福建省長泰一中高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《應(yīng)用性問題》學(xué)案

1、第 2 課時應(yīng)用性問題基礎(chǔ)過關(guān)典型例題例 1 (1) 某人朝正東方走x km后，向左轉(zhuǎn)1500，然后朝新方向走3km，結(jié)果它離出發(fā)點恰好3 km，那么 x 等于（）（ a）3（ b） 2 3（ c）3 或2 3（ d） 3解： c 提示：利用余弦定理（2）甲、乙兩樓相距20m ，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?00 ，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?00，則甲、乙兩樓的高分別是（）a203m, 403 mb103m, 203m3c10(32) m, 203md15 3 m, 203 m23解： a（3）一只汽球在 2250m 的高空飛行， 汽球上的工件人員測得前方一座山頂上a 點處的俯角為 180，汽球向

2、前飛行了2000m 后，又測得 a 點處的俯角為 820，則山的高度為（）a1988m b2096m c3125m d2451m解： b（4）已知輪船 a 和輪船 b 同時離開 c島， a 向北偏東 250 方向， b向西偏北 200 方向，若 a的航行速度為 25 nmi/h， b 的速度是 a 的 3 ，過三小時后， a、 b的距離是解： 90.8 nmi5( 5)貨輪在海上以40km/h 的速度由 b 到 c航行，航向為方位角nbc1400，a 處有燈塔，其方位角nba1100 ，在 c 處觀測燈塔 a 的用心愛心專心1方位角mca350，由 b 到 c 需航行半小時，則 c 到燈塔 a

3、 的距離是解： 10(62) km 提示：由題意知bca750 ，利用余弦定理或解直角三角形可得變式訓(xùn)練1：如圖，當(dāng)甲船位于a 處時獲悉，在其正東方向相距20 海里的 b處有一艘漁船遇險等待營救甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西30，相距 10 海里 c處的乙船，試問乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往b 處救援（角度精確到 1 ）？解：連接bc,由余弦定理得22222010cos120=700.bc=20 +10北于是 ,bc=107 . sinacbsin120, sin acb=3 ,a20b2010 77 acb90 acb=4110乙船應(yīng)朝北偏東 71方向沿直線前往 b

4、處救援 .例 2. 在某海濱城市附近海面有一臺風(fēng)，據(jù)檢測，當(dāng)前臺風(fēng)中心位于城市o(如圖?c) 的東偏南(cos2 ) 方向 300 km 的海面 p 處，并以20 km / h 的速度向西偏北45 的方向移動，10臺風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60 km ，并以 10 km / h的速度不斷增加，問幾小時后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲？持續(xù)多長時間？答： 12 小時后該城市受到臺風(fēng)的侵襲，侵襲的時間將持續(xù)12 小時變式訓(xùn)練 2：如圖所示 , 海島 a周圍 38 海里內(nèi)有暗礁，一艘船向正南方向航行，在b 處測得島 a 在船的南偏東 300方向上，船航行30 海里后，在 c處測得島 a 在船的南

5、偏東450方向上，如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，有無觸礁危險？解：由題意得，在 abc 中， bc=30， b 300， acb1350所以 a 150 ，由正弦定理可知：bcacsin asin b用心愛心專心230ac所以 ac 60cos15 0 ，sin150sin300于是 a 到 bc所在直線的距離為 ac sin 45060cos15 0 sin 45040.98 38所以船繼續(xù)向南航行無觸礁危險。例 3. 如圖所示，公園內(nèi)有一塊邊長 2a 的等邊 abc 形狀的三角地，現(xiàn)修成草坪，圖中 de把草坪分成面積相等的兩部分， d 在 ab上，e 在 ac上（1）設(shè) adx(xa)

6、 ， edy ，求用 x 表示 y 的函數(shù)關(guān)系式；（ 2）如果 de是灌溉水管，為節(jié)約成本希望它最短， de的位置應(yīng) 該在哪里？如 果 de是參觀 線路，則希望它最長， de的位置又在哪里？請 給予證明解：（ 1）在 abc中， d 在 ab上， a x 2asade=11 x ae sin 6001 ab 2sin 600sabc224ae2a2，在 ade中，由余弦定理得：xy2x24a42a2yx24a42x2a)x2x22a (a（2）令 x2t ，則 a2t4a2則 yt4a42a2t令 f (t ) t4a42a2, t2, 4a2 ，t a則 f(t )4a4t24a4(t2a2

7、 )(t2a2 )1t2t 2t2當(dāng) t(a2 , 2a2 ) 時 , f (t)0 ； 當(dāng) t(2 a2 , 4a2 ) 時 , f (t ) 0又 f (a2 ) 3a2 , f (2 a2 ) 2a2 , f (4 a2 ) 3a2當(dāng) t2a2 ,即 x2a 時, y 有最小值2a ，此時 de bc，且 ad2a當(dāng) ta2 或4a2 , 即 xa 或2a 時 , y 有最大值3a ，此時 de為 abc的邊 ab 或 ac的中線上變式訓(xùn)練3：水渠道斷面為等腰梯形，如圖所示，渠道深為h ，梯形面積為s，為了使渠道的滲水量達(dá)到最小，應(yīng)使梯形兩腰及下底之和達(dá)到最小，此時下底角應(yīng)該是多少？解：

8、設(shè)cda ，則 cd a,則 cbh, aba2hsin，tan所以 s1 ( a a2h ) h ash2l ，tanhtan設(shè)兩腰與下底之和為則 la2cbsh2hs2coshhtansinhsins12sin 2s3sin 2cos22h22hh2sincosh2sincos2222用心愛心專心3s3 tan21hs23tan21hs3 hh22 tanh22 tanh22當(dāng)且僅當(dāng) 3 tan21時，上式取等號，即當(dāng)tan3時，上式取等號22tan2322300 ,即600 ，所以下角600 時，梯形兩腰及下底之和達(dá)到最小例 4.如圖，半圓 o的直徑為2，a 為直徑延長線上的一點，oa=

9、2，b 為半圓上任意一點，以ab為一邊作等邊三角形abc。問：點 b 在什么位置時，四邊形oacb面積最大？解：設(shè)aob，在 aob中，由余弦定理得：ab 2oa2ob 22oa ob cosaob1222212cos54cos于是，四邊形oacb的面積為s=s+ s13ab2abcoa ob sinaob24121sin3 (54cos)24sin3 cos532sin(534)43因為 0，所以當(dāng)，5，即aob5時，366四邊形 oacb面積最大2變式訓(xùn)練4：如圖所示，某海島上一觀察哨a 上午 11 時測得一輪船在海島北偏東600 的 c處， 12 時 20 分測得船在海島北偏西600 的 b 處， 12 時 40 分輪船到達(dá)位于海島正西方且距海島 5 km 的 e 港口，如果輪船始終勻速直線前進(jìn)，問船速多少？解：輪船從c 到 b 用時 80分鐘，從b 到 e 用時 20 分鐘，而船始終勻速前進(jìn)，由此可見：bc=4eb，設(shè) eb=x ，則則 bc=4x ，由已知得bae300 , eac 1500在 aec中，由正弦定理得：ecaeae sin eac5sin150 01sin eacsin cec5x2xsin c用心愛心專心4bcabbc