時間序列模型ARMA模型及ARCH模型(2008.11)

1、文檔收集于互聯(lián)網(wǎng)，已重新整理排版word版本可編輯，有幫助歡迎下載支持.時間序列模型時間序列分析是現(xiàn)代計量經(jīng)濟學(xué)的重要內(nèi)容，是研究經(jīng)濟變量的動態(tài)特征和周期特征及其相關(guān)關(guān)系的重要工具，被廣泛應(yīng)用經(jīng)濟分析 和預(yù)測中。時間序列按其平穩(wěn)性與否又分為平穩(wěn)時間序列和非平穩(wěn)時 間序列。1ARMA與ARCH模型2. 協(xié)整與誤差修正模型3. 向量自回歸模型1文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理word版本可編輯.文檔收集于互聯(lián)網(wǎng)，已重新整理排版word版本可編輯，有幫助歡迎下載支持.第五講 ARMA與ARCH模型本講中將討論時間序列的平穩(wěn)性(stationary)概念及自回歸模型 (Autoregressive mode

2、ls)、移動平均模型(Moving average models)、 自回歸移動平均模型(Autoregressive moving average models) 自 回歸條件異方差模型(Autoregressivec conditional Heteroscedasticity models)的識別、估計、檢驗、應(yīng)用。一、時間序列的平穩(wěn)性(-)平穩(wěn)時間序列所謂時間序列的平穩(wěn)性，是指時間序列的統(tǒng)計規(guī)律不會隨著時間的推移而發(fā)生變化。嚴格地講，如果一個隨機時間序列兒，對于任何時間，都滿足下列條件：I）均值二叫II）方差|巾心）=E（幵-“）2=刊,是與時間r無關(guān)的常數(shù)；III）自協(xié)方差Covy,

3、 yt_k） = E （; - /）（山-“） = %,是只與時期間隔k有關(guān),與 時間f無關(guān)的常數(shù)。則稱該隨機時間序列是平穩(wěn)的。生成該序列的隨機過程是平穩(wěn)過程。例5.1. 一個最簡單的隨機時間序列是一具有零均值同方差的獨立分布序列：y t = 816d（0&）該序列常被稱為是一個白噪聲（white noise）。文檔收集于互聯(lián)網(wǎng)，已重新整理排版word版本可編輯，有幫助歡迎下載支持.由于兒具有相同的均值與方差，且協(xié)方差為零，滿足平穩(wěn)性條件，是平穩(wěn)的。例 5.2.另一個簡單的隨機時間列序被稱為隨機游走(random walk)：y嚴兒一 1+66加(0q2),是一個白噪聲。容易判斷該序列有相同的

4、均值：E(yl) = E(y,_l)f但是方差Vur(yz) = rcr2,即兒 的方差與時間t有關(guān)而非常數(shù)，它是一非平穩(wěn)序列。然而，對兒取一階差分： y嚴兒-則序列是平穩(wěn)的。后面將會看到：如果一個時間序列是非平 穩(wěn)的，它常?？赏ㄟ^取差分的方法而形成平穩(wěn)序列。(二)平穩(wěn)時間序列的自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)時間序列兒的自相關(guān)函數(shù)(autocorrelation function, ACF)定義如下：文檔收集于互聯(lián)網(wǎng)，已重新整理排版word版本可編輯，有幫助歡迎下載支持. 平穩(wěn)時間序列的一個重要特征是它的自相關(guān)函數(shù)隨著&的增加而成指數(shù)型衰 減。一個時間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)定義為：偏自相關(guān)函數(shù)(par

5、tial autocorrelation function, PACF )則是消除了中間變 量兒宀2,j帶來的間接相關(guān)后兒與兒間的直接相關(guān)性,它是在給定 兒_1.兒_2兒-K+I的條件下，兒與兒“間條件相關(guān)關(guān)系的度量。二、單變量平穩(wěn)時間序列模型：ARMA模型單變量時間序列模型是通過直接或間接地運用變量自身過去的信息和以 往的擾動項，尋找其自身的變化規(guī)律。文檔收集于互聯(lián)網(wǎng)，已重新整理排版word版本可編輯，有幫助歡迎下載支持.ARMA模型是一類常用的單變量平穩(wěn)時間序列模型,它是由博克斯(Box) 和詹金斯(Jenkins)創(chuàng)立的，亦稱BJ方法。ARMA模型有三種基本類型：自回歸(AR)模型，移動

6、平均(MA)模型，自回 歸移動平均(ARMA)模型。(一)AR模型1. AR模型的定義如果時間序列可以表示為它的前期值和隨機擾動項知的線性函數(shù)：兒:=c + 0i兒_1+0兒辺 +十 0“兒-“+6 廠 nW(0,cr/)(5.1)則稱該序列兒是自回歸序列，(5.1)式為P階自回歸模型，簡記為AR (p)o1文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理word版本可編借.文檔收集于互聯(lián)網(wǎng)，已重新整理排版word版本可編輯，有幫助歡迎下載支持.引入滯后算子，記廠為*步滯后算子，即 X = m模型（5.1）可表示為：X =c + 0i厶幾+0芒兒+0廣兒+6即（1 0厶一0Z?+ 6 令（厶）二1 0上02厶20昇

7、，模型可簡寫為：（厶）必=C + 62. AR （P）模型的平穩(wěn)性條件（厶）二1 0上如C2皿=0為滯后算子多項式方程。1文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理word版本可編借.文檔收集于互聯(lián)網(wǎng)，已重新整理排版word版本可編輯，有幫助歡迎下載支持.AR()模型平穩(wěn)的條件是：該方程的根在單位圓外，即(厶)=0的根大于1。 對自回模型AR(p)來說，多數(shù)情況下沒有必要直接計算其特征方程的特征根， 但有一些有用的規(guī)則可用來檢驗自回歸模型的平穩(wěn)性：1)AR(p)模型穩(wěn)定的必要條件是2)由于0(21,2,刃可正可負，AR(p)模型平穩(wěn)的充分條件是：3. AR模型的識別判斷一個隨機時間序列是否為AR (/,)序列

8、，所使用的工具主要是時間序 列的自相關(guān)函數(shù)(ACF)及偏自相關(guān)函數(shù)(PACF )o若序列兒的偏自相關(guān)函數(shù)Qk在P以后截尾，即2p時，P廠,而且 它的自相關(guān)函數(shù)E是拖尾的，可以認定此療:列是自回歸AR(p)療:歹ij。以一階自相關(guān)模型AR (1)的自相關(guān)函數(shù)為例：由于AR (1)的&階滯后自協(xié)方差因此，AR (1)模型的自相關(guān)函數(shù)為P嚴專 7k=L,2,文檔收集于互聯(lián)網(wǎng)，已重新整理排版word版本可編輯，有幫助歡迎下載支持. 由AR (1)的穩(wěn)定性知|0|Y1,鳥趨于無窮大時，呈指數(shù)型衰減至0,這 種現(xiàn)彖稱為拖尾?？梢宰C明，當kAp時，樣本偏自相關(guān)函數(shù)服從如下漸近正態(tài)分布： rkk N(0,l/

9、n)2因此，如果計算的加滿足腫我們就有95.45%的概率保證程度斷定久在 kA P之后截尾。(二)MA模型1MA模型的定義文檔收集于互聯(lián)網(wǎng)，已重新整理排版word版本可編輯，有幫助歡迎下載支持.如果時間序列兒是它的當期和前期隨機誤差項的線性函數(shù)，即可表示為： 兒仝 + 勺+&/_+&2_2+ + 0/$r8 廠d（0，b/）（5.2）則稱該序列兒是移動平均序列，（5.2）式為q階移動平均模型，簡記為MA（）o 若使用滯后算子，則（5.2）式可以簡寫為易見，有限階移動平均過程無條件平穩(wěn)。2. MA模型的町逆性觀察MA模型：必c = （l + &上+&2芒+0卍比若多項式方程e（D = 0的根全部

10、落在單位圓外，則稱序列兒可逆。&（D的逆記作&（厶尸，則&（厶廠（X c）= 6。文檔收集于互聯(lián)網(wǎng)，已重新整理排版word版本可編輯，有幫助歡迎下載支持. 比較(Dy =c + 6,可以證明，若MA (g)算子可逆，MA (g)模型可寫成AR(-)的形式； 同理，若AR(P)模型滿足平穩(wěn)性條件，AR(P)模型可表示為MA(-)O3MA模型的識別若序列兒的自相關(guān)函數(shù)久在今以后截尾，即kq時，A=0,而它的偏 自相關(guān)函數(shù)Qu是拖尾的，可以認定此序列是移動平均MA (q)序列。對 MA(1)過程yt -c + t+ 0st_x很容易計算出它的自協(xié)方差函數(shù)： = E(X)= b(l +滬)/j0于是得

11、到自相關(guān)函數(shù)：口=；=市pn=o文檔收集于互聯(lián)網(wǎng)，已重新整理排版word版本可編輯，有幫助歡迎下載支持.可見，當1時，Q嚴0,即兒與九不相關(guān)，MA(1)自相關(guān)函數(shù)是截尾的。同理，可以驗證MA (q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾但趨于0的。(三)ARMA模型1. ARMA模型的定義若時間序列兒是它的當期和前期隨機誤差項以及前期值的線性函數(shù)，即為 兒=。+ 0兒_+。2 兒一:+ + 蚣兒一“+ +&161 +&22+&圧一9(5.3)則稱該序列兒是自回歸移動平均序列，(5.3)式為(p,q)階的自回歸移動平均 模型，簡記為ARMA(p,g)。顯然，AR(p)模型與MA模型都是ARMA(陽) 模型的特

12、殊情況。若使用滯后算子，則(5.3)式可以簡記為文檔收集于互聯(lián)網(wǎng)，已重新整理排版word版本可編輯，有幫助歡迎下載支持.ARMAgq）模型的平穩(wěn)性取決于AR（p）部分的平穩(wěn)性。2. ARMA模型的識別ARMAg）的自相關(guān)函數(shù)，可以看作MA的自相關(guān)函數(shù)和AR（p）的自相 關(guān)函數(shù)的混合物。當時，它具有截尾性質(zhì)；當q=0時，它具有拖尾性質(zhì)； 當P、都不為0時，它具有拖尾性質(zhì)。一般地，如果序列的ACF和PACF均是拖尾，則可斷定該序列是ARMA（pg） 過程。通常，ARMA（P，q）過程的偏自相關(guān)函數(shù)可能在階滯后前有幾項明顯的 尖柱，但從卩階滯后項開始逐漸趨向于零；而它的自相關(guān)函數(shù)則是在纟階滯 文檔收

13、集于互聯(lián)網(wǎng)，已重新整理排版word版本可編輯，有幫助歡迎下載支持. 后前有幾項明顯的尖柱，從階滯后項開始逐漸趨向于零。識別是通常以較低的階數(shù)進行分析，然后逐個增加階數(shù)進行嘗試。3. ARMA模型階數(shù)（p,g）的選擇標準常用的模型選擇的判別標準有：赤池信息準則（AIC）與施瓦茲貝葉斯信 息準則（SBC）。在選擇可能的模型時，AIC與SBC越小越好。上面的討論均是在假定序列滿足平穩(wěn)性的情形下進行的。一個非平穩(wěn)的隨 機時間序列通?？梢酝ㄟ^差分的方法將它變換為平穩(wěn)的，進而尋找對應(yīng)的平穩(wěn) 模型。文檔收集于互聯(lián)網(wǎng)，已重新整理排版word版本可編輯，有幫助歡迎下載支持.若將一個非平穩(wěn)序列通過次差分，變?yōu)槠椒€(wěn)

14、序列，然后用一個平穩(wěn)的ARMA模型去擬合，稱該模型是一個自回歸單整移動平均模型(Autoregressive integrated moving average models),記為 ARIMA(p,d,g)。(四)模型的應(yīng)用下面我們通過例子探討如何利用樣本數(shù)據(jù)建立時間序列模型，并對現(xiàn)彖進 行分析和預(yù)測。例51.對我國支出法國內(nèi)生產(chǎn)總值X建立ARMA模型并預(yù)測2008的支出法國內(nèi)生產(chǎn)總值。1文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理word版本可編借.文檔收集于互聯(lián)網(wǎng)，已重新整理排版.word版本可編輯，有幫助歡迎下載支持. 支出法國內(nèi)生產(chǎn)總值X認為是非平穩(wěn)的，但其對數(shù)一階差分序列是平穩(wěn)的。 因此，可以對對數(shù)

15、一階差分序列建立ARMA(pg)模型。Eviews中的模型參數(shù)估計采用非線性方法，由此得到的ARMA模型為：1文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯文檔收集于互聯(lián)網(wǎng)，已重新整理排版word版本可編輯，有幫助歡迎下載支持.三、自回歸條件異方差模型ARCH (Autoregressivec cond iti onal Het eroscedas ti city models)模型首先是由恩格爾(Engle.R)于1982年提出的，并由保羅 斯拉夫(Bollerslev.T)在 1986 年發(fā)展成為 GARCH 模型(Genemlized ARCH模型)。用以建立隨機變量的條件方差或變量波動

16、性模型。它反映了隨機過程的一種特殊特性：即方差隨時間變化而變化， 且具有叢集性、波動性。ARCH模型已廣泛地應(yīng)用于金融領(lǐng)域的建模 及研究過程中。1文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理word版本可編借.文檔收集于互聯(lián)網(wǎng)，已重新整理排版word版本可編輯，有幫助歡迎下載支持.(一)自回歸條件異方差模型(ARCH)對于一般的回歸模型如果隨機擾動項的平方力服從AR()過程，即2 2 2町=兔+少舛_ +=,+(5.4)其中，6是相互獨立的白躁聲序列，并且廠N(o,人2),則稱模型(5.4)是 自回歸條件異方差模型，簡記為ARCH模型。記作ARCH ( P )oARCH模型通常用于對主體模型的隨機擾動項進行建模

17、，把當期隨機擾動 項的方差設(shè)定為以前各期誤差項平方的線性函數(shù)，以便更充分地提取殘差中的 信息，使最終的模型殘差項為白噪聲。文檔收集于互聯(lián)網(wǎng)，已重新整理排版word版本可編輯，有幫助歡迎下載支持. 判斷模型殘差序列是否存在P階的ARCH過程，通常是對于殘差項進行 拉格朗日乘數(shù)檢驗(ARCHLMTest, Engle 1982)對殘差平方勺(弓二兒-再0)進行輔助回歸：檢驗統(tǒng)計量：F統(tǒng)計量和Obs*R-squared統(tǒng)計量在不存在ARCH效應(yīng)的零假設(shè)成立的前提下丄M具有漸近的Z2(P)分布。 給定顯著性水平如果LMz|(P)JiJ拒絕零假設(shè)，說明模型殘差序列 存在ARCH過程。(二)廣義自回歸條件

18、異方差模型(GARCH)如果用ARCH模型描述某些時間序列，階數(shù)P需要取一個很大的值時，通 文檔收集于互聯(lián)網(wǎng)，已重新整理排版word版本可編輯，有幫助歡迎下載支持. 常采用廣義自回歸條件異方差模型。若比的條件方差6被寫成0 = % +酬二+ + &屛卩+ 0%則稱序列坷服從GARCH 5q）過程。實際應(yīng)用中,GARCH模型的階數(shù)P遠比ARCH模型的階數(shù)P要小,GARCH （1, 1）模型是被廣泛應(yīng)用的模型，它具有如下形式可以證明GARCH（1, 1）模型等價于一個系數(shù)呈幾何遞減的無限階ARCH 模型，同時，它也蘊涵著當前波動的震蕩作用隨時間遞減的規(guī)律。（三）其他ARCH類型模型1. ARCHM

19、 模型1文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理word版本可編借.金融理論中經(jīng)常認為風(fēng)險較大的資產(chǎn)可以提供較高的平均收益，這在金融 市場實際的運作中基本可以得到驗證。從金融計量經(jīng)濟建模的角度來看，如果 具有集群性的序列其條件方差是風(fēng)險的一個合適的度量的話，它就應(yīng)該進入兒 的條件期望中。這是由Engle Lilien和Roberts三人在1987年發(fā)現(xiàn)、發(fā)展并 創(chuàng)造的所謂進入均值的ARCH模型(ARCH-in-mean),又成為ARCHM模型， 其形式為y =xtf3 + Sht+ut這里，也為的條件方差。如果勺的結(jié)構(gòu)同ARCH模型，則稱乞服從 ARCHM ( p )過程；如果比的結(jié)構(gòu)與同GARCH形式，則

20、稱坷服從GARCH M(PM)過程。參數(shù)5捕捉到了在誤差項中較強烈的可感噪聲震蕩對兒1文檔來源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理word版本可編借.文檔收集于互聯(lián)網(wǎng)，已重新整理排版word版本可編輯，有幫助歡迎下載支持. 均值的影響作用。假如模型旨在解釋一項金融資產(chǎn)（如股票或債券）的回報率，那么增加九的 原因是每個投資者都期望資產(chǎn)回報率是與風(fēng)險度緊密聯(lián)系的，而條件方差丸代 表了期望風(fēng)險的大小。Campbelk Lo和Macjinlay在1997年曾經(jīng)討論過ARCHM模型與資本資 產(chǎn)定價模型（CAPM）之間的聯(lián)系。2. TARCH 模型對于股票市場的研究發(fā)現(xiàn)，即使股價下跌和上漲的幅度相同時，股價下跌過程 往往會伴隨著更劇烈的波動性。為解釋這種不對稱效果，Zakoian于1990年提出TARCH（ThresholdTARCH）模型。它具有如下形式的條件方差其中d,是