(定稿)第一講 早期數(shù)學.ppt

1、第一講第一講 早期算術(shù)與幾何早期算術(shù)與幾何 （河谷文明與早期數(shù)學）（河谷文明與早期數(shù)學） 數(shù)與形概念的產(chǎn)生和發(fā)展數(shù)與形概念的產(chǎn)生和發(fā)展 埃及和巴比倫的數(shù)學埃及和巴比倫的數(shù)學 中國的早期數(shù)學中國的早期數(shù)學 數(shù)的概念的產(chǎn)生數(shù)的概念的產(chǎn)生 數(shù)和形是數(shù)學最早的研究對象，考古研究發(fā)數(shù)和形是數(shù)學最早的研究對象，考古研究發(fā) 現(xiàn)，人類在現(xiàn)，人類在5萬年前就已經(jīng)有了一些計數(shù)的萬年前就已經(jīng)有了一些計數(shù)的 方法?，F(xiàn)代人的研究認為，人類數(shù)的概念的方法?，F(xiàn)代人的研究認為，人類數(shù)的概念的 發(fā)展過程是，先有原始的數(shù)感（狩獵數(shù)目，發(fā)展過程是，先有原始的數(shù)感（狩獵數(shù)目， 食物種類等），再形成一一對應(yīng)的計數(shù)方法，食物種類等），再

2、形成一一對應(yīng)的計數(shù)方法， 最后通過集合的等價關(guān)系建立最后通過集合的等價關(guān)系建立抽象抽象的數(shù)的概的數(shù)的概 念。念。 記數(shù)符號的產(chǎn)生記數(shù)符號的產(chǎn)生 中國周易中國周易系辭中載：系辭中載：“上古結(jié)繩而上古結(jié)繩而 治，后世圣人易之以書契治，后世圣人易之以書契”。結(jié)繩記數(shù)，。結(jié)繩記數(shù)， 是指在繩子上打一個結(jié)表示一個數(shù)或一是指在繩子上打一個結(jié)表示一個數(shù)或一 件事，繩結(jié)的多少，根據(jù)事物多少而定。件事，繩結(jié)的多少，根據(jù)事物多少而定。 而所謂的而所謂的“書契書契”，就是刻劃，就是刻劃，“書書” 是劃痕，是劃痕，“契契”是刻痕。古人常常在各是刻痕。古人常常在各 種動物骨頭、金屬、泥版上刻痕記數(shù)。種動物骨頭、金屬、泥

3、版上刻痕記數(shù)。 如中國殷商時期常將文字刻劃在牛的肩如中國殷商時期常將文字刻劃在牛的肩 胛骨或龜甲上，故稱甲骨文。胛骨或龜甲上，故稱甲骨文。 數(shù)與形概念的產(chǎn)生數(shù)與形概念的產(chǎn)生 從原始的從原始的“數(shù)數(shù)”到抽象的到抽象的“數(shù)數(shù)”概念的形成，是一個概念的形成，是一個 緩慢、漸進的過程。人從生產(chǎn)活動中認識到了具體的緩慢、漸進的過程。人從生產(chǎn)活動中認識到了具體的 數(shù)，導致了記數(shù)法。數(shù)，導致了記數(shù)法?！扒缚蓴?shù)屈指可數(shù)”表明人類記數(shù)最原表明人類記數(shù)最原 始、最方便的工具是手指。始、最方便的工具是手指。 手指計數(shù)（不敷用）手指計數(shù)（不敷用）-石子計數(shù)（不易保存）石子計數(shù)（不易保存） -結(jié)繩計數(shù)（結(jié)繩計數(shù)（19

4、72年在秘魯出土，現(xiàn)保存在美年在秘魯出土，現(xiàn)保存在美 國自然史博物館藏有古代南美印加部落用來記國自然史博物館藏有古代南美印加部落用來記 事的繩結(jié)，當時人稱之為基普）事的繩結(jié)，當時人稱之為基普）-文字計數(shù)約文字計數(shù)約 5000年前。年前。 結(jié)繩計數(shù)結(jié)繩計數(shù) 幾種古老文明的早期計數(shù)系統(tǒng)幾種古老文明的早期計數(shù)系統(tǒng) 幾種古老文明的早期計數(shù)系統(tǒng)幾種古老文明的早期計數(shù)系統(tǒng) 古埃及數(shù)學古埃及數(shù)學 從公元前從公元前3500年左右開始，直到公元前年左右開始，直到公元前332年年 亞歷山大大帝征服埃及為止。埃及人創(chuàng)造了亞歷山大大帝征服埃及為止。埃及人創(chuàng)造了 連續(xù)連續(xù)3000多年的輝煌歷史，建立了國家，有多年的輝煌

5、歷史，建立了國家，有 了相當發(fā)達的農(nóng)業(yè)和手工業(yè)，發(fā)明了銅器、了相當發(fā)達的農(nóng)業(yè)和手工業(yè)，發(fā)明了銅器、 創(chuàng)造了文字、掌握了較高的天文學和幾何學創(chuàng)造了文字、掌握了較高的天文學和幾何學 知識，建造了巍峨宏偉的神廟和金字塔。古知識，建造了巍峨宏偉的神廟和金字塔。古 埃及最重要的傳世數(shù)學文獻：紙草書，來自埃及最重要的傳世數(shù)學文獻：紙草書，來自 現(xiàn)實生活的數(shù)學問題集?，F(xiàn)實生活的數(shù)學問題集。 古埃及數(shù)學古埃及數(shù)學 埃及大金字塔埃及大金字塔 紙草書紙草書 紙草書是研究古埃及數(shù)學的主要來源紙草書是研究古埃及數(shù)學的主要來源 萊因德紙草書：最初發(fā)現(xiàn)于埃及底比斯古都廢墟，萊因德紙草書：最初發(fā)現(xiàn)于埃及底比斯古都廢墟， 1

6、8581858年為蘇格蘭收藏家萊因德購得，現(xiàn)藏于倫敦年為蘇格蘭收藏家萊因德購得，現(xiàn)藏于倫敦 大英博物館又稱阿姆士紙草書，阿姆士在公元大英博物館又稱阿姆士紙草書，阿姆士在公元 前前16501650年左右用僧侶文抄錄了這部紙草書，據(jù)他年左右用僧侶文抄錄了這部紙草書，據(jù)他 加的前言知，所抄錄的是一部已經(jīng)流傳了兩個世加的前言知，所抄錄的是一部已經(jīng)流傳了兩個世 紀的著作含紀的著作含8484個數(shù)學問題個數(shù)學問題 莫斯科紙草書：又稱戈列尼雪夫紙草書，莫斯科紙草書：又稱戈列尼雪夫紙草書，18931893年年 由俄國貴族戈列尼雪夫在埃及購得，現(xiàn)存于莫斯由俄國貴族戈列尼雪夫在埃及購得，現(xiàn)存于莫斯 科博物館產(chǎn)生于公

7、元前科博物館產(chǎn)生于公元前18501850年前后，含有年前后，含有25個個 數(shù)學問題數(shù)學問題 古埃及紙草書古埃及紙草書 萊茵德紙草書萊茵德紙草書 莫斯科紙草書莫斯科紙草書 古埃及算術(shù)與幾何古埃及算術(shù)與幾何 古埃及的計算技術(shù)具有迭加的特征，乘古埃及的計算技術(shù)具有迭加的特征，乘 除法運算，往往用連續(xù)加倍來完成由除法運算，往往用連續(xù)加倍來完成由 于方法較為繁復，古埃及算術(shù)難以發(fā)展于方法較為繁復，古埃及算術(shù)難以發(fā)展 到更高的水平到更高的水平 相對于算術(shù)，古埃及的幾何具有更高的相對于算術(shù)，古埃及的幾何具有更高的 成就古代埃及人留下了許多氣勢宏偉成就古代埃及人留下了許多氣勢宏偉 的建筑，可以說明古埃及幾何學

8、的發(fā)的建筑，可以說明古埃及幾何學的發(fā) 達達 古埃及幾何古埃及幾何 埃及幾何產(chǎn)生于土地測量，是一種實用埃及幾何產(chǎn)生于土地測量，是一種實用 幾何埃及幾何被稱為尼羅河的贈禮。幾何埃及幾何被稱為尼羅河的贈禮。 對面積、體積的計算，他們給出了一些對面積、體積的計算，他們給出了一些 計算的法則，有準確的也有粗略的在計算的法則，有準確的也有粗略的在 莫斯科紙草書中有一個正四棱臺體積的莫斯科紙草書中有一個正四棱臺體積的 計算所用的公式，用現(xiàn)在的符號表示是計算所用的公式，用現(xiàn)在的符號表示是 這是埃及幾何中最出色的成就之一這是埃及幾何中最出色的成就之一 22 () 3 h vaabb 古巴比倫的數(shù)學 古巴比倫（美

9、索不達米亞）古巴比倫（美索不達米亞） 數(shù)學數(shù)學 美索不達米亞文明美索不達米亞文明 兩河（迪特里斯河與幼發(fā)拉底河）流域的兩河（迪特里斯河與幼發(fā)拉底河）流域的 美索不達米亞文明可以上溯到距今美索不達米亞文明可以上溯到距今6000年之前，年之前， 幾乎和埃及人同時發(fā)明了文字幾乎和埃及人同時發(fā)明了文字“楔形文字楔形文字”。 了解古代美索不達米亞文明的主要文獻是了解古代美索不達米亞文明的主要文獻是 泥版，迄今已有約泥版，迄今已有約50萬塊泥版出土。現(xiàn)存泥版萬塊泥版出土?，F(xiàn)存泥版 文書中大約有文書中大約有300多塊是數(shù)學文獻。多塊是數(shù)學文獻。 泥版楔形文泥版楔形文 普林頓普林頓322 泥版書泥版書 古巴比

10、倫的數(shù)學的特點與成就古巴比倫的數(shù)學的特點與成就 六十進制位值制記數(shù)法。六十進制位值制記數(shù)法。 長于計算，編制了許多數(shù)表：乘法表、倒長于計算，編制了許多數(shù)表：乘法表、倒 數(shù)表、平方表、立方表、平方根表、立方數(shù)表、平方表、立方表、平方根表、立方 根表、甚至有特殊的指數(shù)（對數(shù)）表。根表、甚至有特殊的指數(shù)（對數(shù)）表。 能解二次方程。能解二次方程。 掌握了三角形、梯形等平面圖形面積和棱掌握了三角形、梯形等平面圖形面積和棱 柱、平頭方錐等立體圖形體積的計算，并柱、平頭方錐等立體圖形體積的計算，并 知道利用圖形相似的概念。知道利用圖形相似的概念。 中國的早期數(shù)學中國的早期數(shù)學 中國古代數(shù)學的起源可以上溯到公

11、元前數(shù)千中國古代數(shù)學的起源可以上溯到公元前數(shù)千 年史記中記載，夏禹治水，年史記中記載，夏禹治水，“左規(guī)矩，左規(guī)矩， 右準繩右準繩”這可以看作是中國古代幾何學的起這可以看作是中國古代幾何學的起 源在殷商甲骨文中已經(jīng)使用了完整的十進制源在殷商甲骨文中已經(jīng)使用了完整的十進制 記數(shù)法，春秋戰(zhàn)國時代又出現(xiàn)了十進位值制籌記數(shù)法，春秋戰(zhàn)國時代又出現(xiàn)了十進位值制籌 算記數(shù)法而戰(zhàn)國時代的考工記、墨算記數(shù)法而戰(zhàn)國時代的考工記、墨 經(jīng)、莊子等著作中則探討了許多抽象的經(jīng)、莊子等著作中則探討了許多抽象的 數(shù)學概念，并記載了大量實用幾何知識數(shù)學概念，并記載了大量實用幾何知識 殷墟甲骨上數(shù)學殷墟甲骨上數(shù)學 (商代商代, 公

12、元前公元前1400-前前 1100年年, 1983-84年間河年間河 南安陽出土南安陽出土 ) 殷墟甲骨上數(shù)學殷墟甲骨上數(shù)學 周易中的數(shù)學周易中的數(shù)學 周易是中國古代專講卜筮（周易是中國古代專講卜筮（shi）的書，）的書， 也可以看作是古人探索自然的樸素的哲學著也可以看作是古人探索自然的樸素的哲學著 作，約成書于殷商時期。周易由易經(jīng)作，約成書于殷商時期。周易由易經(jīng) 和易傳兩部分組成，先有易經(jīng)，后和易傳兩部分組成，先有易經(jīng)，后 有易傳，兩部分成書的時間相距七八百有易傳，兩部分成書的時間相距七八百 年。易經(jīng)包括古代占卜的卦辭及爻年。易經(jīng)包括古代占卜的卦辭及爻(yo) 辭，易傳由系辭、說卦等十篇辭，

13、易傳由系辭、說卦等十篇 文章組成，是對易經(jīng)中卦辭及爻辭的解文章組成，是對易經(jīng)中卦辭及爻辭的解 釋。釋。 卜筮是原始人類共有的社會現(xiàn)象。中國古代常卜筮是原始人類共有的社會現(xiàn)象。中國古代常 用龜甲和獸骨作為占卜工具，以決定事情的吉用龜甲和獸骨作為占卜工具，以決定事情的吉 兇。筮，是按一定的規(guī)則得到特定的數(shù)字，并兇。筮，是按一定的規(guī)則得到特定的數(shù)字，并 用它來預測事情的吉兇。周禮稱：用它來預測事情的吉兇。周禮稱：“凡國凡國 之大事，先筮后卜。之大事，先筮后卜。”史記史記龜策列傳則龜策列傳則 說：說：“王者決定諸疑，參與卜筮，斷以蓍王者決定諸疑，參與卜筮，斷以蓍( (shsh) ) 龜，不易之道也。龜

14、，不易之道也?！?筮的工具起初是竹棍筮的工具起初是竹棍 （以后出現(xiàn)的籌算數(shù)碼則形成了中國古代用竹（以后出現(xiàn)的籌算數(shù)碼則形成了中國古代用竹 棍表示數(shù)字的傳統(tǒng)），后來改用蓍草棍表示數(shù)字的傳統(tǒng)），后來改用蓍草-一種有一種有 鋸齒的草本植物。鋸齒的草本植物。 周易中的數(shù)學周易中的數(shù)學 在中國古代眾多的儒、道典籍中，周易在中國古代眾多的儒、道典籍中，周易 是包含數(shù)學內(nèi)容最豐富的著作，因而對中國是包含數(shù)學內(nèi)容最豐富的著作，因而對中國 古代數(shù)學家產(chǎn)生了極大的影響。比如，劉徽古代數(shù)學家產(chǎn)生了極大的影響。比如，劉徽 在九章算術(shù)注的序中就寫道：在九章算術(shù)注的序中就寫道：“昔伏羲昔伏羲 氏始作八卦，以通神明之德，以

15、類萬物之情。氏始作八卦，以通神明之德，以類萬物之情。 作九九之數(shù)，以合六爻之變。作九九之數(shù)，以合六爻之變。”實際上就把實際上就把 數(shù)學方法與周易中的六爻（數(shù)學方法與周易中的六爻（yoyo）、八）、八 卦等內(nèi)容聯(lián)系起來了。卦等內(nèi)容聯(lián)系起來了。 周易中的數(shù)學周易中的數(shù)學 八卦 乾乾 巽巽 離離 - - 艮艮 - - - - - - - - - - - - - - 坤坤 - - 震震 - - 坎坎 兌兌 - - - - 計算機的發(fā)明與周易中的八卦有著十分計算機的發(fā)明與周易中的八卦有著十分 密切的聯(lián)系。眾所周知，現(xiàn)代電子計算機最密切的聯(lián)系。眾所周知，現(xiàn)代電子計算機最 基本的數(shù)學基礎(chǔ)是二進制數(shù)。二進制符

16、號是基本的數(shù)學基礎(chǔ)是二進制數(shù)。二進制符號是 德國數(shù)學家萊布尼茨（德國數(shù)學家萊布尼茨（leibniz，16461716） 發(fā)明的。萊布尼茨于發(fā)明的。萊布尼茨于1679年撰寫了二進制算年撰寫了二進制算 術(shù)，闡述了二進制理論。萊布尼茨自稱，術(shù)，闡述了二進制理論。萊布尼茨自稱， 他之所以會想到二進制數(shù)，就是因為受到了他之所以會想到二進制數(shù)，就是因為受到了 八卦符號的啟發(fā)。他還說：八卦符號的啟發(fā)。他還說：“可以讓我加入可以讓我加入 中國籍了吧中國籍了吧”。 周易中的數(shù)學周易中的數(shù)學 太極圖太極圖 周易中的另一重要概念是太極。周周易中的另一重要概念是太極。周 易中寫道：易中寫道：“易有太極，是生兩儀，兩易

17、有太極，是生兩儀，兩 儀生四象，四象生八卦。儀生四象，四象生八卦。” 太極即太一，這段話講的是太極即太一，這段話講的是 八卦產(chǎn)生的原理，也試圖解八卦產(chǎn)生的原理，也試圖解 釋釋天地造分，化成萬物的原天地造分，化成萬物的原 理。后經(jīng)宋代陳摶的發(fā)展，理。后經(jīng)宋代陳摶的發(fā)展， 便有了太極圖。便有了太極圖。 周易周易太極太極 周易周易太極太極 周易中另一個與數(shù)學相關(guān)的內(nèi)容是周易中另一個與數(shù)學相關(guān)的內(nèi)容是“河河 圖洛書圖洛書”。周易中有。周易中有“河出圖，洛出書，河出圖，洛出書， 圣人則之圣人則之”的記載。以后，孔安國等人又把的記載。以后，孔安國等人又把 河圖洛書與八卦及九數(shù)聯(lián)系起來。孔安國認河圖洛書與八

18、卦及九數(shù)聯(lián)系起來?？装矅J 為：為：“河圖者，伏羲氏王天下，龍馬出河，河圖者，伏羲氏王天下，龍馬出河， 遂則其文以畫八卦。洛書者，禹治水時，神遂則其文以畫八卦。洛書者，禹治水時，神 龜負文，而列于背，有數(shù)至九，禹遂因而第龜負文，而列于背，有數(shù)至九，禹遂因而第 之，以成九類。之，以成九類?！币簿褪钦f，在古人看來，也就是說，在古人看來， 八卦與九數(shù)實出于河圖洛書。八卦與九數(shù)實出于河圖洛書。 河圖洛書河圖洛書 宋代陳摶所作的宋代陳摶所作的“洛書圖洛書圖”（九宮圖）九宮圖） 洛書 縱橫圖 492 357 816 公元前公元前500年左右的戰(zhàn)國時代，中國人創(chuàng)造年左右的戰(zhàn)國時代，中國人創(chuàng)造 了具有十進位值制特征的籌算數(shù)碼。了具有十進位值制特征的籌算數(shù)碼。 籌算數(shù)字的擺放方法規(guī)定，個位用縱式，籌算數(shù)