第七章第四講夾角和距離資料

1、第四講：夾角和距離課程目標(biāo)1、理解夾角和距離的有關(guān)概念、2、靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)求空間夾角和距離課程重點(diǎn)空間夾角和距離課程難點(diǎn)空間夾角和距離教學(xué)方法建議通過經(jīng)典考題知識(shí)點(diǎn)細(xì)致梳理，對(duì)“夾角和距離”部分出現(xiàn)高考題型和方法精講 精練，對(duì)不冋層次學(xué)生可以分層教學(xué)，一對(duì)一可以就學(xué)生的層次有針對(duì)性的選擇 例題講解。層次較好的學(xué)員可以全部講解。選材程度及數(shù)量課堂精講例題搭配課堂訓(xùn)練題課后作業(yè)A類(1 )道(1) 道(6 )道B類(4 )道(3)道(4 )道C類(1 )道(1 )道(1 )道一：考綱解讀、有的放矢高考中立體幾何主要考查學(xué)生的空間想象能力，在推理中兼顧考查邏輯思維能力，解決立體幾何的基本方法是將空

2、間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。近幾年高考立體幾何試題以基礎(chǔ)題和中檔題為主，熱點(diǎn)問題主要有證明點(diǎn)線面的關(guān)系，如點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、線共面問題；證明空 間線面平行、垂直關(guān)系； 求空間的角和距離； 利用空間向量，將空間中的性質(zhì)及位置關(guān)系的 判定與向量運(yùn)算相結(jié)合，使幾何問題代數(shù)化等等?？疾榈闹攸c(diǎn)是點(diǎn)線面的位置關(guān)系及空間距 離和空間角，突出空間想象能力，側(cè)重于空間線面位置關(guān)系的定性與定量考查，算中有證。其中選擇、填空題注重幾何符號(hào)語言、文字語言、 圖形語言三種語言的相互轉(zhuǎn)化， 考查學(xué)生 對(duì)圖形的識(shí)別、理解和加工能力；解答題則一般將線面集中于一個(gè)幾何體中， 即以一個(gè)多面 體為依托，設(shè)置幾個(gè)小問，設(shè)問形式以證明或計(jì)算為

3、主。二：核心梳理、茅塞頓開（1 ）空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸（對(duì)應(yīng)為橫坐標(biāo)），y軸是縱軸（對(duì)應(yīng)為縱軸），z軸是豎軸（對(duì)應(yīng)為豎坐標(biāo)）.令 a=(ai,a2,a3),b =(b!,b2,b3)，則a - b =(a! ,a2 _b2,a3 _b3)Ha =( a2, ，a3)G 二 R)a b =a! b-a2b-a3b3a bua a2b2 a3b0|(aa 1a 2a 3a / b ：= ai = bl ,a2 = b2 ,a3 = b3 R):bib2b3a = ：. a a = a1 2 a2 2 a3 2 （用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化:- a baibi a2b2

4、a3b3cos ：a,b ，記作a I ，如果a.：丄那|a 1 ,|bl、；ai2 +a2 +a# Jbi2 +b2 +b(空間兩點(diǎn)的距離公式：d 二(X2 Xi)2 (y2 yi)2 (Z2 Zi)2 .（2）法向量：若向量a所在直線垂直于平面：，則稱這個(gè)向量垂直于平面么向量a叫做平面爲(wèi)的法向量.（3）用向量的常用方法： 利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理： 如圖，設(shè)n是平面：.的法向量，AB是平面：.的一條射線，其中 A :，則點(diǎn)B到平面的距離為|An |.|n| 利用法向量求二面角的平面角定理： 設(shè)ni, n2分別是二面角:中平面:的法向量，則ni, n?所 成的角就是所求二面角的平面角或其

5、補(bǔ)角大小 （ni, “2方向相同，則為補(bǔ)角，ni ,“2反方，則為其夾角）.三：例題詮釋，舉一反三知識(shí)點(diǎn)1:求夾角和距離例題1：（ 2011肇慶模擬A）四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC_底面 ABCD，已知 /ABC =45，AB =2，BC = 2、, 2，SA = SB = . 3 .（I）證明：SA_BC ;（n）求直線SD與平面SBC所成角的大小.A變式：(2011河北質(zhì)檢A)已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB / DC,Q宀十r1.DAB =90 , PA _ 底面 ABCD，且 PA=AD=DC = AB=1 , M 是2PB的中點(diǎn)(I) 證明：

6、面 PAD丄面PCD ;(H)求AC與PB所成的角；(川)求面AMC與面BMC所成二面角的大小B例題2(2011武漢調(diào)研B)如圖，在四棱錐O -ABCD中，底面ABCD四邊長為1的 菱形,jiABC , OA _ 底面 ABCD , OA=2 , M 為 OA的中點(diǎn)。 4(I)求異面直線 AB與MD所成角的大小 ;(H)求點(diǎn)B到平面OCD的距離。C例題3 (2010南昌模擬 B)如圖，四面體ABCD中，0、E分別BD、BC的中點(diǎn)，CA=CB=CD=BD=2(I)求證：A0丄平面BCD ;(H)求異面直線 AB與CD所成角的大??；(川)求點(diǎn)E到平面的距離變式：(C)如圖，正三棱錐O-ABC的三條

7、側(cè)棱 0A、OB、0C兩兩垂直，且長度均為2. E、F分 別是AB、AC的中點(diǎn)，H是EF的中點(diǎn)，過EF的平面與側(cè)棱 0A、OB、0C或其延長3線分別相交于 A1、B1、C1，已知OA2(1) 求證：B1C1丄面OAH ；(2) 求二面角 O-G的大小.OA1、廠、/)C1AEBBi知識(shí)點(diǎn)：探索性問題例題4 (2011云南模擬B )在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱 PA垂直于底 面，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn).(1) 求證：EF/平面PAD ;(2) 當(dāng)平面 PCD與平面ABCD成多大二面角時(shí)， 直線|EF丄平面PCD ?I存在，確定E的位置；若不存在，說明理由變式：(2011

8、青海調(diào)研B)如圖，在三棱錐 A- BCD中，側(cè)面 ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊,且AD = ,3 , BD = CD = 1，另一個(gè)側(cè)面是正三角形 (1)求證：AD BC (2)求二面角B AC- D的大小A(3) 在直線AC上是否存在一點(diǎn) E,使ED與面BCD成30 角？若知識(shí)點(diǎn)3 :折疊、展開問題例題5. (2011海南模擬B)已知正方形 ABCD E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，將L ADE 沿DE折起，如圖所示，記二面角A - DE -C的大小為二(0 ： v :：:二)(1) 證明BF/平面ADEA在平面BCDE內(nèi)的射影G是否在直線EF上，證明(2) 若L ACD

9、為正三角形，試判斷點(diǎn) 你的結(jié)論，并求角 二的余弦值。變式：(2011貴州模擬B)如圖，在直角梯形 PiDCB 中，PiD/ CB, CD 丄PiD , PiD = 6, BC = 3, DC =6 , A 是 PiD的中點(diǎn)，E是線段AB的中點(diǎn)，沿 AB把平面PiAB折起到平面 PAB的位置，使二面角 P CD B 成 45。角.(I)求證：PA丄平面ABCD ; (H)求平面 PEC和平面PAD所成的銳二面角的大小.BC知識(shí)點(diǎn)4、多面體的組合問題例題6 (2011福建模擬 C). PABCD是正四棱錐， ABCD AjBQjDj是正方體，其中AB =2,PA 二 一 6 .(I)求證：PA _

10、呂0 ;(n)求平面PAD與平面BDD1B1所成的銳二面角二的大小;(川)求Bi到平面PAD的距離.CC變式：(2011貴陽模擬C) 如圖4,已知兩個(gè)正四棱錐 P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2, AB=4.(I )證明PQ丄平面ABCD ;(n )求異面直線AQ與PB所成的角;Q圖4(川)求點(diǎn)P到平面QAD的距離.四：方向預(yù)測(cè)、勝利在望1. （ A級(jí)）如圖所示，已知正四棱錐S ABCD側(cè)棱長為.2，底面邊長為.3 , E是SA的中點(diǎn)，則異面直線 BE與SC所成角的大小為（）A . 90 B . 60 C . 45 D . 30 129632. （ B級(jí)）長方體ABCD -A,B1C1

11、D1的8個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，且AB=2 , AD= .3 ,AA =1，則頂點(diǎn)A、B間的球面距離是（）A.、 2 二3. （A 級(jí)）在正方體 ABCD A1B1C1D1中，M為DD1的中點(diǎn),O為底面ABCD的中心,P為棱A1B1上任意一點(diǎn)，則直線 OP與直線AM所成的角是（）TlHHHA.B. C.D.64324. （ A級(jí)）如圖，正方體 ABCD A1B1C1D1的棱長為1, O是底面A1B1C1D1的中心，貝U O到平面AB C1D1的距離為（）a 1 a 、2-2. 3A、B、C、D、24225. （ A級(jí)） ABC的頂點(diǎn)B在平面a內(nèi)，A、C在a的同一側(cè)，AB、BC與a所成的角分別是3

12、0 和45。，若AB=3 , BC= 4 ： 2 , AC=5，則AC與a所成的角為（ C ）A. 60 B. 45C. 30D. 156. （ B級(jí)）矩形ABCD中，AB=4 , BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角 B ACD，則四面體ABCD的外接球的體積為（ C ）125H125B . 一 125125H7 . （ B級(jí)）已知點(diǎn)代B, C, 在同一個(gè)球面上，AB 平面BCD, BC CD,若AB =6, AC =2 .13, AD =8，則B,C兩點(diǎn)間的球面距離是 。& （A級(jí)）正三棱錐的一個(gè)側(cè)面的面積與底面積之比為2 : 3，則這個(gè)三棱錐的側(cè)面和底面所成二面角的度數(shù)為9（ A級(jí)）.空間四點(diǎn) A B、C、D中，每兩點(diǎn)所連線段的長都等于 a,動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上, 動(dòng)點(diǎn)Q在線段CD上,則P與Q的最短距離為 10 （B級(jí)）.如圖在四棱錐 P-ABCD中，底面 ABCD是矩形.已知 AB =3 , AD=2 ,PA =2 , PD =2:2 , Z PAB =60 .（I）證明AD _