2015-2016學(xué)年4-4平面上的伸縮變換課時(shí)作業(yè)

1、精品資源歡迎下載1.在平面直角坐標(biāo)系中，求下列方程經(jīng)過(guò)伸縮變換=2x, 后的方程.y =3y(1)2x+3y= 0; (2)x2+y2=1.【解】 由伸縮變換父=2x=3yx= 2xz ,得到 ，1y=3y .(1)將代入2x+ 3y=0,得到經(jīng)過(guò)伸縮變換后的方程為 x +y =0,xz =2x所以，經(jīng)過(guò)伸縮變換，y =3y后,直線2x+3y= 0變成直線x+y= 0.c cx 2(2)將代入x2+y2=1,得二“ 十y92-=1.所以，經(jīng)過(guò)伸縮變換xz =2xj =3y 后，22方程 x2+y2 =1 變成全 + y9=1.2.伸縮變換的坐標(biāo)表達(dá)式為,=x,=4y.曲線c在此變換下變?yōu)闄E圓x

2、 22+ %=1.求曲線c的方程【解】=x,= 4y,代入x2+y,162一=1,得 x2 + y2=1即曲線c的方程為x2+y2=1.3.設(shè) f: (x1)2+(y1)2=1 在3x= x ,的伸縮變換下變?yōu)閳D形f,、y=y3x= xn = v求f的方程.得jx= 3x所以(x1)2+(y1)2 = 1 變換為(3y= y .3x 1)2+(y _1)2=1,即(x ；3)+ (y 1)2=1,所以 f的方程是止言十 99（y-1）2=1.4.雙曲線轟一意= 1經(jīng)過(guò)伸縮變換能化為等軸雙曲線 x2y2=1嗎?16 92 24=x，【解】雙曲線方程條gi可以化為（4）2（3）2=1.令則x，21

3、3=y；-y 2 = 1.所以雙曲線 裝一上1可以通過(guò)伸縮變換化為等軸雙曲線 x2-y2=1, 16 9具體步驟是：按伸縮系數(shù)1向著y軸進(jìn)行伸縮變換，再將曲線按伸縮系數(shù)1向著x 43軸進(jìn)行伸縮變換.5 .已知g是4abc的重心，經(jīng)過(guò)伸縮系數(shù)k向著x軸（或y軸）的伸縮變換后，得到g和aa b c.試判斷g是否為 a b c的重心.【解】設(shè) abc的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 a（x1，y1）、b（x2, y2） c（x3, ya）,則gj + + x3, + ： + ”）.經(jīng)過(guò)伸縮系數(shù)k向著x軸的伸縮變換后，得到 33a b c的三個(gè)頂點(diǎn)及點(diǎn)g的坐標(biāo)分別為a (x1, ky)、b (x2, ky2),

4、 c (x3,b c的重心坐標(biāo)為（x1 + ； + x3,3的重心.同理可證，若伸縮變換向ky3), g,(吐產(chǎn),tiy).由于aa， 33ky1 + ky2+ky3),所以 g仍然是 a，b c， 3著y軸方向，g同樣也是aa b c的重心.kx= x，,6 .已知： abc經(jīng)過(guò)伸縮變換/，（kw0,且kw 1）后，得到ky= ya b c.求證：匕a b c和 abc相似，且面積比為k2.【證明】設(shè)a(x1，y1)、b(x2, y2),則a (kx1, ky。、b (kx2, ky2).所以 a b=叱kx 一 kx2 f (ky 一 ky2廣二|kp7(x1-x2f+(y1-y2f二 |

5、kab.同理可得 a，c，=|kac, b，c，=|k|bc, 所以匕 a b c s/xabc,所以 / a= /a1sa a b c =2(|kab) (|kac)sin a.2 12c=k212(ab ac)sin a = k2s4abc.7 .設(shè)pi、p2是直線l上的兩點(diǎn)，點(diǎn)p是l上不同于pi、p2的任意一點(diǎn)，則 存在一個(gè)實(shí)數(shù)使pip=pp,稱人為點(diǎn)p分有向線段pip2所成比.設(shè)pi(xi, yi)、p2(x2, y2),點(diǎn)p分有向線段pip2所成比為a經(jīng)過(guò)伸縮變換后，點(diǎn)pi、p2 和p分別變?yōu)閜i、p2和p.求證：pi、p2和p三點(diǎn)依然共線，且p 分有向線段pi p2所成比等于入【證

6、明】 設(shè) p(xo, yo),由 pip= ?pp2,得(x0xi, y。-yi)= xx2 xo, y2 y。)，所以xo 二yo=xi+ 入2 i+入yi + 入 2i+入.kix=x設(shè)給定伸縮變換為3,ky=y則有pi (kixi , k2yi)、p2 (kix2, k2y2)、, xi + x2yi + 2p(kik, k2), ,xi + 永2pip=(ki kixi1十人yi + 2y2ki(x2 xik2 i+/k2yi)=x i+入k2 y2yii+入p節(jié)2(kix2 kixi +檢i+入yi + v2ki(x2 xi)k2(y2 yi mk2h)=(i+ 入二刃所以 pi* = p節(jié)2所以pi、p2和p三點(diǎn)依然共線，且p分有向線段pi p2所成比等于入叵教師備選228 .在下列平面直角坐標(biāo)系中，分別作出雙曲線 親一y9=i的圖形：16 9(i)x軸與y軸具有相同的單位長(zhǎng)度；(2)x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸上單位長(zhǎng)度的2倍;1.、(3)x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸上單位長(zhǎng)度的2倍.【解】(1)建立平面直角坐標(biāo)系，使x軸與y軸具有相同的單位長(zhǎng)度，雙曲線a1的圖形如下：16 9,一 一，一