高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)大題壓軸高考題選

1、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)高考?jí)狠S題選一 .選擇題(共2小題)1. (2013?安徽)已知函數(shù) f (x) =x3+ax2+bx+c 有兩個(gè)極值點(diǎn) xi, x2,若 f (xi) =xkx2, 則關(guān)于x的方程3 (f (x) 2+2af (x) +b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為()a. 3 b. 4 c. 5 d. 62. (2012甘國(guó)建)函數(shù)f (x)在a, b上有定義，若對(duì)任意 xi, x2ca, b,有f 產(chǎn)；2)+f (叼)則稱f (x)在a, b上具有性質(zhì)p.設(shè)f (x)在1 , 3上具有性質(zhì)p,現(xiàn)給出如下命題：f (x)在1, 3上的圖象是連續(xù)不斷的；f (x2)在1 ,正上具有性質(zhì) 巳若f (x)在x

2、=2處取得最大值1,則f (x) =1, xq1, 3;對(duì)任意x1,x2,x3,x4q1, 3,有 (_、_三_-j 一 f(出)若對(duì)任意ba0, 0.6. (2013?四川)已知函數(shù)二，其中a是實(shí)數(shù)，設(shè)a (x1, f (x1),inx,b (x2, f (x2)為該函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且x1vx2.(i )指出函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(n )若函數(shù)f (x)的圖象在點(diǎn) a, b處的切線互相垂直，且 x20,求x2-x1的最小值；(出)若函數(shù)f (x)的圖象在點(diǎn) a, b處的切線重合，求 a的取值范圍.1 一 7. (2013?胡南)已知函數(shù) f (x) =-ek.1十產(chǎn)(i )求f (x)的

3、單調(diào)區(qū)間；(n )證明：當(dāng) f(x1) =f (x2) (x1 次2)時(shí)，x1+x20,討論曲線y=f (x) 與曲線y=mx2 (m0)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).(出)設(shè)av b,比較與一 o 的大小,并說明理由.2b- a10. (2013?湖北)設(shè)n是正整數(shù)，r為正有理數(shù).(i )求函數(shù) f (x) = (1+x) r+1 - ( r+1) x- 1 (x - 1)的最小值；(n )證明:產(chǎn)(口一”/門”產(chǎn).rmr+1(出)設(shè)xcr,記岡為不小于x的最小整數(shù)，例如2=2, n=4jki第5頁(共40頁)會(huì)病+痘+病+近云，求收的值4444(參考數(shù)據(jù):80344.7. 81350.5. 12 4618

4、.3, 12 6631.7) -11. (2012?遼寧)設(shè) f (x) =ln (x+1) +v7+i+ax+b (a, bcr, a, b 為常數(shù))，曲線 y=f (x)與直線y=x在(0, 0)點(diǎn)相切.(i)求a, b的值;(ii)證明：當(dāng) 0vxv2 時(shí)，f (x) v12. (2012?福建)已知函數(shù) f(x)=axsinx 一a (acr),且在0,上的最大值為(1)求函數(shù)f (x)的解析式；內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明.(2)判斷函數(shù)f (x)在(0,兀)13. (2012?湖北)設(shè)函數(shù)f (x) =axn (1-x) +b (x0), n為正整數(shù)，a, b為常數(shù)，曲線 y=f (x

5、)在(1, f (1)處的切線方程為 x+y=1(i )求a, b的值；(n )求函數(shù)f (x)的最大值；(m )證明：f (x) v.ne|14. (2012?湖南)已知函數(shù) f (x) =ex- ax,其中 a0.(1)若對(duì)一切xcr, f (x)耳恒成立，求a的取值集合；(2)在函數(shù)f (x)的圖象上取定點(diǎn) a(x1, f(x1), b(x2, f(x2)(x1vx2),記直線ab的斜率為k,證明：存在x0c (x1, x2),使(x0) =k恒成立.n15. (2012?四川)已知a為正實(shí)數(shù)，n為自然數(shù)，拋物線 尸一 乂2 +反與x軸正半軸相交于點(diǎn)a ,設(shè)f ( n)為該拋物線在點(diǎn) a

6、處的切線在y軸上的截距.(i )用a和n表示f (n);(n)求對(duì)所有n都有 口，成立的a的最小值；t (n) +1(出)當(dāng)0vav 1時(shí)，比較/ _-l與里 j (1) 一 1口)的大/、,并說 仁f (k) -f(2k)4 f (0) -f 明理由.16. (2011?四川)已知函數(shù) f (x)/x/, h (x) =/l31 121(i )設(shè)函數(shù)f (x) =f (x) - h (x),求f (x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(n )設(shè) ar,解關(guān)于 x 的方程 log4f (x - 1) - -=log2h (a - x) - log2h (4 - x);24】皿(出)試比較f (100) h

7、(100) - y h (k)與工的大小.仁617. (2011?陜西)設(shè)函數(shù)f (x)定義在(0, +8)上，f (1) =0,導(dǎo)函數(shù)f (x)= =f (x) +f (x).(i )求g (x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；(n)討論g (x)與呂(工)的大小關(guān)系；x=1一一(出)是否存在x00,使得|g(x)- g (x0)|v一對(duì)任意x0成立？若存在，求出x0的取 宣值范圍；若不存在請(qǐng)說明理由.18. (2011?四川)已知函數(shù) f (x) =|x+1, h (x) =/i.(i )設(shè)函數(shù)f (x) =18f (x) - x2h (x) 2,求f (x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(n)設(shè) a蟲，解關(guān)于

8、x 的方程 lg【v (x - 1) - j=2lgh (a- x) - 2lgh(4-x);(出)設(shè) ncnn，證明：f (n) h (n) h (1) +h (2) +- +h (n) *.19. (2010?四川)設(shè)a0且a力)，g (x)是f (x)的反函數(shù).(i )設(shè)關(guān)于x的方程求iog 1=s 在區(qū)間2, 6上有實(shí)數(shù)解,3(x2-1 (7-x)求t的取值范圍；nc - n -(n)當(dāng)a=e, e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，證明： v g (k) -?=；m 也*(-1)in(出)當(dāng)0vaw時(shí)，試比較l f (k) -n|與4的大小，并說明理由.2k=l20. (2010?全國(guó)卷 n)設(shè)函

9、數(shù) f (x) =1-e .(i )證明：當(dāng)x - 1時(shí)，f (x)黃父一；(n )設(shè)當(dāng)x用時(shí)，f (x) j一,求a的取值范圍. as+l|21. (2010?陜西)已知函數(shù) f (x) =/x, g (x) =alnx , acr,(i )若曲線y=f (x)與曲線y=g (x)相交，且在交點(diǎn)處有共同的切線，求a的值和該切線方程；(n )設(shè)函數(shù)h (x) =f (x) - g (x),當(dāng)h (x)存在最小值時(shí)，求其最小值()(a)的解析八；)022(出)對(duì)(11)中的。(a)和任意的a0, b0,證明：(ha+b22. (2009?全國(guó)卷n)設(shè)函數(shù)f (x) =x2+aln (1+x)有兩

10、個(gè)極值點(diǎn) x1、x2,且x1x2,(i )求a的取值范圍，并討論 f (x)的單調(diào)性；/、口 /1 21rl2(n )證明：f (x2).423. (2009?湖北)在r上定義運(yùn)算：p等q=一 (p 匚) (qb) +4bc (b、ccr是常數(shù))， j2已知 f1 (x) =x 2c, f2 (x) =x - 2b, f (x) =f1 (x) f2 (x).4 如果函數(shù)f (x)在x=1處有極值一工，試確定b、c的值； 求曲線y=f (x)上斜率為c的切線與該曲線的公共點(diǎn)；記g (x) =(x) | ( - 1今得)的最大值為 m,若m次對(duì)任意的b、c恒成立，試求k 的取值范圍.(參考公式：

11、x3- 3bx2+4b3= (x+b) (x-2b) 2)24. (2009?湖北)已知關(guān)于x的函數(shù)f (x) = -x3+bx2+cx+bc ,其導(dǎo)函數(shù)為f(x).令g (x) j*二|f(x) |,記函數(shù)g (x)在區(qū)間-1、1上的最大值為 m .(i )如果函數(shù)f (x)在x=1處有極值-八，試確定b、c的值:(n )若|b|1,證明對(duì)任意的c,都有m 2(m )若m叁k對(duì)任意的b、c恒成立，試求k的最大值.25. (2008?江蘇)請(qǐng)先閱讀：在等式cos2x=2cos2x- 1 (xcr)的兩邊求導(dǎo)，得：(cos2x) = (2cos2x-1)由求導(dǎo)法則， 得(-sin2x) ?2=4

12、cosx? (- sinx),化簡(jiǎn)得等式：sin2x=2cosx?sinx.(1)利用上題的想法(或其他方法)，結(jié)合等式(1+x) n=cn0+cn1x+cn2x2+tcnnxn (xcr,正整數(shù) ns2),證明：(1+k ) -1- l- kcpt-k=2 n(2)對(duì)于正整數(shù)n冷，求證： 二() (-1)(iii) k n n+126. (2008?天津)已知函數(shù) f (x) =x4+ax3+2x2+b (xcr),其中 a, bcr.(i )當(dāng)車-u時(shí)，討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性；3(n )若函數(shù)f (x)僅在x=0處有極值，求a的取值范圍；(出)若對(duì)于任意的a可-2, 2,不等式f (x

13、)局在-1, 1上恒成立，求b的取值范圍.四.解答題(共4小題)27. (2008?福建)已知函數(shù) f (x) =ln (1+x) - x(1)求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2)記f (x)在區(qū)間0, n (ncn )上的取小值為 bn令an=ln (1+n) - bn(i)如果對(duì)一切n,不等式耳-7=恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；(ii)求證:1, ala328. (2007?福建)已知函數(shù) f (x) =ex- kx,(1)若k=e,試確定函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若k0,且對(duì)于任意x貝，f (|x|) 0恒成立，試確定實(shí)數(shù) k的取值范圍;(3)設(shè)函數(shù) f (x) =f (x) +f (-

14、 x),求證：f (1) f (2) - f (n) (+42)2 (ncn*).29. (2006?四川)已知函數(shù)f (x)=/g0)f (x)的導(dǎo)函數(shù)是f(x).對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù) x1、x2,證明：(1)當(dāng) a4時(shí)，1 f ( (zj ( xj(n )當(dāng) a9時(shí),|f (xi) f (x2)|x1 x2|.30. （2006?遼寧）已知f0/ 、 n(x) =xkcn + ),設(shè) f(x) =cn0f0 (x2) +cn1f1(x2) +,+cnnfn (x2) , xqt, 1.(1)寫出 fk (1)；(2)證明：對(duì)任意的 xi, x2q - 1, 1,恒有 |f (xi) -

15、f (x2)產(chǎn)廠1 (n+2)第6頁（共40頁）參考答案與試題解析一 .選擇題(共2小題)1. (2013?安徽)已知函數(shù) f (x) =x3+ax (2012甘國(guó)建)函數(shù)f (x)在a, b上有定義，若對(duì)任意 xi, x2ca, b,有f0.解得l$一12展一些k- 63. xi v x2,_ _ a- j” - 3b - 3b叼二 3，二 飛 -而方程 3 (f (x) 2+2af (x) +b=0 的1=0,，此方程有兩解且f (x) =xi或x2.不妨取 0vxivx2, f (xi) 0. 把y=f (x)向下平移xi個(gè)單位即可得到y(tǒng)=f (x) - xi的圖象，- f (xi) =

16、xi,可知方程f (x) =xi有兩解. 把y=f (x)向下平移x2個(gè)單位即可得到y(tǒng)=f (x) -x2的圖象，.f (xi)=xi,，f(xi)-x2v0,可知方程f (x) =x2只有一解.綜上 可知：方程f (x) =xi或f (x) =x2,只有3個(gè)實(shí)數(shù)解.即關(guān)于 x的方程3 (f (x) 2+2af (x) +b=0的只有3不同實(shí)根.f (x2)在1 ,立上具有性質(zhì)p；若f (x)在x=2處取得最大值1,則f (x) =1, xqi, 3;對(duì)任意xl,x2,x3,x4q1, 3,有？ (_、二-jjf (xl)+f(x2)+f(x3)+f (x4)其中真命題的序號(hào)是()a. b.

17、c. d.1 k【解答】解：在中，反例：f (x)= 弓)12f w f (x) =f (2);lmax,f(4- n) a0, 一心)1恒成立,求 m的取值范圍.【解答】 解：(i )當(dāng)m=e時(shí)，f (x) =lnx+ xx - 6，f (x)=；x，當(dāng) xc (0, e)時(shí)，f (x) 0, f (x)在(e, +8)上是增函數(shù); x=e時(shí)，f (x)取得極小值為 f (e) =lne+上=2;(n)1.-函數(shù) g (x) =f (x) 一 -三(x0),令 g (x) =0,得 m=ex3+x (x0);設(shè)()(x) = -x3+x (x0),3，(j)(x) = - x2+1= - (

18、x1) (x+1 );當(dāng) xc (0, 1)時(shí)，4 (x) 0, 4 (x)在(0, 1)上是增函數(shù)，當(dāng) xc (1 , +8)時(shí)，(j) (x) v 0, (j) (x)在(1, +8)上是減函數(shù); x=1是(f) (x)的極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn), x=1是(f) (x)的最大值點(diǎn)，(f) (x)的最大值為“1)w又。(0) =0,結(jié)合y=。(x)的圖象，如圖;可知：當(dāng)m2時(shí)，函數(shù)g (x)無零點(diǎn)；當(dāng)m=趣時(shí)，函數(shù)g (x)有且只有一個(gè)零點(diǎn);-1當(dāng)0vmv,函數(shù)g (x)有兩個(gè)零點(diǎn);當(dāng)m4時(shí)，函數(shù)g (x)有且只有一個(gè)零點(diǎn);函數(shù)g (x)無零點(diǎn);當(dāng)m=/或m磷時(shí)，函數(shù)g (x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)

19、;3當(dāng)0vmw時(shí)，函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn);(出)對(duì)任意ba0, )0), 直則 h (b) 0),24m3對(duì)于m=工，h (x) =0僅在x=1時(shí)成立；4a1- m的取值范圍是濁+ +.5. (20137w課標(biāo) n)已知函數(shù) f (x) =ex-ln (x+m)(j設(shè)x=0是f (x)的極值點(diǎn)，求 m,并討論f (x)的單調(diào)性；(n )當(dāng) mv 時(shí)，證明 f (x) 0.【解答】(i )解：(及)二 6五 一 一5, x=0 是 f (x)的極值點(diǎn)， (0)=1 - -=q , - x+mm解得m=1 .所以函數(shù)f (x) =ex- in (x+1),其定義域?yàn)?-1, +00).設(shè) g (x

20、) =ex (x+1 ) t ,則 g (x) =ex (x+1) +ex0,所以 g (x)在(1, +8)上為 增函數(shù)，又= g (0) =0,所以當(dāng) x0 時(shí)，g (x) 0,即 f (x) 0;當(dāng)-1vxv0 時(shí)，g (x) 0.當(dāng) m=2 時(shí)，函數(shù) (k) = es - 在(-2, +8)上為增函數(shù),且 f ( - 1) 0.故 f ( x) =0 在(-2, +8)上有唯一實(shí)數(shù)根 x0,且 x0 c ( - 1, 0).當(dāng) xc (2, x0)時(shí)，/(x) 0,從而當(dāng)x=x0時(shí)，f (x)取得最小值.式 i由 f(x。)=0,得已二ln (x0+2) = -x0.任+ 7故f(x)

21、適(工。)萬寸。(yq+l )二第0;22-0.綜上，當(dāng)m0.6. （2013?四川）已知函數(shù)f (x)-其中a是實(shí)數(shù)，設(shè)a (xi, f (xi)b (x2, f (x2)為該函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且xkx2.(i )指出函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(n )若函數(shù)f (x)的圖象在點(diǎn) a, b處的切線互相垂直，且 x20,求x2-xi的最小值； (出)若函數(shù)f (x)的圖象在點(diǎn) a , b處的切線重合，求 a的取值范圍.【解答】解：(i)當(dāng) x0時(shí)，f (x) =lnx ,在(0, +)單調(diào)遞增.(ii)x1 x2 0,f (x) =x2+2x+a ,，f (x) =2x+2 ,二函數(shù)f (x)在點(diǎn)

22、a , b處的切線的斜率分別為 f (x1), f (x2), 函數(shù)f (x)的圖象在點(diǎn) a, b處的切線互相垂直，f ( x ) f ( 二 一 1 ,(2x1+2) (2x2+2) = - 1. -2x1+20, x2-sl=1-(2町鉉)十(2町+2)刁-2 叼+2) (2 耳?+2)=1，當(dāng)且 僅當(dāng)-(2x1+2) =2x2+2=1 ,即叼二一工二一口時(shí)等號(hào)成立.二.函數(shù)f (x)的圖象在點(diǎn) a , b處的切線互相垂直，且 x2v0,求x2- x1的最小值為1.(iii )當(dāng) x1x2v 0 或 0vx1x2 時(shí)， f(町)(叼)，故不成立，力二。x2.當(dāng)x10時(shí)，函數(shù)f (x)在點(diǎn)b

23、 (x2, f (x2)處的切線方程為廠1口工2。 g - ),* 9函數(shù)f (x)的圖象在點(diǎn) a , b處的切線重合的充要條件是由及x1v0v x2可得-1x1v0,由 得匹吊in與1_l = k：tn（2勺+2） -1 .i x 1l十已函數(shù)y= k； 1, y= - in （2x1+2）在區(qū)間（-1, 0）上單調(diào)遞減，1- a （x1）= xj - in（2 x2）- 1 在（-1, 0）上單調(diào)遞減，且 x1 - - 1 時(shí)，in （2x1+2）8,即一in （2x1+2） 一+8,也即 a（x1） 一+oo.xi0, a (xi) 1ln2.1 a的取值范圍是(-1 - ln2 , +

24、).1 it7. (2013?胡南)已知函數(shù) f (x) =-ek.1十產(chǎn)(i )求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(n )證明：當(dāng) f (xi) =f (x2) (xi 次2)時(shí)，x1+x20.【解答】解：(i )易知函數(shù)的定義域?yàn)?r.= (工)=(=)已+另c=;-5七十5七1+/1+產(chǎn) cl+l2) 2 l+x 工(冥- 1 ) f k(1+/)2r，當(dāng)x0;當(dāng)x0時(shí)，f (x) 0,得到 f (x) 0;同理，當(dāng) x 1 時(shí)，f (x) 0.1+k2當(dāng) f (x1)=f (x2)(x1 次2)時(shí)，不妨設(shè) x1vx2.由(i )可知：x1c ( 一 oo, 0) , x2c (0, 1).下面證

25、明：？xc (0, 1), f (x) f (-x),即證二已上工？一此不等式等價(jià)于1+y ifx2令 g (x) = (1 - q ek -世之則 g (x) =- xe x (e2x-1). xe當(dāng) xc (0, 1)時(shí)，g (x) 0, g (x)單調(diào)遞減，-g (x) g (0) =0.即(1 k) / -0.e ?x (0, 1), f (x) vf (- x).而 x2c (0, 1), /.f (x2)v f ( - x2).從而，f (x1)v f ( 一 x2).由于 x1, - x2c (- oo, 0), f (x)在(-oo, 0)上單調(diào)遞增， .x1 x2,即 x1+

26、x2 (1 - x) ex, 令 h (x) = (1+x) e x - (1 x) ex,貝u h (x) =x (ex e x).當(dāng) xq。，1)時(shí)，h (x)電 .h (x)在0, 1)上是增函數(shù)，1. h (x) sh (0) =0,即 f (x)當(dāng)一x.當(dāng) x q。，1)時(shí)，f (及)? ex1+x,令 u (x) =ex 1x,貝u u (x) =ex 1.1+w當(dāng) xq。，1)時(shí)，u (x)電.u (x)在0, 1)單調(diào)遞增，.u (x)可(。)二。，綜上可知：1 -(西)4-h-k(ii)解：設(shè) g (x) =f (x) - g (x) = (1+x)(ax+7-x3+1+2x

27、cosi)1、k_ az_l_77xj_ 2j?gdsk = s (a+l+-；-+2eo5k j .2令 h (x) =4%呂西，貝u h (x) =x - 2sinx,令 k (x) =x - 2sinx,貝u k (x) =1 - 2cosx.當(dāng) x0, 1)時(shí)，k (x) v 0,可得h (x)是0, 1)上的減函數(shù)，h (x)中(0) =0,故h (x)在0, 1)單調(diào)遞減, .h (x)/(0) =2.a+1+h (x) q+3.當(dāng)a - 3時(shí)，f (x)測(cè)(x)在0, 1)上不恒成立.f (x) g (x)=- t l+az+x3+2kcoek) =* as 2neoss =-2

28、14-x212x -+日+3+2七:箕).14-x 2ii-1/令 v (x) =+a+-4-2cosz =tth (g ，貝u v(x) =+ h (工)1叮 2l+乂(ifx) 2當(dāng)xc0, 1)時(shí)，v (x)與，故v (x)在0, 1)上是減函數(shù)，:v (x) 6 (a+1+2cos1, a+3.當(dāng) a - 3 時(shí)，a+30.存在 xc (0, 1),使得 v (x0)0,此時(shí)，f (x0)0,討論曲線y=f (x) 與曲線y=mx2 (m0)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)./e、八u f (a) +f tb) (b) - (a) , ,(出) 設(shè) av b,比較與的大小，并說明理由.2b - a【解答】

29、 解：(i)函數(shù)f (x) =ex的反函數(shù)為g (x) =lnx , g設(shè)直線y=kx+1與g (x)的圖象相切于點(diǎn) p (x0, y0),則，工口)町k 工 q+1=in x 口k=e 2, k=e 2.令h(x)號(hào)(工。)，貝uh(x)-小 (冥-2)(ii)當(dāng) x0, m0 時(shí)，令 f (x) =mx2,化為則 xc (0, 2)時(shí)，h (x) 0, h (x)單 調(diào)遞增.當(dāng)x=2時(shí)，h (x)取得極小值即最小值,2.當(dāng)0 互)時(shí)，曲線y=f (x)與曲線y=mx2 (m0)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 0；42葉時(shí)，曲線y=f (x)與曲線y=mx2 (m0)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1;工. o且時(shí)，曲線y=

30、f (x)與曲線y=mx2 (m0)公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.4(出) (a) 4-f (b) f (b) -f (a(b - a+2) (a) + (b- a- 2) (b)2 (b _ a)令 g (x) =x+2+ (x 2) ex (x0),貝u g (x) =1+ (x 1) ex.g (x) =xex0, , g, (x)在(0, +8)上單調(diào)遞增，且 g (0) =0,. g (x) 0而 g (0) =0, g (x)在(0, +8)上單調(diào)遞增，.在(0, +8)上，有 g (x) g (0) =0.當(dāng) x0時(shí)，g (x) =x+2+ (x2) ?ex0,且 ab,i (t-瓦十 2+

31、tb - a - 2) j= e 即當(dāng)a - 1)的最小值;(n)證明：- 1)n0時(shí)，f (x) 0,，f (x)在(0, +8)內(nèi)是增函數(shù).故函數(shù)f (x)在x=0處，取得最小值為f (0) =0.(n )由(i ),當(dāng) xc ( 1, +8)時(shí)，有 f (x)身(0) =0,即(1+x) r+s1+ (r+1) x,且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) x=0時(shí)成立，故當(dāng) x - 1 且 x加，有(1+x) r+1 1+ (r+1) x,在中，令工(這時(shí)xt且x0),得(1 j) nnn上式兩邊同乘 nr+1,得(n+1) r+1nr+1+nr (r+1),川-產(chǎn)i rfl當(dāng)n 1時(shí)，在中令x= _ (這時(shí)x

32、 - 1且x用),ii類似可得7f.史 1) anhl且當(dāng)n=1時(shí)，也成立.e+1 - ( _ 1、r+l/ .-i r+l _ r+l綜合， 得電 1) 口 y門1)5r+1r+1(出)在中，令,n 分別取值 81, 82, 83,，125,得 (813 - 803) 病| (叱-813)_44(83-82)號(hào)（83-82） 83-|（力-切），44j. 4彳1125片-124巧 vt25 （126萬-1253），14旦 m將以上各式相加，并整理得 總12 5、- 護(hù)）s/7+1 層口 22a=0;(ii)證明：由(i)知 f (x) =ln (x+1) +jrh - 1由均值不等式，當(dāng)x0

33、時(shí)，&/ (工+1) 71d1包=葉2，.771券11= m令 k (x) =ln (x+1) x,貝u k (0) =0, k (x) = - 1=v。， k (x) 0時(shí)，f (x)上工2記 h (x) = (x+6) f (x) - 9x,則當(dāng) 0vxv 2 時(shí)，h (x) =f (x) + (x+6) f (x) 9黜(m+6)(4-= ) - 9 肝1 2a/x+1777-73x (工+1) +(h6) z -18 g+l)= / ： (7x-l8) 0,當(dāng)a=0時(shí)，f (x) = ,不合題意；叵當(dāng) av。時(shí)，xc (0, 2l),(x) v 0,從而 f (x)在(0, 一)單調(diào)遞

34、減，22又函數(shù)f (口二郎同0_旦(耳cr)在三上圖象是連續(xù)不斷的，故函數(shù)在0,上上的最大值為f (0) =-!,不合題意；當(dāng)a0時(shí)，xc (0,工)，1(x) 0,從而f (x)在(0,工)單調(diào)遞增， 22又函數(shù)f (k)=axsinx -,aer)在0,1;上圖象是連續(xù)不斷的，故函數(shù)在tttttt*?7t ?0,上上上的最大值為f () 5解得a=1,2 j2222綜上所述，得：-1 ；0,it2內(nèi)至少存在一個(gè)零7t2內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn).第23頁(共40頁)g (兀)=-兀0,(x)在兀上的圖象是連續(xù)不斷的，故存在 mc 兀)，使得 由g (x) =2cosx -xsinx，知x c (與,兀

35、)時(shí)，有g(shù) (x) g (m) =0,即 f (x) 0,從而 f (x)在(正，m)內(nèi)單調(diào)遞增jtit tc - jji故當(dāng)xc (, m)時(shí)，f (x) f ()=-一0,從而(x)在(,m)內(nèi)無零點(diǎn);當(dāng) xc (m,兀)時(shí)，有 g (x) v g (m) =0,即 f (x) 0, f (兀)v 0且f (x)在m,可上的圖象是連續(xù)不斷的，從而 f (x)在m ,可 內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，函數(shù)f (x)在(0,兀)內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).b為常數(shù)，曲線13. (2012?湖北)設(shè)函數(shù) f (x) =axn (1-x) +b (x0), n 為正整數(shù),a,x+y=1y=f (x)在(1

36、, f (1)處的切線方程為(i)(n )求a, b的值;求函數(shù)f (x)的最大值;(出)證明:(x) 0) t在(0, 1)上，增；故力在(0所以。(t) 0(f)(t) v0,故(f) (t)單調(diào)減；在(1, +8), (j/(t) 0,故4 (t)單調(diào)則 lnt 1 -所以(1+1)由(n)知,+ 8)上的最小值為 (t1)1) =0,(t1),ln (1)n+1lnenn+1e, 即-t0.(1)若對(duì)一切xcr, f (x)耳恒成立，求a的取值集合；(2)在函數(shù)f (x)的圖象上取定點(diǎn) a (xi, f (xi), b (x2, f (x2) (xivx2),記直線 ab的斜率為k,證

37、明：存在x0c (xi, x2),使f (x0)=k恒成立.【解答】解：(1) f(x) =ex - a,令 f(x) =0,解可得 x=lna ;當(dāng) xvlna, f (x) lna, f (x) 0, f (x)單調(diào)遞增，故當(dāng) x=lna 時(shí)，f (x)取最小值，f (lna) =a- alna,對(duì)一切x貝，f (x)高 恒成立，當(dāng)且僅當(dāng) a - alna,令 g (t) =t - tint,則 g(t) = - int,當(dāng)0vtv 1時(shí)，g(t) 0, g (t)單調(diào)遞增，當(dāng)t1時(shí)，g(t) v 0, g (t)單調(diào)遞減， 故當(dāng)t=1時(shí)，g (t)取得最大值，且 g (1) =1,因此當(dāng)

38、且僅當(dāng)a=1時(shí)，式成立，綜上所述，a的取值的集合為1.f (壇)_ f ck - )- est|(2)根據(jù)題意，k=2j- - a,(x) =f (x) - k=ex-(x2 x1 ) - 1則()(x1)=-4(x2)= j1 年-(x1-x2)- 1,叼一町令 f (t) =et- t- 1,貝u f (t) =et- 1,當(dāng)t0時(shí)，f (t) 0時(shí)，f (t) 0, f (t)單調(diào)遞增,則f (t)的最小值為f (0) =0,故當(dāng) t4時(shí)，f (t) f (0) =0,即 et-t- 10,從而 j： 盯(x2 x1)- 1 0,且 j 0,則 4 (x1)v 0,x1 x2)- 1 0

39、0,則(f) (x2) 0因?yàn)楹瘮?shù)y=(f)(x)在區(qū)間x1, x2上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在x0 (x1,x2),使 4 (x0) =0,即f (x0) =k成立.no a15. (2012?四川)已知a為正實(shí)數(shù)，n為自然數(shù)，拋物線 廠一+與與x軸正半軸相交于點(diǎn)a ,設(shè)f ( n)為該拋物線在點(diǎn) a處的切線在y軸上的截距.(i )用a和n表示f (n);(n )求對(duì)所有n都有f(口)、一 1成立的a的最小值;土 (n) +1 不7(出)當(dāng)0vav 1時(shí)，比較v工_與豈. 一門)已產(chǎn)(k) -f(2k)4 f (0) -f m的大小，并說明理由.【解答】解：(i).拋物線廠直之+號(hào)與x軸正半軸相交于點(diǎn) a, .-.a0)n對(duì)尸-x z +今_求導(dǎo)得y = - 2x拋物線在點(diǎn)a處的切線方程為產(chǎn)一61/逐. f (n)為該拋物線在點(diǎn) a處的切線在y軸上的截距