【教育資料】圓的方程;空間兩點的距離公式學(xué)習(xí)精品

1、教育資源 圓的方程；空間兩點的距離公式 一 . 本周教學(xué)內(nèi)容：圓的方程，空間兩點的距離公 式 教學(xué)目的： 1. 理解并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會根據(jù)不同條件求得 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中熟練求出它的圓心和半 徑; 能夠運用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決一些簡單的實際問題 ; 探索 并掌握圓的一般方程，會用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一 般方程。 2. 能夠根據(jù)給定直線、圓的方程，會用代數(shù)方法討 論直線與圓的三種位置關(guān)系 ; 能夠根據(jù)給定的圓的方程，判 斷圓與圓的位置關(guān)系。 3. 掌握空間直角坐標(biāo)系的有關(guān)概念，會根據(jù)坐標(biāo)找 相應(yīng)的點，會寫一些簡單幾何題的有關(guān)坐標(biāo) ; 掌握空間兩點 的距離公式，會應(yīng)用距離公式解

2、決有關(guān)問題。 二 . 重點、難點 重點： 1. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及會根據(jù)不同條件求得圓的標(biāo)準(zhǔn) 方程; 圓的一般方程和如何由圓的一般方程求圓的圓心坐標(biāo) 和半徑長，理解關(guān)于二元二次方程表示圓的條件。 2. 直線和圓的位置關(guān)系的判斷和應(yīng)用 ; 兩圓位置關(guān) 系的判斷。 3. 空間直角坐標(biāo)系和點在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo) 空間兩點距離公式。 難點： 1. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的探尋過程和對圓的一般方程的認(rèn) 識。 2. 通過圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系判斷直 線與圓的位置關(guān)系 ; 通過兩圓方程聯(lián)立方程組的解來研究兩 圓位置關(guān)系。 3. 確定點在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo) ; 空間距離公 式的推導(dǎo)。 知識分析： （ 一

3、 ） 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1. 圓的定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點 的軌跡叫做圓。定點叫圓的圓心，定長叫做圓的半徑。 2. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：已知圓心為 （a ，b） ，半徑為 r ， 則圓的方程為 ; 若點 M（x1，y1） 在圓內(nèi)，則點到圓心的距離小于圓的 半徑，即 （ 二 ） 圓的一般方程 任何一個圓的方程都可以寫成下面的形式： 當(dāng)）為圓心，以時，方程只有實數(shù)解）; 當(dāng) 時，方程表示一個圓，方程叫做圓的一般方 程。 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點在于它明確地指出了圓心和半 徑，而一般方程突出了方程形式上的特點： (1) 0 和 1 的系數(shù)相同，且不 等于 0; (2) 沒有 xy 這樣的二次項。 以上

4、兩點是二元二次方程 ; (2) 過圓 ; (3) 過圓 3. 直線與圓的位置關(guān)系中的三個基本問題 (1) 判定位置關(guān)系。方法是比較 d 與 r 的大小。 (2) 求切線方程。若已知切點 M(x0，y0) ，則切線方 程為 若已知切線上一點 N(x0，y0) ，則可設(shè)切線方程為 ( 四 ) 圓與圓的位置關(guān)系 1. 圓與圓的位置關(guān)系問題 判定兩圓的位置關(guān)系的方法有二：第一種是代數(shù)法， 研究兩圓的方程所組成的方程組的解的個數(shù) ; 第二種是研究 兩圓的圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系。第一種方法因涉及兩 個二元二次方程組成的方程組，其解法一般較繁瑣，故使用 較少，通常使用第二種方法，具體如下： 圓 的位置關(guān)

5、系，其中 當(dāng) 時，兩圓外離 ; 當(dāng) 時，兩圓外切 ; 當(dāng) 時，兩圓相交 ; 當(dāng) 時，兩圓內(nèi)含 注意： 兩圓的位置關(guān)系可表示在一條數(shù)軸上， 如圖所 示： 兩圓位置關(guān)系的問題同直線與圓的位置關(guān)系的問題 一樣，一般要轉(zhuǎn)化為距離間題來解決。另外，我們在解決有 關(guān)圓的問題時，應(yīng)特別注意，圓的平面幾何性質(zhì)的應(yīng)用。 2. 兩圓相交問題 (1) 過兩已知圓 即 ，表示過兩圓的交點的直線 ( 當(dāng)兩圓是同心圓時， 此直線不存在 ) ，當(dāng)兩圓相交時，此直線為公共弦所在直線 ; 當(dāng)兩圓相切時，此直線為兩圓的公切線 ; 當(dāng)兩圓相離時，此 直線為與兩圓連心線垂直的直線。 (2) 過直線與圓交點的圓系方程 設(shè)直線 相交，則

6、方程 l 與圓 C 的兩個交點的圓系方 程。 ( 五 ) 空間直角坐標(biāo)系 1. 空間直角坐標(biāo)系 為了確定空間點的位置，我們在空間中取一點 0作原 點，過0點作三條兩兩垂直的數(shù)軸，通常用 x、y、z表示. 軸的方向通常這樣選擇：從 z 軸的正方向看， x 軸的正半軸 沿逆時針方向轉(zhuǎn) 90 能與 y 軸的正半軸重合。這時，我 們在空間建立了一個直角坐標(biāo)系O-xyz 。在這個過程中，三 條坐標(biāo)軸兩兩垂直是建立空間直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)。 2. 點 P 的坐標(biāo) 過點 P 作一個平面平行于平面 yOz（ 這樣構(gòu)造的平面 同樣垂直于x軸）,這個平面與x軸的交點記為P,它在x軸 上的坐標(biāo)為X,這個數(shù)x就叫做點P的

7、x坐標(biāo)。你能試述點 P 的 y 坐標(biāo)，點 P 的 z 坐標(biāo)嗎 ? 3. 坐標(biāo)平面 每兩條坐標(biāo)軸分別確定的平面 yOz、xOz、xOy叫做坐 標(biāo)平面。 4. 特殊點的坐標(biāo)形式 xOy 平面是坐標(biāo)形如 (x ， y， 0) 的點構(gòu)成的點集， 其 丿、 中 x、 y 為任意實數(shù) ; xOz 平面是坐標(biāo)形如 (x ， 0， z) 的點構(gòu)成的點集， 其 丿、 中 x、 z 為任意實數(shù) ; yOz 平面是坐標(biāo)形如 (0 ， y， z) 的點構(gòu)成的點集， 其 丿、 中 y、 z 為任意實數(shù) ; x 軸是坐標(biāo)形如 （x ， 0， 0） 的點 構(gòu)成的點集，其中 x 為任意實數(shù) ; y 軸是坐標(biāo)形如 （0 ， y

8、， 0） 的點構(gòu)成的點集，其中 y 為任意實數(shù) ; z 軸是坐標(biāo)形如 （0 ，0， z） 的點構(gòu)成的點集，其中 z 為任意實數(shù)。 5. 卦限 三個坐標(biāo)平面把空間分為八部分， 每一部分稱為一個 卦限。 在坐標(biāo)平面 xOy 上方分別對應(yīng)該坐標(biāo)平面上四個象 限的卦限稱為第I、第H、第川、第W卦限；在下方的卦限 稱為第V、第W,第、第忸卦限。在每個卦限內(nèi)點的坐標(biāo) 各分量的符號是不變的。例如在第I卦限，三個坐標(biāo)分量x、 y、z都為正數(shù)；在第H卦限，x為負(fù)數(shù)，y、z均為正數(shù)。 （ 六 ） 空間兩點的距離公式 空間兩點 A（x1， y1， z1） ， B（x2， y2， z2） 的距離公 式是 特別的，點

9、A（x ， y， z） 到原點的距離為 【典型例題】 例 1. 求滿足下列條件的各圓的方程： （1）圓心在原點，半徑是 3； （2）圓心在點 C（3， 4） ，半徑是 ； （3） 因為圓與坐標(biāo)軸相切，故圓心滿足 ， 又圓心在直線 ， 解方程組 ，得： 所以圓心坐標(biāo)為 （4 ， 4） ，或（1 ， -1） 于是可得半徑 或 。 （5） 設(shè)圓心為 （a,-2a） 由題意，圓與直線 解得： a=1 所以所求圓的圓心為 （1 ，-2） ，半徑為 故圓的方程為 ，則 解得 法二：因為圓過 A（5，2），B（3，-2） 兩點，所以圓心 一定在線段 AB的垂直平分線上，線段 AB的垂直平分線方程 為 解得

10、所求圓的方程為 又圓 C 與 y 軸相切得 又圓心在直線 上， 圓心 C（a， b） 到直線 聯(lián)立解方程組可得 或 將 A（2， -2） ， B（5， 3） ， C（3， -1） 三點的坐標(biāo)代入圓 的方程 得 點評：一般來說， 由題意知道所求的圓經(jīng)過幾點且不 易得知圓心換半徑時，常用一般式。 例 5. 已知圓 由 消去 y ，得 即 (1) 令 當(dāng) 或 ，即 時，直線與圓相交 (3) 令 或 或 ，即 ， 或 時，即 即 ，即 即 時直線與圓相離 點評： 解決直線與圓的位置關(guān)系， 幾何法比代數(shù)法簡 單。 例 6. 已知直線 ，曲線 ，它們有兩個公共點，求 b 的取值范圍。 解析：法一，曲線 C

11、中，I和C有兩個公共點，等價 于方程組 有兩組不同解，又等價于 ，有兩組不同解，消去 x 得 I 有兩個公共點，等價方程有兩個不等非負(fù)實數(shù)解 于是 解得 表示單位圓位于 x 軸及其上方的半圓，如圖所 示。當(dāng)I與C有兩交點，此時b=1，記為 與半圓相切時，切 線記為 ; 當(dāng) 與 之間時， 。 ， 解析：法一 解方程組 得交點坐標(biāo)分別為 (0 ， 2)(-4 ， 0) 設(shè)所求圓心坐標(biāo)為 （a ，-a） 則 解得 法二：同法一，得兩已知圓的交點的坐標(biāo)為（0 ，2） ， （-4 ， 0） 設(shè)所求的圓的方程為 解得 法三，設(shè)所求圓的方程為 因為這個圓的圓心在直線 上 所以 圓的方程為 1、點 （2 ，

12、0， 3）在空間直角坐標(biāo)系中的 位置是在 （ ） A. y 軸上 B. xOy 平面上 C. xOz 平面上 D. 第一卦 限內(nèi) 2、點 M（2，-3 ， 1）關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點是 （ ） A. （-2 ，3，-1） B. （-2， -3 ， -1） C. （2 ，-3 ， -1） D. （-2，3，1） 3、設(shè)點B是點A（2 , -3 , 5）關(guān)于xOy面的對稱點， 則|AB|等于（） A. 10 B. D. 38 4、設(shè)有圓 M： ，點 P（2， 1），那么（ ） A.點P在直線I上，但在圓M上 C.點P在直線I上，也不在圓 M上 5、設(shè)M是圓 上的點，貝U M到直線 的最小距離是（）

13、A. 9 B. 8 C. 5 D. 2 6、方程 A. C. 7、過點 P（3， 0） 能有多少條直線與圓 A. 0 條 B. 1 條 C. 2 條 D. 1 條或 2 條 8、直線 被圓 A. B. 2 C. D. 9、直線 所截得線段的中點坐標(biāo)是 （ ） A. D. 10 、若圓 關(guān)于直線 對稱，那么直線 的方程 是（ ） A. B. C. D. 11、與兩坐標(biāo)軸都相切，且過點 （2 ， 1） 的圓的方程是 12、過點 （0 ， 0） ， （1 ， 0） ， （0 ， 2） 的圓的方程是 13、若實數(shù) x ， y 滿足 ，貝 ，貝 的最大值為 15、一圓過點 P（-4 ， 3） ，圓心在直線 相切，且和直 線 ，求該圓的方程。 【試題答案】 1 10: C A A A D D A C A D 11、 13、 14、 ， 依題意，得： 解得： 所以所求圓的方程為 16 、設(shè)此圓的方程為 ， 解得： 所以所求圓的方程是