基與維數(shù)的幾種求法

1、線性空間基和維數(shù)的求法方法一 根據(jù)線性空間基和維數(shù)的定義求空間的基和維數(shù)，即：在線性空間v中，如果有n個(gè)向量/，0(n滿足：%(，明線性無(wú)關(guān)。(2)v中任一向量口總可以由ot1, a2.otn線性表示。那么稱(chēng)v為n維(有限維)線性空間，n為v的維數(shù)，記為dimv = n ,并稱(chēng) cclg，ctn為線性空間v的一組基。如果在v中可以找到任意多個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，那么就成v為無(wú)限維的。例1設(shè)丫 =x ax =0, a為數(shù)域p上mn矩陣，x為數(shù)域p上n維向量，求v 的維數(shù)和一組基。解 設(shè)矩陣a的秩為r,則齊次線性方程組 ax =0的任一基礎(chǔ)解系都是 v的基，且v的維數(shù)為n -r 00 0 a)例2數(shù)域

2、p上全體形如的二階方陣，對(duì)矩陣的加法及數(shù)與矩陣的乘法所組成i-a bj的線性空間，求此空間的維數(shù)和一組基。解易證0 1y0 0 0 八0 h為線性空間v=-aab;a,bp 的一組線性無(wú)關(guān)的向j量組，且對(duì)v中任兀奈-aab;00；00按定義為v的一組基,v的維數(shù)為2。方法二 在已知線性空間的維數(shù)為 n時(shí)，任意n個(gè)向量組成的線性無(wú)關(guān)向量組均作成線(1卜與復(fù)數(shù)域0力c作為實(shí)數(shù)域r上的線性空間性空間的基。例3假定r ixn是一切次數(shù)小于n的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式添上零多項(xiàng)式所形成的線性空間，2n 1證明：1,(x1 )(x1)/h,(x1)構(gòu)成 rix1的基。n 1證明 考察 ki 1 +k2(x1)+川+k

3、n(x1) =0由xn的系數(shù)為0得kn = 0 ,并代入上式可得xnn的系數(shù)kn=0依此類(lèi)推便有kn = kn1=| 11 = k1 = 0 ,n 1 .故 1,(x1 )|,(x1 )線性無(wú)關(guān)又rix】n的維數(shù)為n，于是1,(x1 )|,(x1為rxn的基。方法三利用定理：數(shù)域p上兩個(gè)有限維線性空間同構(gòu)的充分必要條件是它們有相同的 維數(shù)。,證明：由實(shí)數(shù)域上的矩陣a的全體實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f ( a)組成的v =q+bi| a,b wr同構(gòu)，并非求它們的維數(shù)。證明 v中任一多項(xiàng)式可記為f ( a尸ae+ ba( a b r,建立v到v的如下映射二：二 1 =a1bli f1a =a1e b1a 2心

4、 r一、. 一 ._ . . .易證仃是v到v上的單射，滿射即一一映射。再設(shè) a2 =a2 +b2i, a2,b2 e r, k e r ,則有二: 1 . ：2 :尸一唯自 ab1 b2 i = a1 . a2 e . h - b2 a =。l,受二 k - 1 -；ka1 kb|i =kae ka1a = k。故仃是v到v的同構(gòu)映射，所以v到v同構(gòu)另外，易證v的一個(gè)基為1, i ,故dimv =2vvvdimv =2方法四 利用以下結(jié)論確定空間的基：設(shè)%02,11,%與日1,%11,是n維線性空間v中兩組向量,已知3,丹川，0n可由 巴戶2,川，線性表出：1 =ai1?1 - a21?2

5、hi - an1：n：2 =a121 , a22：-2 hl an21 n-n =a1n1 , a2n：2 , hi - hnn)na11 a12 iii a1n令a =如 a22川a2 n;an1 an 2 川 ann )如果尸2,川，、為v的一組基，那么當(dāng)且僅當(dāng)a可逆時(shí)，目1,久,111,4也是v的一組基。例5已知1,x,x2, x3是p 1x14的一組基，證明1,1 + x,(1 + x )2 ,(1 +x;也是p x4的一 組基。證明因?yàn)?31 =1 1 0 x 0 x 0 x2 31 x = 1 1 1 x 0 x 0 x(1 +x 2 =1 1 +2 x +1 x2 +0 x33

6、231 x = 1 1 3 x 3 x 1 x二01111 0 12 3 0 0 12 0 0 0 123所以 1,1+x,（1+x）,（1+x）也為 px的一組基。方法五 如果空間v中一向量組與 v中一組基等價(jià)，則此向量組一定為此空間的一組基。例6設(shè)r lx 1表示次數(shù)不超過(guò)2的一切實(shí)系數(shù)一元多項(xiàng)式添上零多項(xiàng)式所構(gòu)成的線性空間的一組基，證明 x2+x,x2x, x+1為這空間的一組基。 22證明 k1 x x k2 x -xk3 x 1 =0則 k1 k2 =0k1 -k2 k3 =0k3 =0解得 k3 = k2 = k1 =0于是x2 +x,x2 -x,x+1線性無(wú)關(guān)，它們皆可由x2,x

7、,1線性表示，因此x2+x, x2x, x+1與x2,x,1等價(jià)，從而 rx】2中任意多項(xiàng)式皆可由x2+x, x2x,x + 1線性表示，故x2+x,x2x,x+1為r fx】2的基。方法六利用下面兩個(gè)定理：定理一：對(duì)矩陣施行行初等變換和列變換，不改變矩陣列向量間的線性關(guān)系。定理二：任何一個(gè) mn矩陣a,總可以通過(guò)行初等變換和列變換它為標(biāo)準(zhǔn)階梯矩陣:,其中ir表示r階單位矩陣。0 0j依據(jù)這兩個(gè)定理，我們可以很方便地求出vlp|v2的一個(gè)基，從而確定了維數(shù)。例7設(shè)v1 =l(a,a2 ),v2 =l(p1,p2 )是數(shù)域f上四維線性空間的子空間，且%=(1,2,1,0 ),% =(1,1,1,

8、1)出=0-1,0,1 )久=(1,137 1求vidv2 的一個(gè)基與維 數(shù)。解若 r w v1 |v2,則存在 x, x2, y1，一丫2 亡 f ,使r =x1 +x22 = y#1 y2p2(1)即有 x1四 + x2a2 十 y1 01 + y2 02 = 0 (2)若叫 p2, p1, 02線性無(wú)關(guān)，(2)僅當(dāng)x = x2 = y1 = y2 = 0時(shí)成立那么v1civ2是零子空間，因而沒(méi)有基，此時(shí)維數(shù)為 0, v +v2是直和若存在不全為零的數(shù) x1，x2,y1,y2使(2)成立，則v1p1v2有可能是非零子空間若為非零子空間，由(1)便可得到基向量r o以巴,石書(shū)邛2為列向量作矩

9、陣 a,經(jīng)行初等變換將 a化為標(biāo)準(zhǔn)階才i1形矩陣 ao12 a =10-1211-1-110311710 0-10 104=a0 0 13、0 0 00, r =-o(1 +4a2 =-31 +打=(5,2,3,4 mv2 的一個(gè)基dim v1 hv2 =1同時(shí)知，31p2是v1的一個(gè)基，dimv1=2及2是v2的一個(gè)基，dim v2 =2%,%,九 久是m +v2的一個(gè)基，dim(m +v2 產(chǎn)秩(a)=3方法七 在線性空間v中任取一向量a ,將其表成線性空間 v 線性無(wú)關(guān)向量組的線 性組合的形式，必要的話需說(shuō)明向量組是線性無(wú)關(guān)的。這一線性無(wú)關(guān)向量組就是我們要找的基。例8求vi=l(o(i,

10、%)與v2 = l(pi, p2)的交的基和維數(shù)。、幾四=(1,2,1,0)=(2,-1。1)-2 =(-11,1,1)2 =(1,-1,3,7)解任取 v w v1 hv2，則 a w v1, a = x1a1 +x2a2，且 a w v2, a = y1 01 + y2p2,a =、% +x24 =丫1總+y2p (注：此時(shí) a雖然已表成一線性組合的形式，但它僅僅是在v1、v2中的表示，并非本題所求，即要在空間v1v2中將a線性表出)，xm +x2% 一乂&一y2p =0,求 x1,x2, y1,y2x1 - x2 -2 y1 y2 =0j 2x1 +x2 -必 +y2 =0x1 x2-3

11、y2 = 0x2-y7 y2 =0解得(x1,x2, y1,y2) =(k, -4k, -3k,k)二=k(:1 -4： 2) -k(-3 :1-)=k(5,-2,3,4)故mv2是一維的，基是(5,2,3,4)易知(5, 2,3,4)是非零向量，是線性無(wú)關(guān)的。方法八 按維數(shù)公式求子空間的交與和的維數(shù)和基維數(shù)公式：如果vv 是有限維線性空間v的兩個(gè)子空間，dimv1dimv2= dimv1v2dimv1qv2例 9 已知% =(3,-1,2,1 ),% =(0,1,0,2 )b1 =(1,0,1,3)b2=2,3,1,6)求由向量四，口2生成的p4的子空間v1 =1(%22 )與向量a,匡生成

12、的子空間 v2 = 13凡)的交與和空間的維數(shù)的一組基。解 因?yàn)関1 +v2 =l(u1,u2,p1,p25對(duì)以豆1,51, p2為列的矩陣施行行初等變換:3 0 12-110-32 0 111 2 3包0000-1 10-30 0-110003,秩人=秩8 =3,所以m +v2的維數(shù)是3且,32,21,3為極大線性無(wú)關(guān)組，故它們是 v +v2的一組基。又由巴，0(2線性無(wú)關(guān)知v1的維數(shù)為2,同理v2的維數(shù)也為2,由維數(shù)公式知v1v2的維數(shù)為(2 + 2 )3 = 1。從矩陣b易知.+12 =%2%,故b+也=(3,3,2,3)是公有的非零向量,所以它是交空間v1nv2的一組基。方法九 由替換

13、定理確定交空間的維數(shù)。替換定理：設(shè)向量組%,4,川fr線性無(wú)關(guān)，并且小產(chǎn)2川pr可由向量組k,葭川，a線性表出，那么1 r -s(2)必要時(shí)可適當(dāng)對(duì)吃，久,川，久中的向量重新編號(hào)，使得用%,%川，巴替換 日1,葭111,4后所得到的向量組%,%,川,日.十,川，久與向量組曰1,葭111,久等價(jià)。特另l當(dāng)r=s時(shí)，向量組,。2川,與向量組1凡,出上等價(jià)。例 10 已知向量組 %=(2,0,1,3),o(2 =(0,3,1,0)e3 =(1,2,0,2 ,a4 =(2,6,3,3),設(shè)它們是向量組 pl,隹邛3的線性組合，又設(shè)向量組1,2用1,口與向量組 團(tuán)，鳥(niǎo),比等價(jià)，試求1,2,| h/m生成的空間的交空間的基和維數(shù)?？?1、2032611033、023)00110-43261102-1 1020001-73200100-v020顯然口1,口