概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：m3-多維隨機(jī)變量及其分布1

1、 1 二二 維維 隨隨 機(jī)機(jī) 變變 量量 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量 聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù) 聯(lián)合分布律聯(lián)合分布律 聯(lián)合概率密度聯(lián)合概率密度 返回主目錄 設(shè)設(shè) E 是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是 =e， 設(shè)設(shè) X=X(e) 和和 Y=Y(e) 是定義在是定義在 上的隨機(jī)變量。上的隨機(jī)變量。 由它們構(gòu)成的一個(gè)向量由它們構(gòu)成的一個(gè)向量 (X, Y) ，叫做叫做二維隨機(jī)二維隨機(jī) 向量向量，或，或二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量。 e X(e) Y(e) 1 二 維 隨 機(jī) 變 量 1 二維隨機(jī)變量的定二維隨機(jī)變量的定義義 返回主目錄 注注 意意 事事 項(xiàng)項(xiàng) 我我們們應(yīng)應(yīng)把把二二

2、維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量)1( eeYeXYX， 系的；系的； 之間是有聯(lián)之間是有聯(lián)與與看作一個(gè)整體，因?yàn)榭醋饕粋€(gè)整體，因?yàn)閅X 作平面上的隨機(jī)點(diǎn)作平面上的隨機(jī)點(diǎn) 可看可看，量量在幾何上，二維隨機(jī)變在幾何上，二維隨機(jī)變YX)2( 1 二 維 隨 機(jī) 變 量 返回主目錄 二維隨機(jī)變量的例子二維隨機(jī)變量的例子 身身體體狀狀況況，令令考考察察某某地地區(qū)區(qū)成成年年男男子子的的 高高；：該該地地區(qū)區(qū)成成年年男男子子的的身身X 就就是是一一個(gè)個(gè)二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量，則則YX ：對對一一目目標(biāo)標(biāo)進(jìn)進(jìn)行行射射擊擊，令令 重重：該該地地區(qū)區(qū)成成年年男男子子的的體體Y 距距離離；：彈彈著著點(diǎn)點(diǎn)與與目目標(biāo)標(biāo)的的水水

3、平平X 距距離離；：彈彈著著點(diǎn)點(diǎn)與與目目標(biāo)標(biāo)的的垂垂直直Y 就就是是一一個(gè)個(gè)二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量，則則YX 1 二二 維維 隨隨 機(jī)機(jī) 變變 量量 返回主目錄 二維隨機(jī)變量的例子二維隨機(jī)變量的例子 ，令令：考考察察某某地地區(qū)區(qū)的的氣氣候候狀狀況況 ：該地區(qū)的溫度；：該地區(qū)的溫度；X 就就是是一一個(gè)個(gè)二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量，則則YX ，令令：考考察察某某鋼鋼廠廠鋼鋼材材的的質(zhì)質(zhì)量量 ：該地區(qū)的濕度：該地區(qū)的濕度Y ：鋼材的含碳量；：鋼材的含碳量；X ：鋼材的含硫量；：鋼材的含硫量；Y 就就是是一一個(gè)個(gè)二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量，則則YX 1 二 維 隨 機(jī) 變 量 返回主目錄 ，實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) 則

4、對于任意一對則對于任意一對是一個(gè)二維隨機(jī)變量，是一個(gè)二維隨機(jī)變量，設(shè)設(shè) yx YX .的的分分布布函函數(shù)數(shù)，變變量量 為為二二維維隨隨機(jī)機(jī)的的函函數(shù)數(shù)我我們們稱稱此此函函數(shù)數(shù)，是是 YX yx yYxXPyxF ， 1 二 維 隨 機(jī) 變 量 2 2 二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)的定二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)的定 義義 返回主目錄 二維分布函數(shù)的幾何意義二維分布函數(shù)的幾何意義 概率概率 點(diǎn)的無窮矩形中的點(diǎn)的無窮矩形中的 為右上頂為右上頂， 落在以落在以，點(diǎn)點(diǎn) 表示平面上的隨機(jī)表示平面上的隨機(jī) ，意義是：意義是： 二維分布函數(shù)的幾何二維分布函數(shù)的幾何 yx YX yxF y o (X, Y ) 1

5、 二 維 隨 機(jī) 變 量 返回主目錄 x ),(yx yYxXPyxF ， 一個(gè)重要的公式一個(gè)重要的公式 ，設(shè)：設(shè)： 2121 yyxx 則則 2121 yYyxXxP ， 1222 yxFyxF， 1121 yxFyxF， y x o x1x2 y1 y2 (X, Y ) (x2 , y2) (x2 , y1) (x1 , y2) (x1 , y1) 1 二 維 隨 機(jī) 變 量 2121 yYyxXxP ， 22 yYxXP ， ),( ),( 12 21 yYxX yYxX P 分布函數(shù)具有以下的基本性質(zhì)：分布函數(shù)具有以下的基本性質(zhì)： F (x , y )F (x , y )是變量是變量

6、x , y x , y 的不減函數(shù)，即的不減函數(shù)，即 對于任意固定的對于任意固定的 y y , , 當(dāng)當(dāng) x x1 1 x x2 2時(shí)，時(shí)， 對于任意固定的對于任意固定的 x x , , 當(dāng)當(dāng) y y1 1 y y2 2時(shí)，時(shí)， );,(),( 21 yxFyxF );,(),( 21 yxFyxF 對于任意固定的對于任意固定的 Y Y , , 對于任意固定的對于任意固定的 X X , , 1),(0 yxF ; 0),( yF ; 0),( xF . 1),(; 0),( FF 1 二 維 隨 機(jī) 變 量 2) 1) 且 返回主目錄 . 0),(),(),(),( 21111222 yxFy

7、xFyxFyxF 3) F (x , y )=F(x+0, y), F (x , y )=F(x ,y+0), 即即 y x o x1x2 y1 y2 (X, Y ) (x2 , y2) (x2 , y1) (x1 , y2) (x1 , y1) 1 二 維 隨 機(jī) 變 量 4) F (x , y )關(guān)于關(guān)于 x 右連續(xù)，關(guān)于右連續(xù)，關(guān)于 y 也右連續(xù)也右連續(xù). 說說 明明 上述四條性質(zhì)是二維隨機(jī)變量分布函數(shù)的最基本的上述四條性質(zhì)是二維隨機(jī)變量分布函數(shù)的最基本的 性質(zhì)，即任何二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)都具有這四性質(zhì)，即任何二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)都具有這四 條性質(zhì)；條性質(zhì)； 更進(jìn)一步地，我們還可以證

8、明：如果某一二元函數(shù)更進(jìn)一步地，我們還可以證明：如果某一二元函數(shù) 具有這四條性質(zhì)，那么，它一定是某一二維隨機(jī)變具有這四條性質(zhì)，那么，它一定是某一二維隨機(jī)變 量的分布函數(shù)（證明略）量的分布函數(shù)（證明略） 1 二 維 隨 機(jī) 變 量 返回主目錄 3 n 3 n 維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量 是其樣本空間，是其樣本空間，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，設(shè)設(shè) E nieeXX ii ，21 個(gè)隨機(jī)變量個(gè)隨機(jī)變量是該樣本空間上的是該樣本空間上的n 則稱則稱 eeXeXeX XXX n n ， ， 21 21 維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量上上的的為為樣樣本本空空間間n 1 二 維 隨 機(jī) 變 量 返回主目錄 n n維隨機(jī)

9、變量的分布函數(shù)維隨機(jī)變量的分布函數(shù) ，維維實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)組組意意一一 維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量，則則對對于于任任是是一一個(gè)個(gè)，設(shè)設(shè) n n xxxn nXXX 21 21 1 二 維 隨 機(jī) 變 量 維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量我我們們稱稱此此函函數(shù)數(shù)為為n n XXX， 21 n xxxF， 21 nn xXxXxXP ， 2211 .的的分分布布函函數(shù)數(shù) 返回主目錄 4 4 二維離散型隨機(jī)變量二維離散型隨機(jī)變量 1 二 維 隨 機(jī) 變 量 為二維離散型隨機(jī)變量為二維離散型隨機(jī)變量，個(gè)，則稱個(gè)，則稱 無窮無窮的取值是有限個(gè)或可列的取值是有限個(gè)或可列，若二維隨機(jī)變量若二維隨機(jī)變量 YX YX 二二維維離離散散型

10、型隨隨機(jī)機(jī)變變量量，設(shè)設(shè)YX的的取取值值為為X ， i xxx 21 的的取取值值為為Y， j yyy 21 則稱則稱 ，21 jiyYxXPp jiij 的的（聯(lián)聯(lián)合合）分分布布律律，為為二二維維離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量YX 二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律 下下表表表表示示的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布律律也也可可以以由由， YX 1 二 維 隨 機(jī) 變 量 返回主目錄 二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合分布律的性質(zhì)二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合分布律的性質(zhì) ：性性質(zhì)質(zhì) 1 0 jiij yYxXPp，有有 1 ji ij p ， ：性性質(zhì)質(zhì) 2 ，對對任任意意的的21 jiji 1 二

11、 維 隨 機(jī) 變 量 返回主目錄 例例 1 的的三三個(gè)個(gè)盒盒子子中中，編編號(hào)號(hào)為為將將兩兩個(gè)個(gè)球球等等可可能能地地放放入入321 的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布律律，試試求求YX ；，的的可可能能取取值值為為210X 解： 號(hào)號(hào)盒盒中中的的球球數(shù)數(shù)；：放放入入令令：1X 號(hào)號(hào)盒盒中中的的球球數(shù)數(shù)：放放入入2Y ，的的可可能能取取值值為為210Y 00 YXP， 9 1 2 3 1 1 二 維 隨 機(jī) 變 量 返回主目錄 例例 1（續(xù)）（續(xù)） ; 9 2 2 3 2 10 YXP， 20 YXP， 2 3 1 ; 9 1 01 YXP， 2 3 2 ; 9 2 11 YXP， 2 3 2 ; 9 2 21

12、 YXP， P0 1 二 維 隨 機(jī) 變 量 02 YXP， 2 3 1 9 1 22 YXP， P0 12 YXP， P0 返回主目錄 例例 1 1（續(xù)）（續(xù)） 的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布律律為為，由由此此得得YX 1 二 維 隨 機(jī) 變 量 Y X 012 0 9 1 9 2 9 1 1 9 2 9 2 0 2 9 1 00 由題意知，由題意知，X=i，Y=j的取值情況是：的取值情況是：i=1,2,3,4，且且 是等可能的；然后是等可能的；然后 j 取不大于取不大于 i 的正整數(shù)。的正整數(shù)。 , 4 , 3 , 2 , 1 , 4 11 |, i i iXPiXjYPjYiXPpij 其中其中

13、1 二二 維維 隨隨 機(jī)機(jī) 變變 量量 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 在在 1,2,3,4四個(gè)數(shù)中等可能地取值，另一個(gè)四個(gè)數(shù)中等可能地取值，另一個(gè) 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 Y 在在1X 中等可能地取一整數(shù)值。試求中等可能地取一整數(shù)值。試求 ( X,Y ) 的分布律。的分布律。 例例 2 2 解：解： 返回主目錄返回主目錄 0 jYiXPpji ij ，時(shí)，時(shí)，所以，當(dāng)所以，當(dāng) 時(shí)，由乘法公式，得時(shí)，由乘法公式，得當(dāng)當(dāng)j i 1 二 維 隨 機(jī) 變 量 X Y1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 8 1 8 1 0 0 0 4 1 0 12 1 12 1 12 1 16 1 16 1 16 1 16 1

14、 例例 2 2（續(xù)）（續(xù)） 返回主目錄 二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù) ，21 jiyYxXPp jiij 二二維維離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量，設(shè)設(shè)YX分分布布律律為為聯(lián)聯(lián)合合其其)( 的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布函函數(shù)數(shù)為為，則則YX yyxx ij ji pyxF ， ， 1 二 維 隨 機(jī) 變 量 返回主目錄 對于二維隨機(jī)變量對于二維隨機(jī)變量 ( X,Y ) 的分布函數(shù)的分布函數(shù) 如果存在非負(fù)實(shí)函數(shù)如果存在非負(fù)實(shí)函數(shù) 使得對于任意使得對于任意 的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù) 有：有： yx dudvvufyxF,),(),( 則稱則稱 ( X,Y ) 是連續(xù)型的二維隨機(jī)變量，函

15、數(shù)是連續(xù)型的二維隨機(jī)變量，函數(shù) 稱為二維隨機(jī)變量稱為二維隨機(jī)變量 ( X,Y )的概率密度，或稱為的概率密度，或稱為 X 和和 Y 的聯(lián)合概率密度。的聯(lián)合概率密度。 5 5 二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量 1 二二 維維 隨隨 機(jī)機(jī) 變變 量量 返回主目錄 , ),(yxF , ),(yxf yx, , ),(yxf 按定義，概率密度按定義，概率密度 具有以下性質(zhì)：具有以下性質(zhì)： ;0),(10 yxf ;1),(),(2 0 Fdxdyyxf ).,( ),( ),(),(3 2 0 yxf yx yxF yxyxf 連續(xù)，則有連續(xù)，則有在點(diǎn)在點(diǎn)若若 1 二 維 隨 機(jī) 變 量 40

16、設(shè)設(shè) G 是平面上的一個(gè)區(qū)域，點(diǎn)是平面上的一個(gè)區(qū)域，點(diǎn) ( X,Y )落在落在 G 內(nèi)內(nèi) 的概率為：的概率為： G dxdyyxfGYXP.),(),( 返回主目錄 ),(yxf 在幾何上在幾何上 z = f (x , y) 表示空間的一個(gè)曲面，上式表示空間的一個(gè)曲面，上式 即表示即表示 P(X,Y) G的值等于以的值等于以 G 為底，以曲面為底，以曲面 z = f (x , y)為頂?shù)闹w體積為頂?shù)闹w體積 1 二 維 隨 機(jī) 變 量 返回主目錄 的的幾幾何何意意義義：),(GYXP 例例 3 3 的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為，設(shè)設(shè)二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量YX ；常常數(shù)數(shù)求求c 解：解： 由由密

17、密度度函函數(shù)數(shù)的的性性質(zhì)質(zhì)，得得 其它其它 ， ， 0 00 43 yxce yxf yx 的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布函函數(shù)數(shù)；，求求YX ，求求2010 YXP 1 二 維 隨 機(jī) 變 量 返回主目錄 例例 3 3（續(xù)）（續(xù)） dxdyyxf，1 00 43 dxdyec yx dyedxec yx 0 4 0 3 12 c 所所以以，12 c 1 二 維 隨 機(jī) 變 量 x y 0, 0yx ；，0 yxF時(shí)時(shí)，或或當(dāng)當(dāng)00 yx yxF，)2( yYxXP ， 返回主目錄 例例 3 3（續(xù)）（續(xù)） 時(shí)時(shí)，且且當(dāng)當(dāng)00 yx yxF， dvedue y v x u 0 4 0 3 12 xy d

18、udvvuf， yYxXP ， xy vu dudve 00 43 12 yx ee 43 11 其它其它 ， ，所以，所以， 0 0011 43 yxee yxF yx 1 二 維 隨 機(jī) 變 量 返回主目錄 例例 3 3（續(xù)）（續(xù)） dyedxe yx 2 0 4 1 0 3 12 2010yx dxdyyxf ， ， 1 0 2 0 43 12dxdye yx 83 11 ee ，2010 YXP 1 二 維 隨 機(jī) 變 量 返回主目錄 二維均勻分布二維均勻分布 的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為，如如果果二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量YX AD其其面面積積為為是是平平面面上上的的有有界界區(qū)區(qū)域域，設(shè)設(shè)

19、 上上的的均均勻勻分分布布 服服從從區(qū)區(qū)域域，則則稱稱二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量DYX Dyx Dyx A yxf ， ， ， 0 1 1 二 維 隨 機(jī) 變 量 返回主目錄 二維均勻分布幾何意義二維均勻分布幾何意義 中中的的位位置置無無關(guān)關(guān)在在的的形形狀狀以以及及而而與與 面面積積成成正正比比，內(nèi)內(nèi)的的概概率率與與該該子子區(qū)區(qū)域域的的域域 內(nèi)內(nèi)任任一一個(gè)個(gè)子子區(qū)區(qū)內(nèi)內(nèi)；并并且且落落在在落落在在區(qū)區(qū)域域 只只，為為隨隨機(jī)機(jī)點(diǎn)點(diǎn)均均勻勻分分布布，我我們們可可以以認(rèn)認(rèn) 上上的的服服從從區(qū)區(qū)域域，如如果果二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量 DDD D DD YX DYX 11 1 1 二 維 隨 機(jī) 變 量 返

20、回主目錄 二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布 的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為，二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量設(shè)設(shè)YX 的正態(tài)分布，記作的正態(tài)分布，記作 ，服從參數(shù)為服從參數(shù)為，則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量 ,YX 2 2 2 121 2 2 2 2 21 21 2 1 2 1 2 2 21 2 12 1 exp 12 1 yyxx yxf， ,NYX 2 2 2 121 ， 1 二 維 隨 機(jī) 變 量 21， i i 210， i i 11 返回主目錄 例例 4 4 次次，令令：將將一一枚枚均均勻勻的的硬硬幣幣擲擲 3 的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布律律，試試求求YX 數(shù)；數(shù)；次拋擲中正面出現(xiàn)的次次拋擲中正面出現(xiàn)的次： 3X ；

21、，的的可可能能取取值值為為3210X 解：解： ，的的可可能能取取值值為為31Y 次數(shù)之差的絕對值次數(shù)之差的絕對值 與反面出現(xiàn)與反面出現(xiàn)次拋擲中正面出現(xiàn)次數(shù)次拋擲中正面出現(xiàn)次數(shù)： 3Y 1 二 維 隨 機(jī) 變 量 返回主目錄 ,TTTTTHTHTTHHHTTHTHHHTHHHS 例例 4 4（續(xù)）（續(xù)） ；0 10 YXP， 30 YXP， ； 8 1 11 YXP，； 8 3 ；0 31 YXP， 12 YXP，； 8 3 ；0 32 YXP， ；0 13 YXP， 8 1 33 YXP， 的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布律律為為，由由此此得得隨隨機(jī)機(jī)變變量量YX 1 二 維 隨 機(jī) 變 量 返回主目錄 ,TTTTTHTHTTHHHTTHTHHHTHHHS 例例 4（續(xù)）（續(xù)） X Y 0123 10 8 3 8 3 0 3 8 1 00 8 1 1 二 維 隨 機(jī) 變 量 返回主目錄 例例 5 5 的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為，設(shè)設(shè)二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變