函數的最大值和最小值1

1、函數的最大值和最小值(1)教學目標：1使學生掌握可導函數f(x)在閉區(qū)間!a,b 1上所有點(包括端點a,b )處的函數中的最大(或最小)值；2、使學生掌握用導數求函數的極值及最值的方法教學重點：掌握用導數求函數的極值及最值的方法教學難點： 提高“用導數求函數的極值及最值”的應用能力一、課題引入前面已經明確了函數極值的概念，并掌握了求函數極值的步驟和方法. 在社 會生活實踐中，為了發(fā)揮最大的經濟效益，常常會遇到如何能使用料最省、產量最高、效 益最大等問題，這樣的問題有時就可以化為求一個函數的最大值和最小值的問 題.二、新課在某些問題中，往往關心的是函數在一個定義區(qū)間上，哪個值最大，哪個值最小1

2、. 閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質課本中結合函數圖像，研究了連續(xù)函數的一個重要性質，即在閉區(qū)間a, b上連續(xù)的函數f(x)在a，b上必有最大值和最小值。此性質包括兩個條件：(1) 給定函數的區(qū)間必須是閉區(qū)間，也就是說函數f(x)在開區(qū)間上雖然連續(xù)，但不能保證有最大值與最小值.例如函數f(x)二1在(0，+x)內連續(xù)，但沒有最x 大值與最小值.(2) 在閉區(qū)間上的每一點必須連續(xù)，即在閉區(qū)間上有間斷點亦不能保證f(x)有最大值與最小值.如f(x) =x (蘭xuj，有最小值0,無最大值.0 (x=1)另外，函數f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)是使得f(x)有最大值與最小值的充分條 件而非必要條件.因為函數的

3、最大值與最小值可以在極值點、不可導點、區(qū)間的端點處取得。例如：函數y=|x|在-1x 0,考慮其單調性，另解： 令一 3x0， 1 ：2y 2x - x ，2xy 二 1 x 2x - x22x 02 解得0VXW 22xx -0設何4 當 0vxv2 時，f（x） X（3 二2x）2yl2x-x2令 f (x)=0 ,得 x = 3 或 x=0(舍去)2當x在(0 , 2)內變化時，yy有如下變化情況:Jt(0冷)(春2)19y+0y極大值攀0由上表可知，當x二3時，f(x)最大值為出，亦即xy的最大值為3衛(wèi).2 8 82例 4 設 a(,1)， f (x) =x33-ax2 b，x -1，

4、1的最大值為1,最小2值為-于，求常數a、b的值.分析 閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間上可導的函數的最大值、 最小值問題的解法應 該先出極大值、極小值，然后再與端點處的函數值進行比較，分類討論確定 a、 b的值.解 f(x) = 3x2-3ax = 3x(x-a)令 f (x)=0，解得 = 0， X2 二 a當x變化時，f (x)、f(x)的變化情況如下表:X-1(-1,0)0(03a100+/(a)極大值白極小值1 -ya-r/j由表可知，最大值應為f(0)或f(1)33 2又 f(0)=b ， f (1) = 1 _ _ a b ： 1 _ b = b，故當 x=0 時，f(x)有最大值22 33

5、b。由已知 b=1，此時 f (x) = x3ax21 o2由表可知，最小值應為f(-1)或f(a) o若 x=a 時，f(x)有最小值，則6 = f (a) = 1 -丄a3，從而 a3 = 2 6 1，2 2a1，與已知條件矛盾.若 x=-1 時，f(x)有最小值，則，6 二 f(-1) = -3a 得 a = C2,1).此時2233g3亠于o故當時，f(x)的最小值為f(_l)綜上所述，a , b=1.3點撥 列出表格，由表格觀察分析，進行分類討論，是解決本題的關鍵，最后的檢驗不可少，因為滿足條件的 a、b可能是不存在的.四、小結：1、 閉區(qū)間b,b 1上的連續(xù)函數一定有最值；開區(qū)間(a,b)內的可導函數 不一定有最值，若有唯一的極值，則此極值必是函數的最值。2、函數在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數的極值 可能不止一個，也可能沒有一個。3、，函數f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)是使得f(x)有最大值與最小值的充分條件而 非必要條件.因為函數的最大值與