè)數(shù)的比。例如:5 可記作5:652. 比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商，叫做這個(gè)比的比值。例如：是5:6的比值63. 表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例式。兩個(gè)比的比值相等，這兩個(gè)比能組成比例，否則不 能。例如23=4:64. 在任意一個(gè)比例式中，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積。即由a:b=c:d ,可知ad=bc5. 兩個(gè)數(shù)的比叫做單比，三個(gè)或三個(gè)以上的數(shù)的比叫做連比?；B比的關(guān)鍵，找相同量在兩個(gè)比例式中值的最小公倍數(shù)。例如:a:b=5:6, b:c=4:3，化為連比式是 a:b:c=10:12:96. 行程問題中比例的應(yīng)用： 時(shí)間相

2、等時(shí)，路程比等于速度比； 速度相等時(shí)，路程比等于時(shí)間比； 路程相等時(shí)，速度比與時(shí)間比成反比。典型例題:1.已知 3 : ( x-1) =7:9，求 x.2. 某班的男、女生之比為3:2，又來了 4名女生后，全班共有44人。求現(xiàn)在的男、女生人數(shù)之比。解:原有40人，男生有 40X35=24人，女生40-24=16人，現(xiàn)在男女人數(shù)之比 24:20=6:53. 甲、乙兩個(gè)長方形，它們的周長相等。甲的長與寬之比是3:2，乙的長與寬之比是 7:3,那么甲與乙的面積之比是多少？解:長+寬相等。甲的長：寬=6:4，乙的長：寬=7:3.所以甲乙的面積比為(6 4):(7 3) =8: 74. 兩個(gè)相同的瓶子裝

3、滿酒精溶液，一個(gè)瓶中酒精與水的體積之比是3:1,而另一個(gè)瓶中酒精與水的體積之比是4:1,若把兩瓶酒精溶液混合，則混合后的酒精和水的體積之比是多少？解:兩個(gè)瓶子體積相同。第一個(gè)瓶子酒精：水=3:1=15:5，第二個(gè)瓶子酒精：水=4:仁16:4，于是混合后酒精 冰=(15+16):(5+4)=31:95. 水果店運(yùn)來的西瓜個(gè)數(shù)與白蘭瓜個(gè)數(shù)的比為7:5.如果每天賣白蘭瓜40個(gè)，西瓜50個(gè)，若干天后賣完白蘭瓜時(shí)，西瓜還剩36個(gè)。問：水果店運(yùn)來的西瓜有多少個(gè)？解:賣的瓜的總數(shù)比為西瓜：白蘭瓜=5:4=25:20,原有西瓜：白蘭瓜=7:5=28:20,西瓜剩3份36個(gè), 每份12個(gè)，所以原有西瓜 28X1

4、2=336個(gè)。6. 商店購進(jìn)甲乙兩種不同糖果，所用費(fèi)用之比為2:1,甲種糖果每千克 6元，乙種每千克2元。如果把這兩種糖果混在一起成為什錦糖，那么，這種什錦糖每千克多少元？2 16工2+2工3解:費(fèi)用比2:1，單價(jià)比3:1,重量比一：-=2：，平均價(jià)格為3.6（元/千克）3 12+37. 甲乙二人共加工零件 400個(gè)，甲加工一個(gè)零件用9分鐘，乙加工一個(gè)零件用15分鐘。完成任務(wù)時(shí)，甲比乙多加工多少個(gè)零件？解:甲乙工效之比15:9=5:3，甲比乙多加工 400 乞3 =100 （個(gè)）5+38. 甲乙走完同一段路分別用40分和30分，甲先走5分后乙再追，乙?guī)追昼姴拍茏飞霞?解：甲乙速度之比3:4，設(shè)

5、乙x分追上甲，則甲用（5+x）分，3（5+x）=4x，x=151 19. 甲走的路比乙多，乙用的時(shí)間卻比甲多，則甲乙兩人的速度比是多少？34解:甲乙路程之比是 4:3，甲乙時(shí)間之比是 4:5，所以甲乙速度之比是5:310. 從A地到B地，甲、乙兩人騎自行車行完全程所用的時(shí)間的比是4:5，如果甲、乙兩人同時(shí)分別從 A、B兩地相對(duì)騎出，40分鐘相遇。相遇后繼續(xù)前進(jìn)，乙到達(dá) A地比甲 到達(dá)B地晚多少分鐘？解:甲速:乙速=5:4.所以相遇時(shí)，甲與乙所行路程之比為5:4。一 4040相遇后，甲還要行（4 5） -40 =32分，乙還要行（4 5） -40 =50分5 4所以乙到達(dá)A比甲到達(dá)B晚18分鐘。

6、11. 甲乙兩列車分別從 A、B兩站同時(shí)相向開出，已知甲車速度與乙車速度之比為3:2，C站在A,、B之間。甲、乙兩列車到達(dá)C站的時(shí)間分別是上午 5點(diǎn)和下午3點(diǎn)。問：甲、乙兩車在幾點(diǎn)相遇？解:甲行駛到C點(diǎn)時(shí)乙行駛到 D點(diǎn)，從D到C，乙行駛了 12+3-5=10小時(shí)甲乙在CD中某點(diǎn)E相遇，路程比為 3:2，共5份，乙行5份用了 10小時(shí),所以乙相遇用了2104小時(shí)，所以在上午（5+4=） 9點(diǎn)相遇512. 快、慢兩列車的長分別是 150米，200米，它們相向行駛在平行軌道上，如果坐在慢車上的人見快車駛過窗口的時(shí)間是6秒，那么坐在快車上的人見慢車駛過窗口所用的時(shí)間是多少秒？解:設(shè)慢車駛過快車窗口所用

7、的時(shí)間是x秒。兩車相對(duì)速度一樣，路程與時(shí)間成正比，所以有150:200=6: X，解得x=813. 有甲、乙兩輛汽車，在機(jī)場與售票處之間往返行駛。甲車去時(shí)速度為60千米/小時(shí)，回來時(shí)速度為40千米/小時(shí)。乙車往、返的速度都是50千米/小時(shí)。那么，甲、乙兩車往返一次所需的時(shí)間之比是多少？11 1解:設(shè)機(jī)場到售票處的距離為1,兩車所需時(shí)間之比為（丄丄）：（丄 2） = 25 : 2460 405014. 一段公路分為上坡、平路、下坡三段，各段路程長之比是1:2:3.某人走各段路程所用的時(shí)間之比是4:5:6，已知他上坡的速度為每小時(shí)3千米，路程全長50千米，那么此人走完全程用了多少時(shí)間？解:上坡路程

8、為50二25千米，上坡時(shí)間為 2-3=25小時(shí)，1+2 +3339全程時(shí)間為 空-，=10 2小時(shí)9151215. 如圖，甲、乙、丙三個(gè)互相咬合的齒輪，若使甲輪轉(zhuǎn)5圈時(shí)，乙輪轉(zhuǎn)7圈，丙輪轉(zhuǎn)2圈，這三個(gè)齒輪齒數(shù)最少應(yīng)分別是多少齒？解:用甲齒、乙齒、丙齒代表三個(gè)齒輪的齒數(shù).甲乙丙三個(gè)齒輪轉(zhuǎn)數(shù)比為5 : 7 : 2，根據(jù)齒數(shù)與轉(zhuǎn)數(shù)成反比例的關(guān)系.甲齒：乙齒=7 : 5=14 : 10,乙齒：丙齒=2 : 7=10 : 35,所以甲齒：乙齒：丙齒=14 : 10 : 35由于14, 10 , 35三個(gè)數(shù)互質(zhì)，且齒數(shù)需是自然數(shù)，所以甲、乙、丙三個(gè)齒輪齒數(shù)最少應(yīng)分別是14, 10, 3516. 某高速公路

9、收費(fèi)站對(duì)于過往車輛收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：大客車30元，小客車15元，小轎車10元。某日通過該收費(fèi)站的大客車和小客車數(shù)量之比是5:6,小客車與小轎車之比是4:11,收取小轎車的通行費(fèi)比大客車多210元。求這天三種車輛通過的數(shù)量。解:大客車:小客車：小轎車=10:12:33以10輛大客車，12輛小轎車，33輛小轎車為一組，每組中小轎車的通行費(fèi)比大客車多10 33 -30 10 =30 （元），所以這天通過的車輛共有210,30=7組大客車10 7 =70 （輛） 小客車12 784 （輛） 小轎車33 7 = 231 （輛）一 一 1 ,亠17. 某供銷公司將1200噸化肥售給甲、 乙、丙三個(gè)鄉(xiāng)使用，若甲鄉(xiāng)

10、分售的是乙鄉(xiāng)的 2-倍,61乙鄉(xiāng)分售的是丙鄉(xiāng)的1丄倍，則甲、乙、丙三個(gè)鄉(xiāng)分別得多少噸化肥？5111解：甲：乙:丙 =2 1-: 1-: 1=13:6:5，于是有 13+6+5=24 份，每份 1200-24=50 噸，于6 55是甲分得13X50=650噸，乙6拓0=300噸，丙5X50=250噸。1218. 某小學(xué)四、五、六年級(jí)共有學(xué)生697人，已知六年級(jí)學(xué)生的 一等于五年級(jí)學(xué)生的，2 512六年級(jí)學(xué)生的等于四年級(jí)學(xué)生的。冋:四、五、六年級(jí)各有多少學(xué)生？3 71 21 2解：由題意，四年級(jí)：六年級(jí)=-：-7:6，五年級(jí):六年級(jí)=:-5:43 72 5所以四年級(jí)：五年級(jí)：六年級(jí)=14:15:1

11、2共14+15+12=41份，一份為 697詔仁17人所以，四年級(jí)17X14=238人，五年級(jí)17X15=255人，六年級(jí)697-238-255=204人佃.某俱樂部男女會(huì)員的人數(shù)之比是3:2,分為甲、乙、丙三組，甲、乙、丙三組的人數(shù)之比是10:8:7，如果甲組中男女會(huì)員的人數(shù)之比是3:1，乙組中男女會(huì)員的人數(shù)之比是5:3.那么丙組中男女會(huì)員的人數(shù)之比是多少？解：由甲，乙,丙三組的人數(shù)之比是10:8:7，總?cè)藬?shù)為10+8+7=25份，貝U32共有男會(huì)員25 =15份，女會(huì)員25 =10份,3 23 2甲組男會(huì)員有10 15二15份，女會(huì)員151015 份3 123 12乙組男會(huì)員有8 53=5

12、份，女會(huì)員8 = 3份5 35 3丙組男會(huì)員有15-1-5 = 5份，女會(huì)員59八10 -3份222 2所以，丙組中男女之比是 5:920. 有三堆棋子，每堆棋子數(shù)相等，并且都只有黑白兩色棋子，第一堆里的黑子和第二堆2里的白子一樣多，第三堆里的黑子占全部黑子的，把這三堆棋子集中到一起，問白子5占全部棋子的幾分之幾？解:把一二堆黑白子調(diào)換，可得 ：第一堆全是白棋，第二堆全是黑棋，第三堆是白+黑，且三堆數(shù)目一樣，由已知可設(shè)第三堆有 2份黑子，第二堆有3份黑子，可見每堆有3份棋子，所以第一堆有3份白子，第三堆有1份白子，所以白子占了全部的21. 一個(gè)容器內(nèi)已注滿水，有大、中、小三個(gè)球。第一次把小球沉

13、入水中，第二次把小球 取出，把中球沉入水中；第三次取出中球，把小球和大球一起沉入水中?，F(xiàn)在知道每次1從容器中溢出的水量情況是：第一次是第二次的,第三次是第一次的 2.5倍，那么，這3三個(gè)球的體積之比是多少？解:設(shè)小球體積是1，當(dāng)容器水滿時(shí)，放入一個(gè)球，會(huì)溢出同樣體積的水。 第一次溢出水量為1,第二次為3，第三次為2.5,因此中球體積為 4,小球和大球的體積之 和為6.5,大球體積為 5.5，?。褐?大=1:4:5.5=2:8:1122. 有正方形和長方形兩種不同的紙板(正方形的邊長與長方形的寬同樣長)，正方形紙板與長方形紙板數(shù)之比為2:5?，F(xiàn)在用這些紙板拼成一些長方形紙無蓋紙盒(即每個(gè)紙盒只用

14、5塊紙板)，可以拼成兩種紙盒，恰好用完全部的紙板。那么，這兩種紙盒的比是 多少？解:兩種紙盒,4塊長方形和1塊正方形4:1 , 3塊長方形和2塊正方形3:2 設(shè)第一種紙盒與第二種紙盒的比為x:y(x+2y):(4x+3y)=2:5 可得 x:y=4:3課堂檢測班級(jí)姓名1. 一個(gè)長方體，長與寬的比為 2:1，寬與高的比為3:2，則長與高的比為 3:1 2. 個(gè)長方形與一個(gè)正方形的周長之比為6:5，長方形的長是寬的1-倍，則這個(gè)長方形與5正方形的面積之比為是多少？5 (7+5)解:長方形長：寬=7:5，正方形邊長為5，面積比為(5 7):(5 5) =7:56 23. 加工一個(gè)零件，甲需 3分鐘，

15、乙需3.5分鐘，丙需4分鐘?，F(xiàn)有1825個(gè)零件需要加工。 如果規(guī)定三人用同樣的時(shí)間完成任務(wù)，那么，甲、乙、丙應(yīng)分別加工多少個(gè)零件？1 1 1解：甲:乙:丙=一：:28:24： 21 , 28+ 24 + 21=733 3.5 4甲加工700個(gè),乙加工600個(gè),丙加工525個(gè)4. 一班和二班人數(shù)之比為8:7，如果將一班的 8名同學(xué)調(diào)到二班去，則一班和二班的人數(shù) 之比為4:5。求原來一班的人數(shù)。解:原來，一班：二班=8:7=24:21現(xiàn)在，一班:二班=4:5=20:25一班減少24-20=4份，8人，可見1份為2人，于是原來一班有 2X24=48人。 也可以用方程解決。5. 甲、乙、丙三人分 138只貝殼，甲每取走 5只乙就取走4只，