信號(hào)與系統(tǒng)-復(fù)習(xí)知識(shí)總結(jié)

1、重難點(diǎn)1信號(hào)的概念與分類 按所具有的時(shí)間特性劃分： 確定信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)；連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào)； 周期信號(hào)和非周期信號(hào)；能量信號(hào)與功率信號(hào)； 因果信號(hào)與反因果信號(hào)； 正弦信號(hào)是最常用的周期信號(hào)，正弦信號(hào)組合后在任一對(duì)頻率(或周期)的比值是有理分?jǐn)?shù)時(shí)才是 周期的。其周期為各個(gè)周期的最小公倍數(shù)。 連續(xù)正弦信號(hào)一定是周期信號(hào)。 兩連續(xù)周期信號(hào)之和不一定是周期信號(hào) 周期信號(hào)是功率信號(hào)。除了具有無(wú)限能量及無(wú)限功率的信號(hào)外，時(shí)限的或 t :，f(t) = 0的非周期信號(hào)是功率信號(hào)。 t, f (t)= 的非周期 信號(hào)就是能量信號(hào)，當(dāng) 1.典型信號(hào) 指數(shù)信號(hào): at f (t) =Ke ，a R 正弦信號(hào): f

2、(t)二 Ksin() 復(fù)指數(shù)信號(hào): f (t)二 Kest， 抽樣信號(hào): Sa(t)嚀 奇異信號(hào) (1) 單位階躍信號(hào) u(t) 一0 (t 0時(shí)，f (t t。)相當(dāng)于f (t)波形在t軸上左移t。； 當(dāng) tl時(shí)，f(at)的波形時(shí)將f(t)的波形在時(shí)間軸上壓縮為原來(lái)的一； a 1 當(dāng)0ai時(shí)，f(at)的波形在時(shí)間軸上擴(kuò)展為原來(lái)的一。 a 微分運(yùn)算：f (t)信號(hào)經(jīng)微分運(yùn)算后會(huì)突出其變化部分。 dt 2.系統(tǒng)的分類 根據(jù)其數(shù)學(xué)模型的差異，可將系統(tǒng)劃分為不同的類型：連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)與離散時(shí)間系統(tǒng)；線性系 統(tǒng)與非線性系統(tǒng)；時(shí)變系統(tǒng)與時(shí)不變系統(tǒng)； 重難點(diǎn)3.系統(tǒng)的特性 (1) 線性性 若同時(shí)滿足疊

3、加性與均勻性，則稱滿足線性性。 當(dāng)激勵(lì)為Cifi(t) C2f2(t)( Ci、C2分別為常數(shù)時(shí))，系統(tǒng)的響應(yīng)為 Ciyi(t) C2y2(t)。 線性系統(tǒng)具有分解特性：y(t) =yzi(t) yzs(t) 零輸入響應(yīng)是初始值的線性函數(shù)，零狀態(tài)響應(yīng)是輸入信號(hào)的線性函數(shù)，但全響應(yīng)既不是輸 入信號(hào)也不是初始值的線性函數(shù)。 (2) 時(shí)不變性：對(duì)于時(shí)不變系統(tǒng)，當(dāng)激勵(lì)為f(t-t0)時(shí)，響應(yīng)為f(t-t0)。 (3) 因果性 線性非時(shí)變系統(tǒng)具有微分特性、積分特性。 重難點(diǎn)4.系統(tǒng)的全響應(yīng)可按三種方式分解： 全響應(yīng)y(t)二零輸入響應(yīng)yzi(t)零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)； 全響應(yīng)y(t)二自由響應(yīng)yh(t

4、) 強(qiáng)迫響應(yīng)yp(t)； 各響應(yīng)分量的關(guān)系: nnn y(t)AkeaktB(t)AzAzskeaB(t) 丿強(qiáng)迫響應(yīng)Z_丁; 3嚴(yán); 自由響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 重難點(diǎn)5.系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)就是解齊次方程，形式由特征根確定，待定系數(shù)由。-初始狀態(tài)確定。 零輸入響應(yīng)必然是自由響應(yīng)的一部分。 重難點(diǎn)6.任意信號(hào)可分解為無(wú)窮多個(gè)沖激函數(shù)的連續(xù)和： qQ f (t)二f ( ) (t 一 )d . J q 那么系統(tǒng)的的零狀態(tài)響應(yīng)為激勵(lì)信號(hào)與單位沖激響應(yīng)的卷積積分，即仏=f (t) “ h(t)。零狀態(tài) 響應(yīng)可分解為自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)兩部分。 重難點(diǎn)7.單位沖激響應(yīng)的求解。沖激響應(yīng)h(t)是沖激信號(hào)作

5、用系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。 重難點(diǎn)8.卷積積分 (1) 定義fi(t)* f2(t)二 亡fi( )f2(t -)d-)f2( )d. (2) 卷積代數(shù) 交換律fi(t)* f2(t)二f2(t)* fi(t) 分配率fi(t)*f2(t) f3(t)二 fi(t)*f2(t)fi(t)*f3(t) 結(jié)合律 fi(t)* f2(t)* f3(t)二 fi(t)*f2(t)* f3(t) 重難點(diǎn)9.卷積的圖解法(求某一時(shí)刻卷積值) fi(t)* f2(t) = .fi( )f2(t )d. GO 卷積過(guò)程可分解為四步： (1) 換兀：t換為 T T得 fi( T ),f2( T ) (2) 反轉(zhuǎn)平移：

6、由 f2( T )反轉(zhuǎn)T f2( -T ) 右移t T f2(t- T ) (3) 乘積：fi( T ) f2(t- T ) (4) 積分：T從 O到8對(duì)乘積項(xiàng)積分。 (3)性質(zhì) 1) f(t)* S (t)= S (t)*f(t)= f(t) f (t)* - (t 一 t) = f (t t。) f (t -* (t - t2)= f (t 7 -t2)( to,ti,t2 為常數(shù)) 2) f(t)* S t) = ft) qQ 3) f(t)*u(t)f (. )u(t -s )d . 3-00 u(t) * u(t) = tu(t) f2(tf1(t)*- d t d dn fi(t)

7、 4) R lfi(t)* f2(t) 了 * dtd t tt 5) fi(J* f2( )d. “ fi( )d * f2(t)二 fi(t)*f2( )d. y j-un.rr 尸曠i 6) fl(t-1)*f2(t-2)=fl (t-1-2)*f2(t) =fl(t)*f2(t-1-2)= f(t-1-2) 7) 兩個(gè)因果信號(hào)的卷積，其積分限是從0到t。 8) 系統(tǒng)全響應(yīng)的求解方法過(guò)程歸納如下： a. 根據(jù)系統(tǒng)建立微分方程； b. 由特征根求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzi(t)； c. 求沖激響應(yīng)h(t)； d. 求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)二f (t) h(t)； e. 求系統(tǒng)的全響應(yīng)y(

8、t)二yzi(t) yzs(t)。 重難點(diǎn)10.周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù) 任一滿足狄利克雷條件的周期信號(hào)f(t)(T1為其周期)可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)。 (1) 三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù) 匸2兀 f(t) = a - 二 an cons(tbnrsi n ()式中1，n 為正整數(shù)。 n=1T1 1 to韋 直流分量aof (t)dt T1 to 一、2 to +1 余弦分量的幅度 anf (t) cos(n，jt)dt T1 to 一、2 to 十1 正弦分量的幅度 bnf (t)sin( njt)dt to 00 三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的另一種形式為f (t)二a0 a A cos(n，啦n) n

9、m (2)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù) f(t)八 Fnejn 1t n=od 式中，n為從到的整數(shù)。 1 復(fù)數(shù)頻譜Fn二一 t0 Tl (t)en 1tdt 利用周期信號(hào)的對(duì)稱性可以簡(jiǎn)化傅里葉級(jí)數(shù)中系數(shù)的計(jì)算。從而可知周期信號(hào)所包含的頻率成分。 有些周期信號(hào)的對(duì)稱性是隱藏的，刪除直流分量后就可以顯示其對(duì)稱性。 實(shí)偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中不包含正弦項(xiàng), f(t)二f(t),縱軸對(duì)稱(偶函數(shù)) 只可能包含直流項(xiàng)和余弦項(xiàng)。 o 一一 T .-2 4 -T - n a f (t)cos n1 tdt 實(shí)奇數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中不包含余弦項(xiàng)和直流項(xiàng)，只可能包含正弦項(xiàng)。 4 tog f(t) =_f(_t),原點(diǎn)對(duì)稱(奇

10、函數(shù))an =0, bn2 f (t)si nn “tdt T % f (t)二f(t T)，半周重疊(偶諧函數(shù))無(wú)奇次諧波，只有直流和偶次諧波 實(shí)奇諧函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中只可能包含基波和奇次諧波的正弦、余弦項(xiàng)，而不包含偶次諧波項(xiàng)。 _f(t)=f(t T)，半周鏡像(奇諧函數(shù))無(wú)偶次諧波，只有奇次諧波分量 重難點(diǎn)11.從對(duì)周期矩形脈沖信號(hào)的分析可知： (1) 信號(hào)的持續(xù)時(shí)間與頻帶寬度成反比； (2) 周期T越大，譜線越密，離散頻譜將變成連續(xù)頻譜； (3) 周期信號(hào)頻譜的三大特點(diǎn)：離散性、諧波性、收斂性。 重難點(diǎn)12.傅里葉變換 傅里葉變換定義為 正變換F( 逆變換 f(t)二 f JFC )=

11、 1 . .；F( )ej d 頻譜密度函數(shù)F()一般是復(fù)函數(shù)，可以寫作 F( ) = F( )ej() 其中F(co)是F(co)的模，它代表信號(hào)中個(gè)頻譜分量的相對(duì)大小，是灼的偶函數(shù)。 (灼)是F (灼) 的相位函數(shù)，它表示信號(hào)中各頻率分量之間的相位關(guān)系，是-的奇函數(shù)。 常用函數(shù)F變換對(duì)： (t)=K 1 12 n (co ) 1 u(t) F(j )e-jt0 5) 頻移特性 fe廠 -T F j( - 0 ) 6) 時(shí)域卷積特性fi(t)“f2(t) Fi(j ) F2(j ) 1 7) 頻域卷積特性fi(t) f2(t)Fi(j r F2(j ) 2兀 d n f 8) 時(shí)域微分特性

12、(j ) F j ) dt ti 9)積分特性f()dF( j J ： F(0h () Wj 10）.頻域微分特性 dFn(j ) ii)奇偶虛實(shí)性 若 F( ) = R( ) jX ()，則 f （t）是實(shí)偶函數(shù)f（）= R（），即f （）為的實(shí)偶函數(shù)。 f （t）是實(shí)奇函數(shù)f（）二jX（），即f（）為，的虛奇函數(shù)。 重難點(diǎn)14.周期信號(hào)的傅里葉變換 周期信號(hào)f(t)的傅里葉變換是由一些沖激函數(shù)組成的，這些沖激位于信號(hào)的諧頻 (0, _1,_21,|()處，每個(gè)沖激的強(qiáng)度等于f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)的相應(yīng)系數(shù)Fn的2二倍。即 沖激抽樣信號(hào) fs(t)的頻譜為 1 fs( )U n : 0 Ff(

13、t)二 2二 a Fn、( 一 n J n rn 重難點(diǎn) 15.沖激抽樣信號(hào)的頻譜 其中Ts為抽樣周期，f()為被抽樣信號(hào)f (t)的頻譜。上式表明，信號(hào)在時(shí)域被沖激序列抽樣后, 它的頻譜Fs()是連續(xù)信號(hào)頻譜f()以抽樣頻譜s為周期等幅地重復(fù)。 重難點(diǎn)16對(duì)于線性非時(shí)變系統(tǒng)，若輸入為非周期信號(hào)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響可用傅里葉變換求得。其 方法為： (1) 求激勵(lì)f(t)的傅里葉變換F(j .)。 (2) 求頻域系統(tǒng)函數(shù)H(j .)。 (3) 求零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)的傅里葉變換Yzs(j.)，即Yzs(j)= H(j .) F(j.)。 (4) 求零狀態(tài)響應(yīng)的時(shí)域解，即yzs(t)= F -1 Y

14、Zs(j .) 重難點(diǎn)17 對(duì)于線性非時(shí)變穩(wěn)定系統(tǒng)，若輸入為正弦信號(hào)f (t) = Acos( pt)，則穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 y(t) = H (j 9)Acos( o o) 其中，H (廠o) = H(o) e。為頻域系統(tǒng)函數(shù)。 重難點(diǎn)18對(duì)于線性非時(shí)變系統(tǒng)，若輸入為非正弦的周期信號(hào)，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的頻譜為 oOO0 y(t) =h(t)* fT(t)八Fnh(t)*e二、FnH(ju n -： ：n ： 其中，F(xiàn)n是輸入信號(hào)的頻譜，即f(t)的指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)系統(tǒng)。H(jni J是系統(tǒng)函數(shù)，為基 波。Yn是輸出信號(hào)的頻譜。時(shí)間響應(yīng)為 y(t)二匚W n 二.：二 重難點(diǎn)19 在時(shí)域中，無(wú)失真?zhèn)?/p>

15、輸?shù)臈l件是 y(t)二 Kf (t -t。) 在頻域中，無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的特性為H(j ) = K e t “ 20 理想濾波器是指可使通帶之內(nèi)的輸入信號(hào)的所有頻率分量以相同的增益和延時(shí)完全通過(guò)，且完 全阻止通帶之外的輸入信號(hào)的所有頻率分量的濾波器。理想濾波器是非因果性的，物理上不可實(shí)現(xiàn)的。 (帶寬)成反比。 重難點(diǎn)21 理想低通濾波器的階躍響應(yīng)的上升時(shí)間與系統(tǒng)的截止頻率 重難點(diǎn)22 .時(shí)域取樣定理 注意：為恢復(fù)原信號(hào)，必須滿足兩個(gè)條件：(1) f(t)必須是帶限信號(hào)；(2)取樣頻率不能太低，必須 fs2fm,或者說(shuō)，取樣間隔不能太大，必須Tsw 1/(2fm);否則將發(fā)生混疊。 通常把最低允許

16、的取樣頻率fs=2fm稱為奈奎斯特(Nyquist)頻率； 把最大允許的取樣間隔Ts=1/(2 fm)稱為奈奎斯特間隔。 重難點(diǎn)23.單邊拉氏變換的定義為 :-st F(s) = f(t)e$dt 1 . st f (t)F(s) e ds t 0 2 積分下限定義為t-。因此，單位沖激函數(shù) ：住)=1，求解微分方程時(shí)，初始條件取為t=o 重難點(diǎn)24.拉普拉斯變換收斂域： 使得拉氏變換存在的 S平面上二的取值范圍稱為拉氏變換的收斂域。f(t)是有限長(zhǎng)時(shí)，收斂域 整個(gè)S平面；f(t)是右邊信號(hào)時(shí)，收斂域二-0的右邊區(qū)域；f(t)是左邊信號(hào)時(shí)，收斂域 -0的 左邊區(qū)域；f(t)是雙邊信號(hào)時(shí)，收斂域

17、是S平面上一條帶狀區(qū)域。要說(shuō)明的是，我們討論單邊拉氏 變換，只要 二取得足夠大總是滿足絕對(duì)可積條件，因此一般不寫收斂域。 單邊拉氏變換，只要 -取得足夠大總是滿足絕對(duì)可積條件，因此一般不寫收斂域。 重難點(diǎn)25.拉普拉斯正變換求解: 常用信號(hào)的單邊拉氏變換 eu(t)L 1 s : tL 1 e u(t) u(t”L s2 cos%t u(t) -L 2 2 s-o sin 0tu(t) L9 2 2 s o 重難點(diǎn)26拉普拉斯變換的性質(zhì) (1) 尺度變換 L f (at) F() a a a 0,Res a；0 (2) (3) 頻域平移性質(zhì) 時(shí)移性質(zhì) L f (t -t。)；(t -1。) (

18、4)時(shí)域微分性質(zhì) (5)時(shí)域積分性質(zhì) df (t) L =sf(s)-f(0J dt tF(s) L 0 f(t)dt： -s (6)時(shí)域卷積定理 f(t)*f2(t) i F1(s)F2(s) (7)周期信號(hào), 只要求出第一周期的拉氏變換 h(s) _sT Fi(s)，F(xiàn)(s)e 頻域微分性: (-t)f t(0 dF (s) ds dnF(s) 頻域積分性: f(t) t s F( )d 初值定理: f (0 ) lim f (t)二 lim sF(s) t十s_c 終值定理 若f(t)當(dāng)t TS時(shí)存在，并且 f(t) J T F(s) , Resj, ,o，則 f CO -lim sF(

19、s) 拉氏變換的性質(zhì)及應(yīng)用。 般規(guī)律：有t相乘時(shí)，用頻域微分性質(zhì)。 有實(shí)指數(shù)e：t相乘時(shí)，用頻移性質(zhì)。 F1(sL -sT 分段直線組成的波形，用時(shí)域微分性質(zhì)。 周期信號(hào)，只要求出第一周期的拉氏變換F, (s)， F(s)= 1-e 由于拉氏變換均指單邊拉氏變換，對(duì)于非因果信號(hào)，在求其拉氏變換時(shí)應(yīng)當(dāng)作因果信號(hào)處理。 重難點(diǎn)27.拉普拉斯反變換求解：(掌握部分分式展開(kāi)法求解拉普拉斯逆變換的方法) (1 )單實(shí)根時(shí) 二 Ke 如；(t) Kt/ ；(t) (2 )二重根時(shí) 重難點(diǎn)28 微分方程的拉普拉斯變換分析: 當(dāng)線性時(shí)不變系統(tǒng)用線性常系數(shù)微分方程描述時(shí)，可對(duì)方程取拉氏變換，并代入初始條件，從

20、而將時(shí)域方程轉(zhuǎn)化為 S域代數(shù)方程，求出響應(yīng)的象函數(shù)，再對(duì)其求反變換得到系統(tǒng)的響應(yīng)。 重難點(diǎn)29.動(dòng)態(tài)電路的S域模型： 由時(shí)域電路模型能正確畫出S域電路模型，是用拉普拉斯變換分析電路的基礎(chǔ)。 引入復(fù)頻域阻抗后，電路定律的復(fù)頻域形式與其相量形式相似。 H(s心 F(s) 重難點(diǎn)30.系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為Yzs(s)二H(s)F(s) 其中，h(t)= H(s) , H(s)是沖激響應(yīng)的象函數(shù)，稱為系統(tǒng)函數(shù)。系統(tǒng)函數(shù)定義為 重難點(diǎn)31 .系統(tǒng)函數(shù)的定義 重難點(diǎn)32 .系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖 重難點(diǎn)33 .系統(tǒng)函數(shù)H(與時(shí)域響應(yīng)h( ) : LTI連續(xù)因果系統(tǒng)的h(t)的函數(shù)形式由H(s)的極點(diǎn)確定。

21、 H(s)在左半平面的極點(diǎn)無(wú)論一階極點(diǎn)或重極點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)的時(shí)域函數(shù)都是按指數(shù)規(guī)律衰減的。 結(jié)論：極點(diǎn)全部在左半開(kāi)平面的系統(tǒng)(因果)是穩(wěn)定的系統(tǒng)。 H(s)在虛軸上的一階極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)域函數(shù)是幅度不隨時(shí)間變化的階躍函數(shù)或正弦函數(shù)。 H(s)在虛軸上的二階極點(diǎn)或二階以上極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)域函數(shù)隨時(shí)間的增長(zhǎng)而增大。 H(s)在虛軸上的高階極點(diǎn)或右半平面上的極點(diǎn)，其所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)都是遞增的。 j- P為負(fù)實(shí)根 IP為正實(shí)根 fh(t) :Pi位于右半平面 1X p,位于左半平面 .等幅正弦振蕩 h(t) 2 k e t cos(，t 旳 增幅的自由振蕩 衰減的指數(shù)函數(shù) 重難點(diǎn)34.系統(tǒng)的穩(wěn)定性: P位于虛軸

22、上 打 h(t) 穩(wěn)定系統(tǒng) H(s)的極點(diǎn)都在左半開(kāi)平面, 邊界穩(wěn)定系統(tǒng) H(s)的極點(diǎn)都在虛軸上，且為一階, p 1 p I Jr JL jf h(t) + 增長(zhǎng)的指數(shù)函數(shù) 不穩(wěn)定系統(tǒng) H(s)的極點(diǎn)都在右半開(kāi)平面或虛軸上二階以上。 H (s)= N(s) D(s) bmSm FmVbS bo ansn ansn4 Jll a a0 判斷準(zhǔn)則：1)多項(xiàng)式的全部系數(shù) a符號(hào)相同為正數(shù)；2)無(wú)缺項(xiàng); 32 3)對(duì)三階系統(tǒng)，D(s)二a3S - a?s - ap - a的各項(xiàng)系數(shù)全為正，且滿足 aAa2 - a0a3 重難點(diǎn)35、常用的典型信號(hào) 1 單位抽樣序列、(n) 如0, n = 0 n = 0 、(n)的延遲形式：