1994考研數(shù)二真題及解析

1、1994年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.) s in 2x + e2ax1若 f(x)=0時方程kx + 五、(本題滿分9分)X +4設需，x(1)求函數(shù)的增減區(qū)間及極值1有且僅有一y=x冷B，求k的取值范圍.求函數(shù)圖像的凹凸區(qū)間及拐點;(3)求其漸近線;作出其圖形六、(本題滿分9分)求微分方程y：a2y=sinx的通解，其中常數(shù)a 0.七、(本題滿分9分)i設f(x)在0,1上連續(xù)且遞減，證明：當0 ”：1時， f(x)dx_ f(x)dx.八、(本題滿分9分)求曲線y =3-|x2 -1|與x軸圍成的封閉圖形繞直

2、線y =3旋轉所得的旋轉體體積.1994年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題解析、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.)(1) 【答案】-22ax【解析】sin x e一在x = o時是初等函數(shù)，因而連續(xù)；要使f (x)在 mx上連續(xù)，f(X)在x = 0處也連續(xù)，這樣必有巴0 f (x) = f (0). 由極限的四則混合運算法則和等價無窮小，x 0時,sin xL x ； exLI x .sin 2x e2ax 一1 . , sin 2x e2ax 一 1), xx2x2ax 小 c=lim lim 2 2a = a ,x 10 xx_p x從而有a-2 .(2) 【答案】gg

3、yt3t2 2t 2t3t25t 2,dt dtxt彳 1p _(y；)； 6t+5俯 1)(6t+5)Yxx t【解析】矽=32=dy dx dx dt dx dt / dtx； _丄 t【相關知識點】復合函數(shù)求導法則：如果 t u二g(x)在點x可導,而y二f (x)在點 u二g(x)可導，則復合函數(shù)y二f l.g(x) 在點x可導，且其導數(shù)為dydydy dy duf (u) g (x)或dxdx du dx(3)【答案】-3sin 3xf (cos3x)【解析】原式二 f(cos3x) (cos3x)二 f (cos3x) (-sin3 x) 3 -3sin3 xf (cos3x).【

4、相關知識點】對積分上限的函數(shù)的求導公式：若 F(t) = ,；：f(x)dx(t), t)均一階可導，則F (t)二 2 x22-xe (t) f 匸f 上(t)L1 2【答案】-(x -1)ex C ,其中C為任意常數(shù)221 ov2原式二-x d(e )=21 -2-.ed(x2)二1 (x2 -1)e C其中C為任意常數(shù).【解析】本題利用不定積分的分部積分法求解顯然是ex先進入積分號,注：分部積分法的關鍵是要選好誰先進入積分號的問題 ，如果選擇不當可能引起更繁雜的計算，最后甚至算不出結果來在做題的時候應該好好總結，積累經驗.【相關知識點】分部積分公式：假定 u二u(x)與v = v(x)均

5、具有連續(xù)的導函數(shù)，則uvdx 二uv- u vdx,或者 udv=uv- vdu.【答案】(x-4) .y4二Cx,C為任意常數(shù)【解析】這是可分離變量的方程.L dy =0,兩項分別對x和對y積分得到y(tǒng)1ln4化簡有 匕4 yC ,即(x -4) y4 =Cx ,C為任意常數(shù).x二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.)分離變量得x(x-4)x -4In y1 - a = 0由假設，應該有1(丄+b)=2方法2:用洛必達法則.limxT分母在點0處導數(shù)都存在，所以, a -2bx原式左邊 =lim 1一xT 2x(1a) (a+2b)x 2bx2 =limx_02x(1 x)1 2b

6、W2尸(若1 - a = 0，則原式極限為：必有1 - a = 0)5a = 1,b2(1)【答案】(A)【解析】方法1 :將極限中的分子用泰勒一皮亞諾公式展開得22 x 22ln(1 x) -(ax bx ) = (xo(x ) -(ax bx )212 2= (1a)x(2 b)x o(x ),5，故由此a =1,b = -5，故應選(A).22故應選(A).【答案】(B)2x3,(xE1)= f(x)左可導，f_(12x3又lim.f(xlim x f(1 f (x)不右連續(xù) =f (x)在x=1的右導數(shù)不存【解析】方法1 :因f(X)二X=1-2.故選(B).2方法 2 : f (1)

7、，而 lim f (x) = lim x2 =1 = f (1),37十7十所以,f(x)在x=1點不連續(xù)，故不可導，但左，右導數(shù)可能存在，這只需要用左，右導一 2 2數(shù)定義進行驗證.f(x) f(i) xf 護)=|imj(x)-f(1) = lim _ 十,x _1+ x _12 x3 _2故f (x)在x =1點左導數(shù)存在im但右導數(shù)不存在in故應選(B)= 2.x17一 x_1【答案】(C)【解析】由于f (x)滿足微分方程y、y-eSinx=0,當x = xg時，有f (xo) f (Xo)=esinxo.又由f(xo)=0,有f(Xo)=esinxo0,因而點Xo是f (x)的極小

8、值點，應選(C).【答案】(B)【解析】所以y軸和用換元法求極限，令t J,則當x :時,t o,且有X 2t2t+t +1兀lim y = lim e arctan, lim y =x 匚:t)o(1t)(1 2t)4 x 0y是曲線的兩條漸近線.4而x =1和x = -2并非曲線的漸近線，因當x =1和x = -2時，y分別趨向于和-2e14寺.故應選(B).【相關知識點】漸近線的相關知識:水平漸近線：若有l(wèi)im_f(x)=a,則y=a為水平漸近線;鉛直漸近線：若有l(wèi)jm f (x ,則x = a為鉛直漸近線;斜漸近線：若有a =lim 衛(wèi)刃,b =limxf (x) - ax存在且不為:

9、則ax b為斜漸近線.【答案】(D)【解析】對于關于原點對稱的區(qū)間上的積分，應該關注被積函數(shù)的奇偶性由對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)積分的性質，被積函數(shù)是奇函數(shù)，積分區(qū)間關于原點對 稱，則積分為0,故M = 0 ,且由定積分的性質,如果在區(qū)間a,b丨上,被積函數(shù)f (x) 一 0 ,則ba f (x)dx _ 0 (a : b).nn所以 N = 2cos4 xdx 0, P = 2 02 cos4 xdx = N 0.因而P M N，應選(D).三、(本題共5小題,每小題5分，滿分25分.)(1)【解析】方程兩邊對x求導,得y = f (V y ),兩邊再求導，得y = f (1 y)2 f y ,由于

10、一階導數(shù)不等于1,所以1-f丄0. 以y代入并解出y ,得yf 3.1 - f(1 - f )3【相關知識點】復合函數(shù)求導法則：如果u二g(x)在點x可導，而y二f(x)在點u二g(x)可導,則復合函數(shù)y = f lg(x)在點x可導，且其導數(shù)為業(yè)dx二 f (u)g (x)或dydydxdududx(2)【解析】用換元積分法觀察被積函數(shù)的特點，可考慮引入三角函數(shù)化簡.2 : 令 x 二 si nt,則 2xdx 二 costdt .當 x = 0 時,t = 0 ；當 x=1 時,t=?，故 2j 1 啟 1 二、32 cos tdt ().12 4 2 232【相關知識點】定積分關于單三角

11、函數(shù)的積分公式:T”！二丑MIln 2 sinn xdx 2 cosn xdx 二 n0-0Vln為奇數(shù).注：對于雙階乘n!的定義如下：當n為奇數(shù)時，n !n鬥3 n ；當n為偶數(shù)時,1原式二n!2(n -1)!,n為偶數(shù)，n! =2 4 川 n. 【解析】方法1 :用三角函數(shù)公式將tan)展開,再化為重要極限4 n1迎1 +_)X=e的形式,利用等價無窮小因子替換，即xt 0時,tanxL x,從而求出極 限.n兀 2lim tan (十一)=lim - S 4 n FJ1 +ta n? 1 n 爲n :-n2 n n_n 2 1-ta ntan2ta1+42tan24talim 2 2 1

12、_ta-e4 =e .方法2 :先取自然對數(shù),求出極限后再用恒等式lim In f(x)ex :=lim f (x).x因為limlnn_j :2tt 21 +ta n -tann(-) =lim nln n4 n f 1_ta =lim nn 5:lntann(-)/= lim e 4 n 二e4.n ?:n n21 - ta n n _ln2tan? I1+ t 21 - ta n ta - nn2lim 221 -ta -n于是 lim tann (2)n爭4 n【解析】方法1 :利用三角函數(shù)的二倍角公式sin22sin : co ,并利用換元積分，結合拆項法求積分，得dxdxl= is

13、i n2x 2si n x 2si n x(cosx 1) si n xdxcosx u2sin x(cos x 1)=22(sin x = 1 -cos x)1 (1 u) (1-u) 1 (du = J(8,+亠仁(1 + u) 一cosx - In 1 cosx1+cosx2du2 (1-u)(1 u)224(1 -u)(1 u)1ln |1 -u|-ln|1 u| 8 “=bln(1 -其中C為任意常數(shù)1 1 22)du u 1 u (1 u)CC,方法 2 : 換元 cosx=u后,有dx原式2sin x(cosx +1)用待定系數(shù)法將被積函數(shù)分解：12 2sin x(cosx 1)

14、2(1 u)(1 u)sin xdxdu2D- -(1 -u)(1 u) 1 -u1 u (1 u)(A B)u2 (2AD)u (A B D)2A B = 0(1u)(1 u) 1 1n 2A D=0 二 A = B= ,D =.42A + BD=1i2i -于是,原式=(-)du =- I8，1 -u 1 +u (1+u)28 1 2In 1 -cosx -1n 1 cosxC.-b)，其中h為梯形81 cosx(5)【解析】對梯形OABC的面積為D,可用梯形面積公式-(a的高,a、b分別為上底和下底長度/.對于曲邊梯形OABC的面積則用積分式求解.D 2 a,2 22由于2|所以a31

15、a a(3 2a2)DD四、(本題滿分9分)a a 2 6 3(1 a2) 3 1a2 3_ 成一a(3+2a2)3 + 2a22 3 + a2 22【解析】方程kx 丄=1的解即為(x) =kx3 -X2 1的零點.x要證明方程kx A =1有且僅有一個解，只需要證明(x)是單調函數(shù),且它的x函數(shù)圖像僅穿過x軸一次就可以了 以下是證明過程對(x)求一階導數(shù)，有(x) =3kx2 -2x =x(3kx -2).當 k 乞 0 時，：(X)：0, (x)單調減少，(0) =10, lim(x) - -(x)在 x 0有唯一的零點；2224當k 0時(x)在(0,)單調減少,在(，=)單調增加，(

16、 2 )=1 一 4 2，而 3k3k3k27k2(0)=1 0, lim (xH :,當且僅當最小值(二)=0時,(x)才在x 0有唯一零 x_ 坷3k點，這時應該有k = 2 3 .9總之，當k乞0或k = 2時原方程有唯一實根.9五、(本題滿分9分)【解析】求函數(shù)的增減區(qū)間一般先求出函數(shù)的不連續(xù)點和駐點，根據(jù)這些點將函數(shù)的定義域分成不同區(qū)間，然后根據(jù)y在此區(qū)間上的正負來判斷該區(qū)間上函數(shù)的 增減性以及極值點；根據(jù)y“的正負判定區(qū)間的凹凸性；求漸近線時除判定是否存在水平或垂直漸近線外，還要注意有沒有斜漸近線作函數(shù)圖形時要能綜合（1）、 、（3）所給出的函數(shù)屬性，尤其注意漸近線、拐點、極值點和

17、零點.*48“24y 二x 飛，y =1 -飛，y40.xxx無定義點：X = 0，駐點：x = 2 .(-,0)0(0,2)2（2嚴）y+無定義0+y”+無定義+y上升無定義下降極小上升函數(shù)在（：,0）U（2,：）單調增加，在（0,2）單調減少，在（：,0）U（0,：）凹，在x = 2取極小值y心=3 ；由于四y 所以x = 0為垂直漸近線.由于陀7冋y-X）嘰手0,所以廠X是斜漸近線.粗略草圖如下:y水平漸近線：若有l(wèi)im f（x2【相關知識點】漸近線的相關知識:鉛直漸近線：若有 歸）=斜漸斜漸近線：若有”冋亍a為鉛直漸近線；=Oxm【2 （x） - ax存在且不為水平漸近線;:，則 y

18、二 ax b 為近線.六、（本題滿分9分）【解析】所給方程為常系數(shù)的二階線性非齊次方程，對應的齊次方程的特征方程r a =0有兩個根為口2=方.當a =1時，非齊次方程的特解應設為丫二Asin x Bcosx .代入方程可以確定A =0,Y二晉a -1a -1當 a =1 時，應設 丫二 xAsin x xBcosx ,代入方程可以確定A=0,B=-丄,丫xcosx.22由此所求的通解為sin x當 a = 1 時，y = g cosax c2 sin ax2a -1當 a =1 時,y =c1 cosx c2sin x -彳cosx.2【相關知識點】1.二階線性非齊次方程解的結構：設 y*(

19、x)是二階線性非齊次方y(tǒng) P(x)y： Q(x)y = f (x)的一個特解.Y(x)是與之對應的齊次方程y P(x)y * Q(x)y =0的通解，則y =Y(x) y*(x)是非齊次方程的通解.2. 二階常系數(shù)線性齊次方程通解的求解方法：對于求解二階常系數(shù)線性齊次方程的通解Y(x),可用特征方程法求解：即 八P(x)y，Q(x)y =0中的P(x)、Q(x)均 是常數(shù)，方程變?yōu)閥，py、qy=0.其特征方程寫為r2，pr，q=0,在復數(shù)域內解 出兩個特征根幾衛(wèi)；分三種情況：(1)兩個不相等的實數(shù)根 九咕則通解為y二Ge 2尹； 兩個相等的實數(shù)根a二則通解為y二G C2X e%;(3) 一對

20、共軛復根*i卩,則通解為y = eGcosEx + CzSin Px ).其中G,C2為常數(shù).3. 對于求解二階線性非齊次方程y P(x)y Q(x) f( x)的一個特解y*(x)，可用待定系數(shù)法，有結論如下：如果f ( x)二材(x)xe則二階常系數(shù)線性非齊次方程具有形如 y*(x) =xkQm(x)e的特解，其中Qm(x)是與Pm(x)相同次數(shù)的多項式,而k按不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果f (x) =exp(x)cosx +Pn(x)sin x,則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程9 P(x)y q(x)y二f (x)的特解可設為 yxkexRmi)(x)coo rJ2)(x)sincox,其中Rmm) (x)與(x)是m次多項式,m =maxl, n?，而k按 r (或 - i)不是特征方程的根、或是特征方程的單根依次取為0或1.七、(本題滿分9分)【解析】方法一：用積分比較定理1 1首先需要統(tǒng)一積分區(qū)間：換元，令X二 t ,則0 f (x)dx二-0 f( t)dt , 1 1由此 f (x)dx- f(x)dx =0 - f (，x) - f (x) Idx.因為f (x)遞減而 x所以f ( X)- f (X)，上式的右端大于零，