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1、1 第二章習(xí)題第二章習(xí)題 解:解:(1)以球心為原點(diǎn),取z軸沿外電場(chǎng) 的方向,建立球坐標(biāo)系。 0 E 在導(dǎo)體球外空間,電勢(shì)滿足拉普拉斯方程: . 2 0 由于本問題具有軸對(duì)稱性,故通解形式為 (1) 0 ()(cos ) nn nnn n A RB RP 通解中的系數(shù)由下列邊界條件確定: 時(shí), ,(其中 為未置入導(dǎo)體球前坐標(biāo)原點(diǎn)的電勢(shì)). R 00 cosE R0 由此得 0010 ,0 (0,1) n AAEAn 2. 在均勻外電場(chǎng)中置入半徑為在均勻外電場(chǎng)中置入半徑為 的導(dǎo)體球,試用分離變量法求下列兩種的導(dǎo)體球,試用分離變量法求下列兩種 情況的電勢(shì):情況的電勢(shì): (1)導(dǎo)體球上接有電池,使球

2、與地保持電勢(shì)差)導(dǎo)體球上接有電池,使球與地保持電勢(shì)差 ; (2)導(dǎo)體球上帶總電量)導(dǎo)體球上帶總電量Q. 0 R 0 2 面上, ,由此得 0 RR 0 3 0000100 (),0 (0,1) n BRBE RBn 所以 3 00000 00 2 () coscos RE R E R RR 3 0000 000 3 ()RE R E RR RR ( ) 0 RR (2)導(dǎo)體球上帶總電量 時(shí),導(dǎo)體球仍為等勢(shì)體,設(shè)其與地的電勢(shì)差為 .由 前一問的結(jié)果,球外電勢(shì)為 Q 0 3 00000 00 2 () coscos RE R E R RR ( ) 0 RR 3 再由導(dǎo)體球上帶總電量為 Q的條件,應(yīng)

3、有關(guān)系: 0 0 R R dSQ R 由于 0 2 2 00 0000 0 0 0 0000 3cossin 4(), R R dSERd d RR R 故 000 0 () 4 Q R 所以 3 00 00 2 0 coscos 4 QE R E R RR ( ) 0 RR 4 解法一:應(yīng)用分離變量法求解解法一:應(yīng)用分離變量法求解 根據(jù)提示,可令 4 f Q u R 其中為球面極化電荷產(chǎn)生的電勢(shì),滿足下列拉普拉斯方程: 2 10 2 20 0,() 0.() uRR uRR 由于本問題是球?qū)ΨQ的,上述拉普拉斯方程的通解形式為 1 2 , . b ua R d uc R 3. 均勻介質(zhì)球的中心

4、置一點(diǎn)電荷均勻介質(zhì)球的中心置一點(diǎn)電荷 ,球的電容率為,球的電容率為 ,球外為真空,使用,球外為真空,使用 分離變量法求空間電勢(shì),把結(jié)果與使用高斯定理所得結(jié)果比較。分離變量法求空間電勢(shì),把結(jié)果與使用高斯定理所得結(jié)果比較。 提示:空間各點(diǎn)的電勢(shì)是點(diǎn)電荷提示:空間各點(diǎn)的電勢(shì)是點(diǎn)電荷 的電勢(shì)的電勢(shì) 與球面上的極化電荷所與球面上的極化電荷所 產(chǎn)生的電勢(shì)的疊加,后者滿足拉普拉斯方程。產(chǎn)生的電勢(shì)的疊加,后者滿足拉普拉斯方程。 Q f Q f RQ f 4/ 5 由邊界條件確定上述通解中的系數(shù): 時(shí), 應(yīng)有限。因此 ,故 0R 1 u0b 10 ,() 4 f Q aRR R 時(shí), 。因此 ,故 R 2 0u

5、 0c 20 .() 4 f Q d RR RR 面上, 即 0 RR 12 120 ,. RR 0 00000 00 0 222 0000 ,1, 444 .1. 444 fff fff QQQ d aa RRRR QQQ d d RRR 所以 0 10 00 1;() 44 ff QQ RR RR 0 20 00 1.() 444 fff QQQ RR RRR 6 解法二:利用高斯定理求解解法二:利用高斯定理求解 由 ,可得 ,因此 f S D dSQ 3 4 f Q DR R 進(jìn)而可通過積分求得電勢(shì): 220 0 ;() 4 R f Q E dRRR R 0 0 121 000 0 0

6、00 444 1.() 44 RR fff R ff QQQ E dRE dR RRR QQ RR RR 可見,兩種方法所得結(jié)果相同 。 10 3 20 3 00 ;() 4 .() 4 f f Q D ERRR R Q D ERRR R 7 9. 接地的空心導(dǎo)體球的內(nèi)外半徑為接地的空心導(dǎo)體球的內(nèi)外半徑為R1和和R2 ,在球內(nèi)離球心為,在球內(nèi)離球心為a (a a),試用電像法求,試用電像法求 空間電勢(shì)??臻g電勢(shì)。 解:解:取直角坐標(biāo)系,以球心為原點(diǎn),系統(tǒng)對(duì)稱軸為軸。 由電像法,為使邊界條件(導(dǎo)體表面電勢(shì)為零)得到滿足,可用如圖所示的三個(gè) 像電荷來替代導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷。各電荷的電量和坐標(biāo)如下

7、: 12 導(dǎo)體表面上方的電勢(shì)為 1 2222222 0 2222222 1 4 ()(/ ) 1 ; (/ )() Qa xyzbb xyzab a b xyzabxyzb 導(dǎo)體表面下方的電勢(shì)為 2 0 原電荷 電量 坐標(biāo) (0,0, ) b Q 像電荷1 電量 坐標(biāo) 像電荷2 電量 坐標(biāo) 像電荷3 電量 坐標(biāo) /QaQ b 2 (0,0,/ )ab /QaQ b QQ 2 (0,0,/ )ab (0,0,)b 13 12. 有一點(diǎn)電荷有一點(diǎn)電荷Q位于兩個(gè)互相垂直的接地導(dǎo)體平面所圍成的直角空間內(nèi),位于兩個(gè)互相垂直的接地導(dǎo)體平面所圍成的直角空間內(nèi), 它到兩個(gè)平面的距離為它到兩個(gè)平面的距離為a和和

8、b,求空間電勢(shì)。,求空間電勢(shì)。 解:解:取直角坐標(biāo)系。 設(shè)原電荷 位于點(diǎn) ,由電像法,為使邊界條件(導(dǎo)體表面電勢(shì)為零) 得到滿足,可用三個(gè)像電荷來替代導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷,各像電荷的電量和坐 標(biāo)如下: Q( , ,0)a b 原電荷 電量 坐標(biāo) 像電荷1 電量 坐標(biāo) 像電荷2 電量 坐標(biāo) QQ QQ QQ (, ,0)a b (,0)ab ( ,0)ab 14 1 222222 0 222222 11 4 ()()()() 11 ; ()()()() (0,0) Q xaybzxaybz xaybzxaybz xy 2 0(00)xy或 空間電勢(shì)分布為 15 第三章習(xí)題第三章習(xí)題 1. 試用試

9、用A表示一個(gè)沿表示一個(gè)沿z 方向的均勻恒定磁場(chǎng)方向的均勻恒定磁場(chǎng) B0, ,寫出 寫出A的兩種不同表示的兩種不同表示 式,證明兩者之差是無旋場(chǎng)式,證明兩者之差是無旋場(chǎng) 0 0, xyz BBBB 解:沿 Z 軸方向的均勻磁場(chǎng) 由定義式 0 , 0 y x z y xzz A A BB xy A AAA yzzx BA 有解 0 0, ( ) zyx AAAB y f x 另一解 0 0,( ) zxy AAAB x g y 16 0 0, ( ) zyx AAAB y f x 0 0,( ) zxy AAAB x g y 10 ( ) x AB y f xe 20 ( ) y AB x g y

10、 e 00 ( )( ) xy AB y f xeB x g ye 00 0 0 00 ( )( ) ( )0 ( )0 ( )( ) 0 xy x y z AB y f x eB x g ye B x g y e yz B y f x e zy B x g yB y f x e xy 說明兩者之差是無旋場(chǎng)說明兩者之差是無旋場(chǎng) 17 解解1:在分界面(面)上,磁場(chǎng)圓柱坐標(biāo)分量應(yīng)滿足邊界條件: 121212 , rrzz BBHHHH 設(shè)滿足以上邊界條件的嘗試解的形式為 (D為待定系數(shù)),則 12 BBDIe 12 0 , DIDI HeHe 由 得 L H dlI 11 120 ()rHrHr

11、DII 解得 0 0 () D r 4. 設(shè)設(shè) 半空間充滿磁導(dǎo)率為半空間充滿磁導(dǎo)率為 的均勻介質(zhì),的均勻介質(zhì), 空間為真空,今有線電空間為真空,今有線電 流流I沿沿z軸流動(dòng),求磁感應(yīng)強(qiáng)度分布和磁化電流分布。軸流動(dòng),求磁感應(yīng)強(qiáng)度分布和磁化電流分布。 0 x0 x 18 所以 0 12 0 () I BBe r 在緊貼線電流的介質(zhì)一側(cè)有線磁化電流,磁化電流強(qiáng)度為 1 0 1 00 11 () M LC IM dlB dlI 19 解解2:設(shè)本題中的磁場(chǎng)分布呈軸對(duì)稱,則可寫作 在介質(zhì)中: 2 2 BI He r 而 2 00 2 BI HMeM r 2 I Be r (1) 其滿足邊界條件: 21 21 ()0 ()0 nBB nHH (2) 所以在 的介質(zhì)中, 0 x 0 0

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