2012年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題輔導(dǎo)資料專題(三)轉(zhuǎn)化與化歸思想

1、專題三：轉(zhuǎn)化與化歸思想【考情分析】轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位， 數(shù)學(xué)問題的解決， 總離不開轉(zhuǎn)化與化歸，如未知向已知的轉(zhuǎn)化、 新知識(shí)向舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化、 復(fù)雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化、 不同數(shù)學(xué)問題之間的互相轉(zhuǎn)化、實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化等各種變換、具體解題方法都是轉(zhuǎn)化的手段，轉(zhuǎn)化的思想方法滲透到所有的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和解題過程中。 數(shù)學(xué)問題解答題離不開轉(zhuǎn)化與化歸， 它即是一種數(shù)學(xué)思想又是一種數(shù)學(xué)能力， 高考對(duì)這種思想方法的考查所占比重很大， 是 歷年高考考查的重點(diǎn)。預(yù)測 2012 年高考對(duì)本講的考查為：（ 1）常量與變量的轉(zhuǎn)化：如分離變量，求范圍等。（ 2）數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化：若解析幾何中斜率、

2、函數(shù)中的單調(diào)性等。（ 3）數(shù)學(xué)各分支的轉(zhuǎn)化：函數(shù)與立體幾何、向量與解析幾何等的轉(zhuǎn)化。（ 4）出現(xiàn)更多的實(shí)際問題向數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化問題?！局R(shí)交匯】轉(zhuǎn)化與化歸思想方法， 就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得到解決的一種方法一般總是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題， 將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題。 從某種意義上說， 數(shù)學(xué)題的求解都是應(yīng)用已知條件對(duì)問題進(jìn)行一連串恰當(dāng)轉(zhuǎn)化， 進(jìn)而達(dá)到解題目的的一個(gè)探索過程。1轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化與非等價(jià)轉(zhuǎn)化。等價(jià)轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過程中前因后果是充分必要的，才保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問題的結(jié)

3、果。 非等價(jià)轉(zhuǎn)化其過程是充分或必要的， 要對(duì)結(jié)論進(jìn)行必要的修正（如無理方程化有理方程要求驗(yàn)根） ，它能帶來思維的閃光點(diǎn)，找到解決問題的突破口。2常見的轉(zhuǎn)化方法轉(zhuǎn)化與化歸思想方法用在研究、 解決數(shù)學(xué)問題時(shí)， 思維受阻或?qū)で蠛唵畏椒ɑ驈囊环N狀況轉(zhuǎn)化到另一種情形， 也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境使問題得到解決， 這種轉(zhuǎn)化是解決問題的有效策略，同時(shí)也是成功的思維方式。常見的轉(zhuǎn)化方法有：（ 1）直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題；（ 2）換元法：運(yùn)用“換元”把非標(biāo)準(zhǔn)形式的方程、不等式、函數(shù)轉(zhuǎn)化為容易解決的基本問題；（ 3）參數(shù)法：引進(jìn)參數(shù)，使原問題的變換具有靈活性，易于轉(zhuǎn)化；（ 4）

4、構(gòu)造法： “構(gòu)造”一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題；（ 5）坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用代數(shù)方法解決解析幾何問題，是轉(zhuǎn)化方法的一種重要途徑；（ 6）類比法：運(yùn)用類比推理，猜測問題的結(jié)論，易于確定轉(zhuǎn)化的途徑；（ 7）特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的結(jié)論適合原問題；（ 8）一般化方法：若原問題是某個(gè)一般化形式問題的特殊形式且有較難解決，可將問題通過一般化的途徑進(jìn)行轉(zhuǎn)化；（ 9）等價(jià)問題法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)易于解決的等價(jià)命題，達(dá)到轉(zhuǎn)化目的；(10)補(bǔ)集法：(正難則反)若過正面問題難以解決，可將問題的結(jié)果看作集合a,而把包含該問題的整體問題的結(jié)果類比為全集u,通

5、過解決全集 u及補(bǔ)集cua獲得原問題的解決。3.化歸與轉(zhuǎn)化應(yīng)遵循的基本原則：(1)熟悉化原則：將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，以利于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問題來解決；(2)簡單化原則：將復(fù)雜的問題化歸為簡單問題，通過對(duì)簡單問題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù)；(3)和諧化原則：化歸問題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧的形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或其方法符合人們的思維規(guī)律；(4)直觀化原則：將比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題來解決；(5)正難則反原則：當(dāng)問題正面討論遇到困難時(shí)，可考慮問題的反面，設(shè)法從問題的 反面去探求，

6、使問題獲解。4.轉(zhuǎn)化與化歸的指導(dǎo)思想(1)把什么問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化歸對(duì)象；(2)化歸到何處去，即化歸目標(biāo)；(3)如何進(jìn)行化歸，即化歸方法；化歸與轉(zhuǎn)化思想是一切數(shù)學(xué)思想方法的核心?！舅枷敕椒ā款}型1:集合問題例 1. (2011 廣東理 2)已知集合 a= (x , y)|x , y 為實(shí)數(shù)，且 x2 + y2 =1 , b=(x , y) |x ,y為實(shí)數(shù)，且y=x, 則a n b的元素個(gè)數(shù)為()a. 0b . 1 c . 2 d . 3解析：集合a表示由圓x2 +y2 =1上的所有點(diǎn)組成的集合；集合b表示直線y = x上的所有點(diǎn) 組成的集體，由于直線經(jīng)過圓內(nèi)的點(diǎn)0(0,0)，故直線與圓有兩個(gè)

7、交點(diǎn)，故選c.(2)已知函數(shù)f(x) =4x2 -2(p-2)x-2p2 -p+1 ,在區(qū)間1,1上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c使f(0o,求實(shí)數(shù)p的取值范圍.分析：運(yùn)用補(bǔ)集概念求解。解 答： 設(shè) 所 求 p 的 范 圍 為 a, 則 人=在一1,1上函數(shù)f(x)=4x2 -2(p-2)x2p2 -p+1e0 注意到函數(shù)的圖象開口 向上；j。a =1p-2 一 一 一f - -2p 3p 9 0一-2一f(-1) - -2p p 1 g（x）.（出）如果 x *x2 ,且 f （x ）= f （x2 ）證明 x1 +x2 2o解析：（i） f（x）=（1-x）令 flxmfe_0,則 x = 1；當(dāng)x變

8、化時(shí)，f （x ）, f （x ）的變化情況如下表：x1（1，）f(x)+0f (x)增極大值減所以f（x）在區(qū)間l*1 k是增函數(shù)，在區(qū)間（1,）內(nèi)是減函數(shù)。_1函數(shù)f（x）在x = 1處取得極大值f.且 e e（n）因?yàn)楹瘮?shù)y = g（x）的圖象與函數(shù)y = f（x）的圖象關(guān)于直線x = 1對(duì)稱，所以 g（x）=f（2x）于是 g（x）=（2x）ex j記 f（x）=f （x）g（x）則 f（x尸xe+（x ）xif x 二 x-1 e2x -1 e當(dāng) x a1 時(shí)，2x-20,從而 e2x -1 0 ,又 e* 0,所以 f（x） ,于是函數(shù)f（x）在區(qū)間1,*）上是增函數(shù).11因?yàn)?f

9、 =-e =0 ,所以，當(dāng) x 1 時(shí)，f (x) f (1 )=0 .因此 f (x) g(x)（m）若（x1 一1 kx2 -1）= 0,由（i）及 f（x1）= f（x2），得 x1 =x2,與 * #x2 矛盾；（2）若（x1 一12 一1 0,由由（i）及 “）=&）,得 x1 =x2，與 x-x2 矛盾;根據(jù)，（2）可得（x1 1kx2 ”0.不妨設(shè) x1 1 .由（h）可知 f （x2 / g（x2）=f （2 x2 所以 f（x1）=f（x2）ag（x2）=f（2x2）因?yàn)閤2 1 ,所以2 _x2父1 ,又x1父1 ,由（i ） , f （x）在區(qū)間（一巴1 ）內(nèi)是增函數(shù)，所

10、以x12x2,即x1x2210點(diǎn)評(píng)：函數(shù)、方程與不等式就像“一胞三兄弟”，解決方程、不等式的問題需要函數(shù)幫助，解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的幫助，因此借助于函數(shù)、方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與 化歸可以將問題化繁為簡，一般可將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為最值（值域）問題，從而求出參變量的范 圍.題型3:不等式問題例3.（1） （2011四川文11）某運(yùn)輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10 噸的甲型卡車和 7輛載重量為6噸的乙型卡車.某天需運(yùn)往a地至少72噸的貨物，派用的每輛車需滿載且只運(yùn)送一次.派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運(yùn)送一次可得利潤450元；派用的每輛乙型卡車需配1名工人，運(yùn)送一次可得利

11、潤 350元，該公司合理計(jì)劃當(dāng)天派用兩類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤為（a） 4650 元（b） 4700 元（c） 4900 元（d） 5000 元m222（2） （2011 江蘇 14）設(shè)集合 a=（x,y）|一w（x2）2 + y2 wm2,x,yw r,2b =(x, y)|2m ex + y e2m+1, x, y 亡 r,若 ac b # 6,則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是,解析：（1） c:設(shè)派用甲型卡車 x （輛），乙型卡車 y （輛），獲得的利潤為 u （元），x y 12, 2x y -19,u=0x0+y ，由題意，x、y滿足關(guān)系式410x+6y之72,作出相應(yīng)的平面區(qū)域，|0

12、-x -8,0 y 0，因?yàn)閍c b #電此時(shí)無解；當(dāng) m0時(shí),、22集合a是以（2, 0）為圓心，以 jm和m為半徑的圓環(huán)，集合 b是在兩條平行線之間，必2 22m|21 2-2 mli -5=1 m 72+1.又因?yàn)?m m2,，- m v2 +1。 222【溫馨提示】本題是較為典型的恒成立問題，解決恒成立問題通?？梢岳梅蛛x變量轉(zhuǎn)化為最值的方法求解。構(gòu)造函數(shù)解題是數(shù)學(xué)中的常用方法，通過巧妙地構(gòu)造輔助函數(shù)，把原來的問題轉(zhuǎn)化為研究輔助函數(shù)的性質(zhì)，從而達(dá)到解題目的。.222sin sin b + sin csinbsinc .則 a的取值題型4:三角問題 例4. (1) (2011四川理6)在

13、aabc中.范圍是n(a)(0 , - (b)ji二）（c）（0-(d)3ji由 題 意 正 弦 定 理2 . ,22222,a -b c -bc= b c -a _bc=b2c2bc.1 一 _.二之 1 = cos a 之一=0am 。23點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查解三角形知識(shí)，并突出了邊角互化這一轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。(2)若 0spsinu+cosa=a, sin b + cosp = b ,則()4a.a bc . ab 2解析：若直接比較 a與b的大小比較困難，若將 a與b大小比較轉(zhuǎn)化為a2與b2的大小比較就容易多了。因?yàn)?a2 =1+sin2, b2=1+sin2p3t又因?yàn)? :二2二:2

14、 -：二一2所以 sin2a sin2p ,所以 a2 0,所以a 0 得 0wxw2。設(shè) k=x2 + y2,則 y2=k x2,代入已知等式得：x26x+2k = 0 ,1 2即k= -x2+3x,其對(duì)稱軸為 x=3。2由 0wxw2得 kc 0,4。所以x2 + y2的范圍是：0wx2 + y2w4。另解：數(shù)形結(jié)合法(轉(zhuǎn)化為解析幾何問題)：由3x 2 + 2y 2 = 6x得(x 1) 2 +、一 = 1,即表示如圖所示橢圓， 其一個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)。320,距離最大的x2 + y2的范圍就是橢圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方。由圖可知最小值是點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心的圓與橢圓相切的切點(diǎn)。設(shè)圓方程為

15、x2+y2 = k,代入橢圓中消y得x2 6x+2k=0。由判別式= 368k=0 得 k = 4,所以 x2 + y2 的范圍是：0wx2 + y2w4。再解：三角換元法，對(duì)已知式和待求式都可以進(jìn)行三角換元(轉(zhuǎn)化為三角問題)由 3*2 + 2丫2 = 6*得自1) 2 +2 上1,x 1 = cosax2+y2=i+ 2cos 民 + cos2 民+ -sin2a = 1 +f 2cos a2-cos 2 a2cos 2 a + 2cos a + 22s 0,4所以x2+y2的范圍是：0wx2 +y 24o點(diǎn)評(píng)：題運(yùn)用多種方法進(jìn)行解答，實(shí)現(xiàn)了多種角度的轉(zhuǎn)化，聯(lián)系了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，有助于 提高發(fā)散

16、思維能力。 此題還可以利用均值換元法進(jìn)行解答。各種方法的運(yùn)用，分別將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為了其它問題，屬于問題轉(zhuǎn)換題型。(2) (2005全國卷i (理)第15題)：mbc的外接圓的圓心為 o,兩條邊上的高的交點(diǎn)為h,oh = m ( oa +ob+ oc),則實(shí)數(shù)mi=分析：如果用一般的三角形解決本題較難，不妨設(shè)4bc是以/a為直角的直角三角形，則o為斜邊bc上的中點(diǎn)，h與a重合，oa + ob +oc = oa = oh,于是得出m= 1。 點(diǎn)評(píng)：這種通過特殊值確定一般性結(jié)果的思路還有很多，如歸納、猜想、證明的方法，過定點(diǎn)問題，定值問題也可以用這樣的思路。題型8:具體、抽象問題例8. (2004浙

17、江卷(理)第12題)：若f (x)和g (x)都是定義在實(shí)數(shù)集 r上的函數(shù)， 且方程x-f g (x) = 0有實(shí)數(shù)解，則g f (x)不可能是()(a) x2+x- -(b) x2+x+ - (q x2- -(d) x2+ -5555分析：本題直接解不容易，不妨令 f (x) =x,則f g (x) = g (x), g f (x) = g (x) , x-f g (x) = 0有實(shí)數(shù)解即x- g (x) = 0有實(shí)數(shù)解。這樣很明顯得出結(jié)論，b使x-g (x) = 0沒有實(shí)數(shù)解，選b這種從抽象到具體再到抽象，使學(xué)生從心理上感到非常輕松，象這樣常見抽象函數(shù)式還有一次函數(shù)型 f (x+y) =

18、f (x) +f (y) + m,對(duì)數(shù)函數(shù)型 f (xy) = f (x) +f (y),哥 函數(shù)型 f (xy) = f (x) f (y)。點(diǎn)評(píng)：把抽象問題具體化是在數(shù)學(xué)解題中常有的化歸途徑，它是對(duì)抽象問題的理解和再認(rèn)識(shí)，在抽象語言與具體事物間建立聯(lián)系，從而實(shí)現(xiàn)抽象向具體的化歸。題型9:正難則反轉(zhuǎn)化問題例9. (2011山東理20)等比數(shù)列qj中，&舊2且3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1,a2,a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列第一列第二列第三列a行3210第二行6414第三行9818(i)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(n)若數(shù)列 也滿足：bn =an+(-1)lnan,求數(shù)列bn

19、的前2n項(xiàng)和s2n.【解析】(i)當(dāng)a1=3時(shí)，不合題意；當(dāng)a1=2時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a2=6,a3=18時(shí)，符合題意；當(dāng)a1 =10時(shí)，不合題意。由題意知al =2,a2 =6,a3 =18，因?yàn)閍n是等比數(shù)列，所以公比為3,所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式an =2 3n-.(n)因?yàn)?bn =an+(1)lnan=2 3n+ (1)ln 2 3n，所以 &=6 +b2+|+bn =(ala2ih -an)-(lna1ina2|lnan)2(1-3n)1 -3in a1a2 an=n )3 -1ln(2 n 1 31 32 |l| 3n)二n (n)3n -1-ln(2n 3干)2n(2n 4)s2n =

20、 32n -1- ln(22n 3 2 ) = 9n -1-2nln 2-(2n2 -n)ln 3點(diǎn)評(píng)：一些數(shù)學(xué)問題，如果從條件出發(fā)，正面考慮較難較繁，不妨調(diào)整思考方向，從問題的結(jié)論入手，或從問題的條件與結(jié)論的反面入手進(jìn)行思考，迂回地得到解題思路， 這叫做“正難則反?！罢y則反”是一種重要的解題策略，靈活用之，能使許多難題、趣題和生活中的問題獲得巧解。題型10：實(shí)際應(yīng)用問題例10 .把一塊鋼板沖成上面是半圓形，下面是矩形的零件，其周長是 巳怎樣設(shè)計(jì)才 能使沖成的零件面積最大？并求出它的最大面積。分析：這個(gè)實(shí)際問題可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)函數(shù)的最值問題來解決。解析：如圖，設(shè)矩形的一邊長為 x,則半圓的周長

21、為 21x 2p 一(二 2)x矩形的另一邊長為 ab =1(p -x-) = 2p(一3224設(shè)零件的面積為s,則。1二 2 2p -(二 2)x 二 4 2 ps=- , 一 x x 1=- = x x2 4482 b 2p一 一p- a0 ，當(dāng)x =時(shí)，s有最大值，這時(shí) ab=2a 二 4-4.當(dāng)矩形的兩鄰邊ab與bc之比為1 ： 2時(shí)，smakp28 2二點(diǎn)評(píng)：實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)結(jié)果解釋最終的實(shí)際問題?！舅季S總結(jié)】1 .熟練、扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法是轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)；豐富的聯(lián)想、機(jī) 敏細(xì)微的觀察、比較、類比是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的橋梁；培養(yǎng)訓(xùn)練自己自覺的化歸與轉(zhuǎn)化意識(shí)需要對(duì)定理、公式、法則有本質(zhì)上的深刻理解和對(duì)典型習(xí)題的總結(jié)和提煉，要積極主動(dòng)有意識(shí)地去發(fā)現(xiàn)事物之間的本質(zhì)聯(lián)系。“抓基礎(chǔ)，重轉(zhuǎn)化”是學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)的金鑰匙。2 .為了實(shí)施有效的化歸，既可以變更問題的條件，也可以變更問題的結(jié)論，既可以變 換問題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，又可以變換問題的外部形式，既可以從代數(shù)的角度去認(rèn)識(shí)問題，又可以從幾何的角度去解決問題。3 .注意緊盯化歸目標(biāo)，保證化歸的有效性、規(guī)范性化歸作為一種思想方法， 應(yīng)包括化歸的對(duì)象、 化歸的目標(biāo)、以及化歸的方法、