2002考研數一真題及解析

1、20GG年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學一試題、填空題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分，把答案填在題中橫線上):dxxln已知實二次型f (為雞必)=a(x； x； xf) 4住 4xx 4X2X3經正交變換x = Py可化成標準型f = 6y1，則a -.設隨機變量X服從正態(tài)分布Nm2)匸-0),且二次方程y2 4y X = 0無實 根的概率為-，則 二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，共15分，在每小題給出的四個選項 中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內.)(1)考慮二元函數f (x,y)的下面4條性質：f(x, y)在點(x),yo)處連續(xù)，f (x,y)在

2、點(x,y)處的兩個偏導數連續(xù)，f (x, y)在點(怡。)處可微，f (x,y)在點(x,y)處的兩個偏導數存在. 若用P= Q表示可由性質P推出Q，則有()(A) =.(B)=.(C)=.(D)=.n 0 11設 Un=0( n=1,2,3,.),且 lim=1,則級數 (-1)n1()()*比nWUn Un 十(A) 發(fā)散.(B)絕對收斂.(C)條件收斂.(D)收斂性根據所給條件不能判定(3)設函數y = f(x)在(0/:)內有界且可導，則() x已知函數y二y(x)由方程ey 6xy - x2 -仁0確定，則y(0)二2 1微分方程yy“+y2 =0滿足初始條件y =1 y 的特解x

3、 = 0 x = 02是(A) 當 lim f(x)=O 時，必有 lim f(x)=O.x一林Jjbc(B) 當 lim f (x)存在時，必有 lim f(x)=O.x 一和Jjbc(C) 當!im(x)=o時，必有般(x)=o.(D) 當x+fd)存在時，必有 巴J+f(x)=O.(4)設有三張不同平面的方程aiX + a?y + az = b它們所組成的線性方程jr 1、/ 1/7 I/組的系數矩陣與增廣矩陣的秩都為2，則這三張平面可能的位置關系為.()設Xi和X2是任意兩個相互獨立的連續(xù)型隨機變量，它們的概率密度分別為fi(x)和f2(x)，分布函數分別為Fi(x)和F2(x)，則(

4、)(A) fi(x) f2(x)必為某一隨機變量的概率密度.(B) fi (x) f2 (x)必為某一隨機變量的概率密度.(C) Fi(x) F2(x)必為某一隨機變量的分布函數.(D) Fi(x)F2(x)必為某一隨機變量的分布函數.三、(本題滿分6分)設函數f (x)在x=0的某鄰域內具有一階連續(xù)導數，且f(0) =0, f(0) = 0,若af (h) bf (2h f (0)在h 0時是比h高階的無窮小，試確定a,b的值.四、(本題滿分7分)arcta n x . 2 已知兩曲線y = f(x)與y = j e dt在點(0,0)處的切線相同，寫出此切線2方程，并求極限限門f(-).五

5、、(本題滿分7分)計算二重積分. .emaxxVdxdy,其中D =( x,y)|0乞x切,0空y乞1.D六、(本題滿分8分)設函數f (x)在內具有一階連續(xù)導數，L是上半平面(y 0)內的有向分段光滑曲線，其起點為(a,b)，終點為(cd )記12X 2當ab = cd時，求I的值.I = l 1 y f(xy)dx 2y f(xy)-1dy, L yy(1)證明曲線積分I與路徑L無關；七、(本題滿分7分)3X(1)驗證函數y(x) = 1-36x+6!x99！xn川而+H K)滿足微分方程 y” y y =ex;利用(1)的結果求幕級數n=0x3n(3n)!的和函數-八、(本題滿分7分)設

6、有一小山，取它的底面所在的平面為xoy坐標面，其底部所占的區(qū)域為D =(x, y) x2+y2-xy 蘭75，小山的高度函數為 h(x,y) = 75-x2 -y2 + xy.(1) 設M(xg,y。)為區(qū)域D上的一點，問h(x, y)在該點沿平面上什么方向的方向導數最大？若記此反向導數的最大值為g(x,y)，試寫出g(xc,y。)表達式.(2) 現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動，為此需要在山腳尋找一上山坡度最大的 點作為攀登的起點.也就是說，要在D的邊界線x2 y2 -xy = 75上找出使(1)中的 g(x, y)達到最大值的點.試確定攀登起點的位置.九、(本題滿分6分)已知4階方陣A =123

7、4),1,23,4均為4維列向量，其中234 線性無關，：,=22 - 3.如果：，1心2也3比4，求線性方程組AX二：的通解. 十、(本題滿分8分)設A,B為同階方陣,(1)如果A,B相似，試證A,B的特征多項式相等(2)舉一個二階方陣的例子說明(1)的逆命題不成立.當A,B均為實對稱矩陣時，試證(1)的逆命題成立.1 x cos 設隨機變量X的概率密度為f(x) = 22其他對X獨立地重復觀察4次，用Y表示觀察值大于一的次數，求Y2的數學期望.3十二、（本題滿分8分）設總體X的概率分布為X0123P日22（1-0）日2(1- 20)1其中（0_）是未知參數，利用總體X的如下樣本值3,130

8、,3,1,2,3,求二的矩陣估計值和最大似然函數估計值.20GG年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學一試題解析一、填空題（1）【答案】1【詳解】先將其轉化為普通定積分，求其極限即得廣義積分bd ln xbme xln2x 一In2xb dx訕-丄f丄,1In x e b In b（2）【答案】-2【詳解】y是由ey 6xy x2-1 = 0確定的x的函數，兩邊對x求導,eyy 6xy 6y 2x = 0,6y + 2x所以y丄-,兩邊再對x求導，得e +6x”(ey+6x)(6y*2) - (6y+2x)(eyy+ 6)y 一(ey +6x)2,把 x =0 代入，得 y(0) =0，y(0) =

9、0，代入 y，得 y (0) 一2 【答案】y x 1詳解】方法1 :這是屬于x的y = f (y, y )類型.命= p,y =空-坐巴汀空.dx dy dx dy 原方程yy + y2 =0化為yp些+ p2 = ， dy dp小1-，棄之；所以p = ox 2-dP，解之得即巴=.py dx y1 C11口 /冃,G.于是得2 12dy由初始條件y 1,yx = dy 丄dx 2y解之得，y2=xC2,y= . x C2 .以 y xzo =1代入，得1二 C2，所以應取p = 或 y p = dy p=，即理=,不滿足初始條件y dx 所以，y坐 p =,分離變量得dy二 y 1，可將

10、G先定出來:x = 2+ ”號且C2 = 1.于是特解是y = . x 1.方法2 :將討討 y =0改寫為(yy ) = ，從而得yy=C以初始條件1 1 1y(o)=1, y(o)= 2 代入，有 12=6，所以得 yy= 2 .即 2yy = 1，改寫為(y2)、1.解得y = x C, y = - x C2.再以初值代入，1.C7所以應取且C2 = 1.于是特解y = x 1.【答案】2a 22【詳解】方法1 :二次型f的對應矩陣A = 2 a 2召2 ，經正交變換ax = Py，可，且對實對稱矩陣A，化成標準型f =6y：，故P為正交矩陣，；6，故 PTAP = PJAP6汕 3 3

11、因為矩陣的n個特征值之和等于它的主對角兀素之和， 厲=3a二 i，相3i=1 9似矩陣具有相同的特征值，a i=6=6故有3a =6，得a =2. a 22 丨方法2:二次型f的對應矩陣A= 2 a 2，經正交變換】2 2 aj有 ptap 二，故 ptap 二 pap0，即x = Py，可化成標準型f =6y2，故P為正交矩陣，有P-P，且對實對稱矩陣A，有6PtAP= P AP_0 ，即卩oo Oo O6 OAI有 0EAa02 22 a 2把第2,列加到第1列A =提取第1列 的公因子(a 4)= (a+4)(a2)2 = 0,2行3行-1行a 4 aa亍4 2 (a 4)2a -20，

12、根據特征E值的定義，刁6 11a 22 |62 a 2 6一1 12 2 a J6E - A =又6是A的特征值6E - A =06 - a -226 a-2 -2兩邊取行列式,把第2,3列加到第例6a-2a-2一26E A =22 a 6a提取第2| 列a-2(2 _ a)的公因子-2-26 a2-2-26a26乙6 a-2-2方法(對應元素相2= (2-a)(8-a)得 a = 2 或 a - 8 (2)1=0-22行-1行3行-1行 )28 - a-20因為，需同時成立,a3 : f的對應矩陣為A = 2取它們2f =6y：，故P為正交矩陣，PTA片P A芒6a 0，0 0J，即相似矩陣

13、具有22a有的公共部分，得 a = 2.，經正交變換x = Py，可化成標準型PT =P，且對實對稱矩陣A，有A的特征值，其中一個單根是6，一個1a 22-k _ a-2-2入E - A =2 a 2-2扎a -22 2 a 一-2-2 k_a(對應元素相重根應是0,直接求A的特征值，即由兩邊取行列式,-a-2-2-2-2-2提取第1列的公因子2行-1行3行一 1行)-a-2(% -a -4)1-2把第2,3列 加到121列 廠10&_(a_2)02 0=扎 (a 4)&(a 2)2其中單根為a 4，二重根為a - 2， a -方法4 : f的對應矩陣為A = 2. 12f =6y1，故P為正

14、交矩陣，PTA& P AP60_ a _ 4-4-4k a 2人一a -2-a-2-2-2-a-2.一2一 a0九 一 (a 一 2)a .4=6，及 a_2=0，故知 a = 2.，經正交變換x = Py，可化成標準型PT二P，且對實對稱矩陣022612丿a2L A =022J0A -交換第1和a2-213行+ 2行 02a00_22 ：a a2a第3行的順序a第行序a0 24a二一a2 T 一- -2)(a 4)日 -OWo + 713 行 21行 2a002T 0因 r(A)=1，故 a2=0，且(2)(討4)= 0，故應取 a=2.2a-2aa2-a 斤0 2?aa2-* -(a2 2

15、a-8)(5)【答案】4.【詳解】二次方程無實根，即y2 4y X = 0的判別式厶=b2 - 4ac = 16-4X ： 0， 也就有X 4 .此事發(fā)生概率為丄，即PX 4，2 2對于xLn(2)(二V), plx 門-1，因為正態(tài)分布的密度函數為21 r(x_u)2、f (x)exp2x -I 22 j關于X 一對稱；另一方面，由概率的計算公式，f (x)與x軸所圍成的面積是1，所以心將面積平分為兩份p心1，所以7.、選擇題(1)【詳解】下述重要因果關系應記住，其中 A= B表示由A可推出B.無箭頭者無因果關系，箭頭的逆向不成立fx (x, y)與 fy (x, y)連續(xù)二 f(x, y)

16、可微；fx (x, y)與fy (x, y)存在 f(x,y)連續(xù)其中均指在同一點處記住上述關系，不難回答本選擇題，故應選(A).1 1考察原級數（-1）n I ）的前n項部分和n4Un Un 1丄）-（丄 ）（丄）-川（）n 1（丄 ） U1 U2 U2 U3 U3 U4Un Un 1(2)【詳解】首先要分清絕對收斂和條件收斂的定義，通過定義判定級數的斂散5 =（-1）n 1 1UiUn 1n1由lim =1 0知，當n充分大時，Un0且lim u :.所以lim - （收nUn廠nU1斂）， 1 1另一方面，V (丄丄)為正項級數，用比較判別法的極限形式，由題設條 nUn Un41件lim

17、 =1的啟發(fā)，考慮n-心 Un. Un Un 出，.UnUn 卅.(山出 +山)n(n +1)慘律11)禹娜麗廠門曙UnUED+U嚴 J=訕 n 1伸n = lim n (n 1) n = 1n .； ：2n 1n .； ： Un U而級數V ( )也發(fā)散，所以選心 n n +1nm n n 壬 n +1un 1 UnUnUn 1n Un 1 2n 1n=1UnUn 1（C）.(3) 【詳解】方法1 :排斥法.1 2 1 2 2 令 f (x) sin x，貝U f (x)在(0,：)有界，f (x)2 sin x2cos x ，xxx墜f(x)=o，但xifx)不存在，故(A)不成立； 凹+

18、0=0，但 xm+f(x)=1 工0，(C)和(D)不成立，故選(B).方法2 :證明(B)正確.設ximf(x)存在，記Jjmf(x) = A，證明A = 0.A用反證法，若 A 0，則對于，-0，存在X 0，使當x X時,2A “ AA.A 3Af (x) A，即 A f (x) ：. A -2 22 2 2由此可知，f (x)有界且大于在區(qū)間x,X上應用拉格朗日中值定理,2有f(x) = f(X) f( )(xX) f(X) A(x X)從而limf(x):，與題設f(x)有界矛盾.類似可證當A：o時亦有矛盾.故XJ :【答案】(B)X IF Tfci y -I # IJ人PLx【詳解】

19、三張不同平面的方程分別為aaz = bi,i =1,2,3,判斷三個平aux ay az 二 b面有無公共點即判斷方程組* a2ix + a22y +a23Z =b2有無公共解，且方程組有多少 a3ix + a3?y + a?3 z b?公共解平面就有多少公共點，由于方程組的系數矩陣與增廣矩陣的秩都是2 3(未知量的個數)，所以方程組有解且有無窮多解，故三個平面有無窮多個公 共點，故應排除(A)三平面唯一交點(即方程組只有唯一解)(C)、(D)三平面沒有公 共交點(即方程組無解).故應選(B)，三個平面相交于一條直線，直線上所有的點均是平面的公共點， 即有無窮多個公共點 【答案】D【分析】函數

20、f(x)成為概率密度的充要條件為：(1)f(x)-0;(2) f(x)dx=1.函數F(x)成為分布函數的充要條件為：(1) F(x)單調不減; xmF(x)=，釀 F(x) =1 ;(3) F(x)右連續(xù).我們可以用以上的充要條件去判斷各個選項， 也可以用隨機變量的定義直接 推導.【詳解】方法1 :(A)選項不可能，因為 f,(x) f2(x)dxf,(x)dxf2(x)dx=1 1 = 2 = 1也不能選(B)，因為可取反例，令n,i ex 0n,0xcifi(x)f2(X)=0,其他0,其他顯然fi(x)，f2(X)均是均勻分布的概率密度.而befi(x)f2(x)=0，不滿足(x)f2

21、(x)dx = 1 條件.(C)當然也不正確，因為F(x1) F(x2) =11=2=1根據排除法，答案應選(D).方法2 :令X = max(X1, X2)，顯然X也是一個隨機變量.X的分布函數為F(x 0時是比h咼階的無窮小，由咼階無窮 小的定義知上式等于0,又由f(0)=0,得a 2 0 .a b =0解聯(lián)立方程組得，a=2,b=-1.a 2b =0方法2 :分別將f(h), f(2h)按佩亞諾余項泰勒公式展開到0(h)，有f (h) = f (0) f (0)h ojh)， f (2hf(0) 2f (0)h 02(h)從而 af (h) bf(2h) - f (0) =(a b-1)

22、f (0) (a 2b) f (0)h o3(h)由題設條件知，a b -0,a 20,所以 2,-1.方法3 :由題設條件，有l(wèi)im af(h) bf(2h) 一 f (0) = (a b 1)f (0) =0f (0)， 所以 a，bT=0.再將 a=1-b 代入l i1 mh 0h0 lim af(h) bf(2h)-f(0) lim (1-b)f(h) bf(2h)-f(0)f0 r肥(b) fh h并湊成導數定義形式,)有hf(h)-f(0)u f(h) f(0)丄“f(2h)f(0= limb2b2hh 0 hh從而 a =2,b三 口)一b() +2b廠(0) =(1 +b)(0

23、)四【詳解】由y = .0arcta nx2(arcta nx)y = eelt知y(0) = 0 ,由變上限積分的求導公式得1,1 x2(arcta nx)(arcta nx)e2所以 y(0)e4arctan0)廿1因此，過點(0,0)的切線方程為y =x. y = f (x)在點(0,0)處與上述曲線有相同的切線方程，于是f(0) =0(0) =1 .2f()-f(0)limnf( )=lim n2limn 廠 n ng：1n;:五【詳解】應先將emaxW，寫成分塊表達式.記nf (2) - f (0)n2=2f (0) =2于是emax x2, y2max從而.eDD1 =(x, y)

24、 0 蘭 x 蘭1,0 蘭 y 蘭 x, D2 =(x, y) 0 蘭 xE1一i ey，y d-二y 3,：4 ,由2, 3, 4線性無關，及 2-2 - -3 0： 4,即:可以由：d：、,：,線性表出，故1,2,3,4線性相關， 及:=C *2 *3 *4即可由1,2,3,4線性表出，知rA丄 r l；1,23,4, - 卜 r 卜1,23,41 - r(A) = r 匕,：匕,：3 卜 3系數矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等，故 A -有解.對應齊次方程組Ax=0，其系數矩陣的秩為 3，故其基礎解系中含有4-3（未知量的個數-系數矩陣的秩）個線性無關的解向量，故其通解可以寫成 k，“是Ax二

25、1的一個特解，根據非齊次線性方程組的解的結構定理，知Ax二1的通解為，其中k 是對應齊次方程組 Ax = 0的通解，“是-2Ax二1的一個特解，因1=0，= 2 2 - -30： 4,故 1 一2： 2 亠：3 -04 -卜1,2,3,4 1，即A=0組的解的結構定故.1,-2,1,0是Ax =0的一個非零解向量，因為Ax = 0的基礎解 有一個解向量，故 -1,-2,1,0是Ax = 0的基礎解系.：=亠吃 ： 3 川爲4 -丨23, 4故屮=1,1,1,d是Ax = P的一個特解，根據非齊次線性方程理，方程組的通解為k1,-2,1,0 T 1,1,1,1T.（其中k是任意常數）S2；方法2

26、 :令X =仗1, X2,X3,X4 T，則線性非齊次方程為AX - 丨,2, ：3/4 lx=h-：pX2 J3X3 -X4 二？已知？ =4，故1為 2X 3X4X4 = 1 *2 3 ：4將:,=22 -3代入上式，得（2： 2 -3）為2X2 ： 3X3 ： 4X4 =（2： 2 -3） ： 2 ： 3 4=2 2X ： 3X2X2 3X3 4X4 =22 一： 3*3 ： 4 =32 ： 4=（2x1X2）-2 -3X1 -3X3 -4X4 3-2 -4 = 0二（2X1X2 -3）：2 （-xX3）： 3（X4 -1）： 4 =0由已知2-3okr 30，上式成立當且僅當2xx3_

27、% + x3 = 0N T = 02 1 0 0,因為3階子式其系數矩陣為-10 10其齊次線性方程組的基基礎解系,中存在 1個(4-3)線性無關的解向量，取自由1 0 00 10=1式0，其秩為3，故0 0 1未知量x3 = k，則方程組有解x4 =1,x3 = k, = x3 = k,X2 = -2k 3-2k +3k十【詳解】(1)4因AL B1，由X2X3-21定義知，3 +0存在可逆陣P，使得PAP = B，故.(其中k是任意常數)XE B = hE PAP = &PP PAP=P(扎E -A)P=P-X.E A P =扎E A故A,B有相同的特征多項式.D 0 11，B 5I，B,

28、A,B有相同的特征多項式，但A不相似于刀_0(2)取 A= I0 0 一則有|丸EA| =丸2丸，入E B =-1B，因為對故方程組A洛二1有通解10任何的2階可逆陣P，均有PAP =POP =0 = B，故(1)的逆命題不成立.即要證如果代B的特征多項式相等，則A,B相似.當A,B都是實對稱矩陣時，A, B均能相似于對角陣，且該對角陣的對角線元素由A,B的特征值組成.若A,B有相同的特征多項式，則A,B有相同的特征值(包 含重數)，故A；B將相似于同一個對角陣設特征值為卩1,打,川入，貝U有,B_由相似的傳遞性，知AL B%1)的逆命題成立卜一【答案】5.【詳解】如果將觀察值大于 一這事件理