孫會(huì)元教授主編的固體物理基礎(chǔ)第五章固體的輸運(yùn)現(xiàn)象課件5.1-玻爾茲曼方程

1、5.1 玻爾茲曼方程玻爾茲曼方程 本節(jié)主要內(nèi)容：本節(jié)主要內(nèi)容： 玻爾茲曼方程和弛豫時(shí)間近似玻爾茲曼方程和弛豫時(shí)間近似 5.1 玻爾茲曼方程玻爾茲曼方程 0 () 1 ( ) 1 kB k k T f e 表示表示N電子體系電子體系在在熱平衡態(tài)熱平衡態(tài)(溫度為溫度為T(mén)) 時(shí)，能量為時(shí)，能量為k的單電子本征態(tài)被一個(gè)電子占據(jù)的的單電子本征態(tài)被一個(gè)電子占據(jù)的 概率，亦即該電子態(tài)的平均電子數(shù)。概率，亦即該電子態(tài)的平均電子數(shù)。 0( ) k f 在第一章我們討論金屬自由電子氣體的熱性在第一章我們討論金屬自由電子氣體的熱性 質(zhì)時(shí)，已經(jīng)知道在熱平衡狀態(tài)下，即溫度均勻且質(zhì)時(shí)，已經(jīng)知道在熱平衡狀態(tài)下，即溫度均勻且

2、 無(wú)外場(chǎng)作用時(shí)，電子系統(tǒng)的分布函數(shù)為費(fèi)米分布無(wú)外場(chǎng)作用時(shí)，電子系統(tǒng)的分布函數(shù)為費(fèi)米分布 函數(shù)，為了和非平衡分布函數(shù)區(qū)分，把費(fèi)米分布函數(shù)，為了和非平衡分布函數(shù)區(qū)分，把費(fèi)米分布 函數(shù)表示為：函數(shù)表示為： 玻爾茲曼方程玻爾茲曼方程 顯然，對(duì)于均勻體系，顯然，對(duì)于均勻體系， 與電子所在晶體與電子所在晶體 內(nèi)位置內(nèi)位置 r 無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。 0( )k f 要想討論輸運(yùn)問(wèn)題，必須知道微擾狀態(tài)下要想討論輸運(yùn)問(wèn)題，必須知道微擾狀態(tài)下 的分布函數(shù)，如何確定非平衡狀態(tài)下電子的分的分布函數(shù)，如何確定非平衡狀態(tài)下電子的分 布函數(shù)呢？布函數(shù)呢？ 玻爾茲曼方程是用來(lái)研究非平衡狀態(tài)下電子玻爾茲曼方程是用來(lái)研究非平衡狀態(tài)下電子

3、 的分布函數(shù)的方程。的分布函數(shù)的方程。 0 () 1 ( ) 1 kB k k T f e 由于玻爾茲曼方程比較復(fù)雜，我們只限于討由于玻爾茲曼方程比較復(fù)雜，我們只限于討 論論電子的等能面是球面，且電子所經(jīng)歷的碰撞為電子的等能面是球面，且電子所經(jīng)歷的碰撞為 彈性散射彈性散射(散射前后能量相等，僅波矢的方向有散射前后能量相等，僅波矢的方向有 所改變所改變)以及弱場(chǎng)的情況以及弱場(chǎng)的情況(亦即可將外場(chǎng)的作用當(dāng)亦即可將外場(chǎng)的作用當(dāng) 成微擾，從而非平衡的穩(wěn)態(tài)分布相對(duì)于平衡分布成微擾，從而非平衡的穩(wěn)態(tài)分布相對(duì)于平衡分布 偏離甚少偏離甚少)。 在上述假定下在上述假定下,非平衡的穩(wěn)態(tài)分布可以表示為：非平衡的穩(wěn)態(tài)

4、分布可以表示為： 011, ffff為小量。 1.分布函數(shù)的變化分布函數(shù)的變化 電子分布函數(shù)電子分布函數(shù) f 是波矢是波矢 、空間坐標(biāo)、空間坐標(biāo) 和時(shí)和時(shí) 間間t的函數(shù)的函數(shù)。亦即，在。亦即，在t時(shí)刻，在單位體積晶體時(shí)刻，在單位體積晶體 內(nèi)位置內(nèi)位置 附近找到一個(gè)波矢為附近找到一個(gè)波矢為 的電子的幾率的電子的幾率 是：是： k r r k ( , , )ff r k t 電子分布函數(shù)電子分布函數(shù) f 與位置與位置 有關(guān)系，通常是由有關(guān)系，通常是由 于于化學(xué)不均勻性化學(xué)不均勻性引起的。其原因引起的。其原因一方面一方面是由于化是由于化 學(xué)成分不均勻?qū)W成分不均勻(成分不同化學(xué)勢(shì)不同成分不同化學(xué)勢(shì)不同

5、)引起的化學(xué)引起的化學(xué) 勢(shì)勢(shì)(費(fèi)米能費(fèi)米能)依賴(lài)于位置；依賴(lài)于位置；另一方面另一方面是由于有溫度是由于有溫度 梯度引起的化學(xué)勢(shì)梯度引起的化學(xué)勢(shì)(費(fèi)米能費(fèi)米能)依賴(lài)于位置。我們這依賴(lài)于位置。我們這 里僅考慮后者里僅考慮后者,即：即： r 溫度梯度溫度梯度 f 變化變化 變化變化 r 化學(xué)勢(shì)變化化學(xué)勢(shì)變化 電子分布函數(shù)電子分布函數(shù)f 與波矢與波矢 有關(guān)系，也就是與有關(guān)系，也就是與 能量有關(guān)系，從費(fèi)米分布函數(shù)的表達(dá)式就可以能量有關(guān)系，從費(fèi)米分布函數(shù)的表達(dá)式就可以 理解。理解。 k d () d k Fe EvB t 在外電場(chǎng)在外電場(chǎng) 和磁場(chǎng)和磁場(chǎng) 中中,電子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是：電子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是：E B 電

6、子分布函數(shù)電子分布函數(shù)f 與時(shí)間與時(shí)間t有關(guān)系，是因?yàn)橥饬Φ挠嘘P(guān)系，是因?yàn)橥饬Φ?作用使得波矢依賴(lài)于時(shí)間，即：作用使得波矢依賴(lài)于時(shí)間，即： EB ，f 變化變化變化變化k 能量變化能量變化 如果不存在碰撞如果不存在碰撞，t時(shí)刻，在相空間時(shí)刻，在相空間(以波矢以波矢 坐標(biāo)坐標(biāo) 為變量組成的空間為變量組成的空間) 、 處的電子必來(lái)自處的電子必來(lái)自 t - dt 時(shí)刻時(shí)刻 處，即處，即不存在碰撞時(shí)不存在碰撞時(shí)來(lái)來(lái) 自于電子的自于電子的漂移過(guò)程漂移過(guò)程。所以：。所以： k r r k ,rrdt kkdt ( , , )(,)f r k tf rrdt kkdt tdt d () d k Fe EvB

7、 t ( , , )(,)f r k tf rrdt kkdt tdt 如果不存在碰撞如果不存在碰撞 實(shí)際上實(shí)際上,由于由于存在碰撞存在碰撞,dt 時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi),從從 出發(fā)的電子未必都能到達(dá)出發(fā)的電子未必都能到達(dá) 、 處處,自然，自然， 、 處處 的電子由于的電子由于存在碰撞存在碰撞也并不全部來(lái)自也并不全部來(lái)自 處。所以占據(jù)幾率隨時(shí)間的變化包括兩部分：處。所以占據(jù)幾率隨時(shí)間的變化包括兩部分： 一部分是一部分是遷移過(guò)程遷移過(guò)程(粒子的漂移和擴(kuò)散粒子的漂移和擴(kuò)散);另一部另一部 分是與相互作用的對(duì)方分是與相互作用的對(duì)方相碰撞相碰撞而出現(xiàn)的而出現(xiàn)的.所以：所以： ,rrdt kkdt k r r ,

8、rrdt kkdt k ( , , )(,) f f r k tf rrdt kkdt tdtdt t 碰 漂移作用引起的分布函數(shù)的變化漂移作用引起的分布函數(shù)的變化 fff ttt 碰漂 碰撞引起的分布函數(shù)的變化碰撞引起的分布函數(shù)的變化 所以，電子分布函數(shù)的變化可表示為：所以，電子分布函數(shù)的變化可表示為： 通常我們研究輸運(yùn)行為時(shí)，討論的都是定態(tài)通常我們研究輸運(yùn)行為時(shí)，討論的都是定態(tài) 過(guò)程，即假定：過(guò)程，即假定： 0 f t 注意，這里提到的穩(wěn)態(tài)情形注意，這里提到的穩(wěn)態(tài)情形 和費(fèi)和費(fèi) 米米狄拉克函數(shù)狄拉克函數(shù) 所定義的平衡態(tài)之間是有所定義的平衡態(tài)之間是有 區(qū)別的。區(qū)別的。 0 f t 0( )k

9、 f 從上面的討論可以看出，要研究輸運(yùn)行為，從上面的討論可以看出，要研究輸運(yùn)行為， 必須對(duì)必須對(duì)漂移項(xiàng)漂移項(xiàng)(drift term)和和碰撞項(xiàng)碰撞項(xiàng)(collision term)(或或散射項(xiàng)散射項(xiàng)(scattering term)也叫也叫相互作用項(xiàng)相互作用項(xiàng)) 有所了解。有所了解。 1).漂移項(xiàng)漂移項(xiàng)(先不考慮碰撞時(shí)先不考慮碰撞時(shí)) 按照分布函數(shù)的定義，在按照分布函數(shù)的定義，在t時(shí)刻，總電子數(shù)中時(shí)刻，總電子數(shù)中 存在于相空間體積元存在于相空間體積元 內(nèi)的電子數(shù)為：內(nèi)的電子數(shù)為： d ( )( , , )( , , ;,; ) xyz f t df r k t df x y z k k k t

10、 d xyz ddrdkdxdydzdk dk dk fff ttt 碰漂 在在 t+dt 時(shí)刻時(shí)刻,空間體積元空間體積元 含有含有這樣一些這樣一些 電子電子,這些電子在這些電子在t 時(shí)刻的坐標(biāo)是時(shí)刻的坐標(biāo)是 其波矢分量為其波矢分量為 亦即在亦即在 t+dt 時(shí)刻有：時(shí)刻有： d , xyz x v dt y v dt z v dt , xxyyzz kk dt kk dt kk dt ()f t dt d 在擴(kuò)散的影響和外力的作用下，坐標(biāo)空間和在擴(kuò)散的影響和外力的作用下，坐標(biāo)空間和 動(dòng)量空間中的占據(jù)幾率發(fā)生變化。動(dòng)量空間中的占據(jù)幾率發(fā)生變化。 也就是也就是這部分電子是漂移過(guò)來(lái)這部分電子是漂移

11、過(guò)來(lái)的，所以：的，所以： (,;,; ) xyzxxyyzz f x vdt y v dt z vdt kk dt kk dt kk dt t d xyzxyz xyz fffffff vvvkkk txyzkkk 漂 ()( ) f f tdtf tdt t 左邊 (,;,; ) xyzxxyyzz f x vdt y v dt z vdt kk dt kk dt kkdt t 右 xyzxyz xyz fffffff vvvkkk txyzkkk 漂 推導(dǎo)：推導(dǎo)： 利用多元函數(shù)的泰勒展開(kāi)利用多元函數(shù)的泰勒展開(kāi),且只取到且只取到dt的線性項(xiàng)的線性項(xiàng) ( , , ;,; ) xyzxyz f

12、x y z k k k tv dtv dtv dt xyz ( , , ; , ; ) xyzxyz xyz k dtk dtk dtf x y z k k k t kkk (,)( ,) ( ( , )f xx yyf x yxyf x y xy ， 左右相等，即可得到上式。左右相等，即可得到上式。 xyzxyz xyz fffffff vvvkkk txyzkkk 漂 fff rk trk 漂 或或： 漂移項(xiàng)漂移項(xiàng)=外場(chǎng)作用力引起的外場(chǎng)作用力引起的電子波矢的漂移電子波矢的漂移 +速度引起的速度引起的電子位置的漂移電子位置的漂移 r k rfkf 漂移描述了在兩次碰撞之間的純動(dòng)力學(xué)行為，漂移

13、描述了在兩次碰撞之間的純動(dòng)力學(xué)行為， 并不導(dǎo)致不可逆因素，為此必須考慮碰撞項(xiàng)。并不導(dǎo)致不可逆因素，為此必須考慮碰撞項(xiàng)。 碰撞對(duì)應(yīng)于不可逆過(guò)程，它迫使系統(tǒng)趨于平碰撞對(duì)應(yīng)于不可逆過(guò)程，它迫使系統(tǒng)趨于平 衡分布。衡分布。 對(duì)于碰撞項(xiàng)的考慮，只有知道了各碰撞機(jī)制，對(duì)于碰撞項(xiàng)的考慮，只有知道了各碰撞機(jī)制， 才能夠精確地計(jì)算碰撞引起的分布函數(shù)的變化。才能夠精確地計(jì)算碰撞引起的分布函數(shù)的變化。 但是，為使問(wèn)題簡(jiǎn)化，我們可以仿照第一章但是，為使問(wèn)題簡(jiǎn)化，我們可以仿照第一章 的做法，引入弛豫時(shí)間的做法，引入弛豫時(shí)間(k) 作為表征各個(gè)相互作為表征各個(gè)相互 作用的唯象量。作用的唯象量。 2).相互作用項(xiàng)相互作用項(xiàng)

14、(碰撞項(xiàng)或散射項(xiàng)碰撞項(xiàng)或散射項(xiàng))： 第一章弛豫時(shí)間是作為碰撞的幾率，或相繼兩第一章弛豫時(shí)間是作為碰撞的幾率，或相繼兩 次碰撞間的平均時(shí)間引進(jìn)的。次碰撞間的平均時(shí)間引進(jìn)的。 現(xiàn)在我們從分布函數(shù)的角度來(lái)看弛豫時(shí)間這現(xiàn)在我們從分布函數(shù)的角度來(lái)看弛豫時(shí)間這 一假定的意義。一假定的意義。 設(shè)沒(méi)有施加外場(chǎng)時(shí)設(shè)沒(méi)有施加外場(chǎng)時(shí),電子系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)電子系統(tǒng)處于平衡狀態(tài), 在外場(chǎng)的作用下在外場(chǎng)的作用下,由于由于漂移漂移,電子系統(tǒng)進(jìn)入非平衡電子系統(tǒng)進(jìn)入非平衡 態(tài)態(tài),外場(chǎng)去掉后外場(chǎng)去掉后,由于由于碰撞碰撞將使得系統(tǒng)恢復(fù)平衡。將使得系統(tǒng)恢復(fù)平衡。 0 fff t 顯然系統(tǒng)恢復(fù)平衡的快慢顯然系統(tǒng)恢復(fù)平衡的快慢( ) 將

15、與系統(tǒng)偏將與系統(tǒng)偏 離平衡態(tài)的程度離平衡態(tài)的程度( )以及碰撞的頻度以及碰撞的頻度( )有有 關(guān)關(guān).在在對(duì)平衡態(tài)的偏離較小時(shí)對(duì)平衡態(tài)的偏離較小時(shí),我們假定系統(tǒng)恢復(fù)我們假定系統(tǒng)恢復(fù) 平衡的快慢比例于系統(tǒng)偏離平衡態(tài)的程度以及碰平衡的快慢比例于系統(tǒng)偏離平衡態(tài)的程度以及碰 撞的頻度撞的頻度,即：即： f t 0 ff 1 一般稱(chēng)上述近似為一般稱(chēng)上述近似為線性近似線性近似，負(fù)號(hào)源于偏離將隨，負(fù)號(hào)源于偏離將隨 時(shí)間的增加而減小。時(shí)間的增加而減小。 從該式出發(fā)可以進(jìn)一步得到從該式出發(fā)可以進(jìn)一步得到 0 0 () fft ff 即電子的分布函數(shù)偏離了平衡分布后即電子的分布函數(shù)偏離了平衡分布后,系統(tǒng)依系統(tǒng)依 賴(lài)

16、碰撞恢復(fù)平衡分布的弛豫過(guò)程隨時(shí)間以指數(shù)形賴(lài)碰撞恢復(fù)平衡分布的弛豫過(guò)程隨時(shí)間以指數(shù)形 式變化式變化,弛豫時(shí)間弛豫時(shí)間 為這一過(guò)程的時(shí)間常數(shù)為這一過(guò)程的時(shí)間常數(shù). 是是 平衡時(shí)的費(fèi)米狄拉克分布函數(shù)。平衡時(shí)的費(fèi)米狄拉克分布函數(shù)。 0 f 01 fff 1 1 ( ) 0 (0)0 0 () ftt ft fft ff 所以： 0 0 () fft ff 011 ( )(0) t fff tf te 由于上述過(guò)程是在無(wú)外場(chǎng)，無(wú)溫度梯度下完由于上述過(guò)程是在無(wú)外場(chǎng)，無(wú)溫度梯度下完 全全由碰撞由碰撞引起的，即：引起的，即： 0 f t 漂 fff ttt 碰漂 01 ffff t 碰 得到：得到： 所以由：

17、所以由： 由于研究輸運(yùn)行為時(shí)，討論的都是定態(tài)過(guò)程由于研究輸運(yùn)行為時(shí)，討論的都是定態(tài)過(guò)程, 即假定：即假定： 0 f t 01 ffff t 碰 r k fff rkrfkf trk 漂 fff ttt 碰漂 這樣我們就得到了穩(wěn)態(tài)條件：這樣我們就得到了穩(wěn)態(tài)條件： 0 0 r k ff rfkf 玻爾茲曼方程玻爾茲曼方程 0 r k ffrfkf或： 2.玻爾茲曼方程玻爾茲曼方程 0 0 r k ff rfkf 這是所有輸運(yùn)現(xiàn)象的基本方程。這是所有輸運(yùn)現(xiàn)象的基本方程。 由于公式兩邊都有受微擾的占據(jù)幾率由于公式兩邊都有受微擾的占據(jù)幾率 f ,所以所以 在該形勢(shì)下求解很困難在該形勢(shì)下求解很困難.然而對(duì)

18、于所有的實(shí)際情然而對(duì)于所有的實(shí)際情 況況,外界影響給占據(jù)幾率帶來(lái)的變化都很小外界影響給占據(jù)幾率帶來(lái)的變化都很小,所以所以 可近似可近似用非微擾占據(jù)幾率的梯度替換方程右邊用非微擾占據(jù)幾率的梯度替換方程右邊。 0 r k ffrfkf或： 000 r k ffrkff或 ： 00 1 0 r k ff f rk 總之有了外場(chǎng)和溫度梯度，系統(tǒng)的分布才總之有了外場(chǎng)和溫度梯度，系統(tǒng)的分布才 會(huì)偏離平衡，無(wú)休止的漂移；有了碰撞，就會(huì)會(huì)偏離平衡，無(wú)休止的漂移；有了碰撞，就會(huì) 使漂移受到遏制，被限制在一定程度而達(dá)到穩(wěn)使漂移受到遏制，被限制在一定程度而達(dá)到穩(wěn) 定分布。定分布。 考慮僅有外電場(chǎng)和溫度梯度存在的情況

19、下，考慮僅有外電場(chǎng)和溫度梯度存在的情況下， 漂移項(xiàng)變?yōu)椋浩祈?xiàng)變?yōu)椋?() e kEvB 在施加外磁場(chǎng)時(shí)在施加外磁場(chǎng)時(shí),外磁場(chǎng)主要是引起電子波矢外磁場(chǎng)主要是引起電子波矢 的漂移：的漂移： 000 r k fffeE rfkfrT Tk 1 k r 01 () () kk ffe kfvB kk 0000 1 kk ff v ff kk 而： 所以，在電場(chǎng)、磁場(chǎng)和溫度梯度都存在時(shí)，玻爾茲曼方程為：所以，在電場(chǎng)、磁場(chǎng)和溫度梯度都存在時(shí)，玻爾茲曼方程為： 011 () ()() kkk fffee kfvBvB kkk 所以： 00 k v ff k 000 r k fffeE rfkfrT Tk

20、00011 ()0 k fffffeEe rTvB Tkk 溫度梯度溫度梯度 電場(chǎng)電場(chǎng) 磁場(chǎng)磁場(chǎng) 外磁場(chǎng)引起的變化外磁場(chǎng)引起的變化 外電場(chǎng)和溫度梯度存在的情況下的變化外電場(chǎng)和溫度梯度存在的情況下的變化 關(guān)于碰撞項(xiàng)的討論，也可以從量子力學(xué)出發(fā)展開(kāi)。關(guān)于碰撞項(xiàng)的討論，也可以從量子力學(xué)出發(fā)展開(kāi)。 由此方程可得分布函數(shù)，從而可以進(jìn)一步討論金屬由此方程可得分布函數(shù)，從而可以進(jìn)一步討論金屬 電導(dǎo)率隨溫度的變化，以及熱導(dǎo)率、熱電效應(yīng)、霍爾電導(dǎo)率隨溫度的變化，以及熱導(dǎo)率、熱電效應(yīng)、霍爾 效應(yīng)和磁電阻效應(yīng)等效應(yīng)和磁電阻效應(yīng)等 00011 ()0 k fffffeEe rTvB Tkk 由于聲子或雜質(zhì)的散射，粒子

21、可以從由于聲子或雜質(zhì)的散射，粒子可以從 k 態(tài)躍遷到態(tài)躍遷到 k / 態(tài)，也可以從態(tài)，也可以從 k /態(tài)躍遷到態(tài)躍遷到 k 態(tài)。態(tài)。 設(shè)設(shè)w(k，k /)表示單位體積中在單位時(shí)間由表示單位體積中在單位時(shí)間由 k 態(tài)躍遷態(tài)躍遷 到到 k / 態(tài)的散射幾率，態(tài)的散射幾率，w(k /，k)表示單位體積中在單表示單位體積中在單 位時(shí)間由位時(shí)間由 k / 態(tài)躍遷到態(tài)躍遷到 k 態(tài)的散射幾率。態(tài)的散射幾率。 其中，只考慮了自旋相同態(tài)之間的躍遷，其中，只考慮了自旋相同態(tài)之間的躍遷，1-f( k /) 表示表示k /態(tài)未被占據(jù)的概率。態(tài)未被占據(jù)的概率。 3, 1 ( )1() (2 ) k k af kf k

22、wdk w(k，k /)表示由表示由 k 態(tài)躍遷到態(tài)躍遷到 k / 態(tài)的散射幾率，態(tài)的散射幾率， w(k /，k)表示由表示由 k / 態(tài)躍遷到態(tài)躍遷到 k 態(tài)的散射幾率。態(tài)的散射幾率。 假定在散射過(guò)程中電子的假定在散射過(guò)程中電子的自旋不變自旋不變，那么，那么單位體積單位體積 中在單位時(shí)間中在單位時(shí)間由由 k 態(tài)散射到所有自旋相同的態(tài)散射到所有自旋相同的 k /態(tài)的態(tài)的 凈減幾率為凈減幾率為 同樣可以得到單位體積中在單位時(shí)間由同樣可以得到單位體積中在單位時(shí)間由 k /態(tài)散射到態(tài)散射到 所有自旋相同的所有自旋相同的 k 態(tài)的凈增幾率。態(tài)的凈增幾率。 ( , , )f r k t ba t 碰 碰撞導(dǎo)致的分布函數(shù)的變化就是凈增幾率和凈減幾碰撞導(dǎo)致的分布函數(shù)的變化就是凈增幾率和凈減幾 率之差，即率之差，即 3, 1 ()1( ) (2 ) k k bf kf kwdk 單位體積中在單位時(shí)間由單位體積中在單位時(shí)間由 k /態(tài)散射到所有自旋相同態(tài)散射到所有自旋相同 的的 k 態(tài)的凈增幾率為態(tài)的凈增幾率為 則分布函數(shù)隨時(shí)間變化的玻爾茲曼方程為則分布函數(shù)隨時(shí)間變化的玻爾茲曼方程為 r k f rfkfba t