《一元一次不等式與不等式組》全章復習與鞏固(基礎)知識講解

1、 一元一次不等式與不等式組全章復習與鞏固（基礎）知識講解 【學習目標】 1. 理解不等式的有關(guān)概念，掌握不等式的三條基本性質(zhì)； 2. 理解不等式的解（解集）的意義，掌握在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法; 3. 會利用不等式的三個基本性質(zhì)，熟練解一元一次不等式或不等式組； 4. 會根據(jù)題中的不等關(guān)系建立不等式（組），解決實際應用問題； 5. 通過討論一次函數(shù)與方程（組）及不等式的關(guān)系，從運動變化的角度， 用函數(shù)的觀點加深 對已經(jīng)學習過的方程（組）及不等式等內(nèi)容的再認識 【知識網(wǎng)絡】 實際背景 不等式 -元一次不等式 不等式的基本性質(zhì) -次函數(shù) 解法 一元一次等式組 解法 實際應用 - 數(shù)軸表示 【

2、要點梳理】 要點一、不等式 1. 不等式：用符號“V”（或“W” ）, “”（或“”），工連接的式子叫做不等式 要點詮釋： （1）不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解 （2 ）不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成這個不等式的解集. 解集的表示方法一般有兩種：一種是用最簡的不等式表示，例如x a , x_a等；另一種是 用數(shù)軸表示，如下圖所示： （3）解不等式：求不等式的解集的過程叫做解不等式. 2. 不等式的性質(zhì)： 不等式的基本性質(zhì)1：不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變. 用式子表示：如果 a b，那么a c b c 不等式的基本性質(zhì)

3、2：不等式兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變. a b 用式子表示：如果 a b, c0，那么ac bc(或). c c 不等式的基本性質(zhì) 3:不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變. 用式子表示：如果 a b, cv 0，那么acv bc(或a :： b). c c 要點二、一元一次不等式 1. 定義：不等式的左右兩邊都是整式，經(jīng)過化簡后只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高 次數(shù)是1，這樣的不等式叫做一元一次不等式. 要點詮釋：ax+b 0或ax+bv 0(a豐0)叫做一元一次不等式的標準形式. 2. 解法： 解一元一次不等式步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)

4、化為1. 要點詮釋：不等式解集的表示：在數(shù)軸上表示不等式的解集，要注意的是三定”：一是定 邊界點，二是定方向，二是定空實. 3. 應用：列不等式解應用題的基本步驟與列方程解應用題的步驟相類似，即： (1) 審：認真審題，分清已知量、未知量； (2) 設：設出適當?shù)奈粗獢?shù)； (3) 找：找出題中的不等關(guān)系，要抓住題中的關(guān)鍵字，如“大于”“小于” “不大于” “至少” “不超過” “超過”等關(guān)鍵詞的含義； (4) 列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式； (5) 解：解出所列的不等式的解集； (6) 答：檢驗是否符合題意，寫出答案. 要點詮釋： 列一元一次不等式解應用題時，經(jīng)常用到“合算” 、“至少”

5、、“不足”、“不超過”、“不大 于”、“不小于”等表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語，弄清它們的含義是列不等式解決問題的關(guān)鍵. 要點三、一元一次不等式組 關(guān)于同一未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成一個一元一次不等式組. 要點詮釋： (1) 不等式組的解集：不等式組中各個不等式的解集的公共部分叫做這個不等式組的解集. (2) 解不等式組： 求不等式組解集的過程，叫做解不等式組 (3) 一元一次不等式組的解法 ：分別解出各不等式，把解集表示在數(shù)軸上，取所有解集的 公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集 (4) 一元一次不等式組的應用：根據(jù)題意構(gòu)建不等式組，解這個不等式組；由不等 式組的解集及實

6、際意義確定問題的答案. 要點四、一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式(組) 方程(組)、不等式問題 函數(shù)問題 從“數(shù)”的角度看 從“形”的角度看 求關(guān)于x、y的一元一次 x為何值時，函數(shù)y = ax + b的 確定直線y=ax + b與x軸 方程 ax +b = 0 （ a 豐 0） 的解 值為0 ? (即直線y = 0)交點的橫坐 標. 求關(guān)于x、y的二兀一次 x為何值時，函數(shù) 丫=玄必+“與 確定直線 y =+ d與直線 y =盼+匕， 方程組211的解. y =a2x +b2. 函數(shù)y = a?x +b2的值相等？ y = a2x + b2的交點的坐標. 求關(guān)于x的一元一次不等 式 a

7、x + b 0 ( a 豐 0)的 解集 x為何值時，函數(shù) y = ax十b的 值大于0 ? 確定直線y=ax + b在x軸 (即直線y = 0)上方部分的 所有點的橫坐標的范圍. 【典型例題】 類型一、不等式 1. 用適當?shù)姆栒Z言表達下列關(guān)系： (1) a與5的和是正數(shù). (2) b與-5的差不是正數(shù). (3) x的2倍大于x. (4) 2x與1的和小于零. (5) a的2倍與4的差不少于5. 【答案與解析】 解：(1) a+50; ( 2) b- (-5 )x;(4) 2x+1 5. 【總結(jié)升華】正確運用不等符號翻譯表述一些數(shù)學描述是學好不等式的關(guān)鍵，要關(guān)注一些常 見的描述語言，如此處：

8、不是、不少于、不大于. 舉一反三： 【變式】用適當?shù)姆栒Z言表達下列關(guān)系： 1 11 (1) y的 與3的差是負數(shù).(2) x的 與3的差大于2. (3) b的 與c的和不大于9. 2 22 111 【答案】(1) 一 y3：0 ；(2) x32 ； ( 3) b e空9. 222 2. 用適當?shù)姆柼羁眨?(1) 如果 ab，那么 a-3_b-3 ; 7a_7b ; -2a_-2b. 1 1 (2) 如果 ab,那么 a-b_0 ； a+5b_6b； a_ b b 2 一2 【思路點撥】不等式的基本性質(zhì)1,2,3 . 【答案】(1)；.(2) ；. 【解析】 (1 )在不等式ab兩邊同減去3

9、，得a-3 b-3 ； 在不等式ab兩邊同乘以7,得7a 7b； 在不等式a-2b . (2)在不等式ab兩邊同減去b,合并得a-b 0 ； 在ab兩邊同加上 5b,合并得a+5bv 6b; 111 在abe,且 cv 0,貝U a b . 【答案】(1) ; ( 2)v. 【變式2】判斷 (1) 如果 a b，那么 ac2 be2 ； (2) 如果 ac2 be2，那么 a b. 【答案】(1)x； (2)V. 類型二、一元一次不等式 3. (2015?巴中)解不等式： w二1,并把解集表示在數(shù)軸上. 3 4 【思路點撥】 先去分母，再去括號，移項、合并同類項，把x的系數(shù)化為1即可. 【答案

10、與解析】 解：去分母得，4 (2X- 1 )2. 在數(shù)軸上表示為： -2 -1 0_1 234. 【總結(jié)升華】本題考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步驟是解答此 題的關(guān)鍵. 舉一反三： 5x _1 【變式】解不等式x 1，并把解集在數(shù)軸上表示出來. 3 【答案】 解：去分母得 5x-1-3x 3, 移項、合并同類項，得 2x 4, 系數(shù)化為1，得x2, 解集在數(shù)軸上的表示如圖所示. .某種商品進價為150元，出售時標價為 225元，由于銷售情況不好，商店準備降價 出售，但要保證利潤不低于10%那么商店最多降價多少元出售商品？ 【思路點撥】利潤=售價進價，售價=進價+利潤=進價

11、X(1+利潤率) 【答案與解析】 解：設商店降價 x元出售該商品，貝y 225_x 150 (1 10%), 解得x - 3, 解不等式，得：xw 2, 不等式組的解集為：-3 v xw 2, 在數(shù)軸上表示不等式組的解集為： 611114- -32-10123 【總結(jié)升華】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知 “同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵. 舉一反三： -3(x-2) _4-x 【變式1】求不等式組*2x_5的整數(shù)解. X_1 L 3 【答案】 解：解不等式-3(x-2) 4-x，得xw 1 , 2x 5 解不等式

12、么衛(wèi)：:：X -1，得x -2 , 3 所以該不等式組的解集為：-2 v xw 1, 所以該不等式組的整數(shù)解是 -1, 0, 1. (1 x 10 【變式2】(2015?南昌)不等式組* 2的解集是 -3x9 【答案】-3 V x2 . 解: 召-1 0 - 3s 9 由得：x 3, 則不等式組的解集為-3V xP .解得 解：(1 )直線 y=kx+b 經(jīng)過點(一2, 0), (0, 2). t = 1, b = 2f (2) y = 2x + 2經(jīng)過(0, 2), (1, 0),圖象如圖所示. (3)當y =kx b的函數(shù)值大于y =2x 2的函數(shù)值時，也就是 x -2x 2，解 得x 0

13、, ?即x的取值范圍為x 0. 【總結(jié)升華】函數(shù)圖象在上方函數(shù)值比函數(shù)圖象在下方函數(shù)值大 類型五、綜合應用 仇若關(guān)于x,y的方程組 3x 2k的解滿足x 1，求k的整數(shù)值. 2y-x=3y 1 【思路點撥】 從概念出發(fā)，解出方程組(用k表示x、y),然后解不等式組 【答案與解析】 解：解方程組3x 2k _x +2y = 3 4k -3 7 2k 9 7 4k -3, x i7 1 y:12k+9 , -7 5 解得：T ： k ： 2 整數(shù)k的值為0, 1, 2. 【總結(jié)升華】 方程組的未知數(shù)是 x、y, k在方程組里看成常數(shù).通過求解方程組可以用 k表 示x、y.方程組的解滿足不等式，那么

14、可以將 x、y用含k的式子替換，得到關(guān)于 k的不等 式組，可以求出k的取值范圍，進而可以求出 k的整數(shù)值. 舉一反三： 【變式】m為何值時，關(guān)于x的方程：-6的解大于1 ? 63 【答案】 x 6m-15m-13m-1 解：由x，得x = 6325 3m -1” ,口 1，解得m 2 . 5 當 m 2 時，關(guān)于 x的方程： -_ 二X- 1 的解大于 1. 632 8.某學校組織八年級學生參加社會實踐活動，若單獨租用35座客車若干輛，則剛好坐 滿；若單獨租用 55座客車，則可以少租一輛，且余45個空座位. （1）求該校八年級學生參加社會實踐活動的人數(shù)； （2）已知35座客車的租金為每輛 32

15、0元，55座客車的租金為每輛 400元.根據(jù)租車 資金不超過1500元的預算，學校決定同時租用這兩種客車共 4輛（可以坐不滿）請你計算 本次社會實踐活動所需車輛的租金. 【思路點撥】（1）設單獨租用35座客車需x輛根據(jù)單獨租用 35座客車若干輛，則剛好坐 滿和單獨租用55座客車，則可以少租一輛，且余 45個空座位，分別表示出總?cè)藬?shù)，從而列 方程求解；（2）設租35座客車y輛，則租55座客車（4-y ）輛根據(jù)不等關(guān)系：兩種車 坐的總?cè)藬?shù)不小于 175人；租車資金不超過 1500元.列不等式組分析求解. 【答案與解析】 解：（1）設單獨租用35座客車需x輛，由題意得： 35x =55（x -1）-45 , 解得：x=5. 35x =35 5 =175 （人） 答：該校八年級參加社會實踐活動的人數(shù)為175人. （2）設租35座客車y輛，