洛必達(dá)法則使用中常見錯(cuò)誤

1、洛必達(dá)法則使用中的5種常見錯(cuò)誤求極限是微積分中的一項(xiàng)非?；A(chǔ)和重要的工作。在建立了極限的四則運(yùn)算法則，反函數(shù)求導(dǎo)法則，以及復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則和求導(dǎo)證明之后，對(duì)于 普通的求極限問題，都可以通過上述法則來解決，但是對(duì)于形如：0,二產(chǎn)叫0 8產(chǎn)0,產(chǎn),00 (其中后面3種可以通過a=elna進(jìn)行轉(zhuǎn)換)0 二的7種未定型，上述法則往往顯得力不從心，而有時(shí)只能是望塵莫及。17世紀(jì)末期的法國(guó)數(shù)學(xué)家洛必達(dá)給出了一種十分有效的解決方案，我們稱之為洛必達(dá)法則(l,hospitalrule )。雖然這個(gè)法則實(shí)際上是瑞士數(shù)學(xué)家約翰第一.伯努力在通信中告訴洛必達(dá)的。在使用洛必達(dá)法則解題過程中，可能會(huì)遇到的一些常見誤

2、區(qū)和盲點(diǎn)。本文的目的不是為了追求解題技巧，而是為了培養(yǎng)一種好的解題習(xí)慣。以減少在用洛必達(dá)法則解題過程中可能出現(xiàn)的失誤。首先，復(fù)述洛必達(dá)法則的其中一種情形：hospital rule : 1 lim f (x)=四 g(x) = 002 在某 u (a, 6)內(nèi)，f(x), g(x)存在，且 g(x)#03 lim f (x)存在(或者00 ) x 同 g (x)皿 f(x) f (x)則lim lim x a g(x) x)a g (x)失誤一不預(yù)處理1lim xex x )01= !im0+x (ex)1二 lim 1 ex x_0,1、2)，一x11x.二 e正確：lim xex = li

3、m -x0 -x )0 , 1x失誤二急躁蠻干x 1 . e (-)=lim -x-0 -(1)x精品資料例：錯(cuò)解lim 3x3 3x 2 ) lim -3x 二 lim 4 ) lim 9 x 1 2x -x -4x 3 x 1 6x -2x-4 x 1 12x -2 x 1 12 2正確解:x3 -3x 2lim -32x 1 2x -x -4x 33x2-3=lim -2x 16x -2x-46x 3=lim =-x 11 12x-25:錯(cuò)解正確解:xxxe - cosx e sin xe cosxlim = =lim = lim xsin x i sin x xcosx x 0 cos

4、x cosx - xsin xxxe - cosx e sin x lim 二=limx 10xsin x x 0 sin x xcosx更好的解法：媽xe -cosxxe -cosxexsin xxsin x2x經(jīng)驗(yàn)：先考慮無窮小代換 （與0”結(jié)合，后考慮洛必達(dá)法則上面的例子啟發(fā)我們，在應(yīng)用洛必達(dá)法則之前要進(jìn)行預(yù)處理，以簡(jiǎn)化計(jì)算1 -cos2 x -lxsin2x2.2sin x- xsin xcosx2 / x2x (e -1)=limx-0sin x(sin x - xcosx)=limx-0sin x - xcosx=limxsin x失誤三對(duì)離散點(diǎn)列求導(dǎo)求lim n nn二0錯(cuò)解：屬

5、于9型,先進(jìn)行變形1ln nlim n nlim nnn elim ennln n limnnlim nen,二1= e錯(cuò)誤原因:f （n） =un是離散的點(diǎn)列，是系列孤立的點(diǎn),連續(xù)都談不上，更不用說可導(dǎo)。正確的解:lim x x =limx 二1lnxln x lim lim exlimex 二1 -01 - e因?yàn)閤lim+ od1所以lim n n =（這是“一般”到“特殊”的過程）失誤四li mf (x)g (x)異常（既不是常數(shù)，也不是）上5： |錯(cuò)解li mxj 二二x s inx=li m-x一)二1 c ox，而 limxj 二1 cosx不存在，所以lim - xj 二二x

6、sinx不存在正確解:x sin x1=1m(1 + sin x -)= 1 存在例6：錯(cuò)解：lim - x-sc2x cosx3x -sin x2-sinx二 limj 3 - cosx2 -sinx2x cosx,因?yàn)閘im不存在，所以 lim不存在x 3 - cosxx 3x - sin x2x cosx正確解：lim = limx: 3x - sinx x f-2 cosxsin x 3-失誤五濫用導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性設(shè) f (x)在某 u (0,6)存在，且 f (0) =1, f (0) =2 求.1- f(x)f (0)2一x1錯(cuò)解：lim = lim x p1 - f (x) x p

7、 一 f (x)錯(cuò)誤原因：f (x)在x=0處未必連續(xù)。(選擇題可以用此解法，這是種策略)正確解：lim2- =lim rt1 - f (x) x 0 f (x) -1=limx 0 f (x) - f (0)f (0) 21-(導(dǎo)數(shù)定義)x -0h, .一口 f f (x + h) -2f (x) + f (x h)f (x)在x處二階可導(dǎo)，求lim -2廿f (x h) -2f (x) f (x -h) f (x h) - 2f (x) f (x-h)錯(cuò)解 1 ： lim -2=lim -h 0h22hlim 2 h 0f (x-h) _ f (x)-h f (x h) - f (x) f

8、 (x -h) - f (x)1 f (x h) - f (x)二一 lim h2 h p il h=1im f (x) - f (x) l 0錯(cuò)誤原因：沒有分清在極限過程中h和x誰是變量，誰是常量f(x h) -2f (x) f(x-h) f (x h) - f (x-h)錯(cuò)解 2 : lim -h = lim h 0h2h 32h=眄 f (x h) 2 f(x-h) =1hmlf (x) f (x)l= f (x)錯(cuò)誤原因：二階導(dǎo)函數(shù)未必連續(xù)，即： lim f (x +h) = f (x)不一定成立h0注：由f*(x)存在，但f *(x)不一定連續(xù)，所以第 2個(gè)等號(hào)后面不符合羅必達(dá)法則的

9、條件正確解：lim f(x h)-2f 2x) f(x 叫二 lim f (x h) f (xh) h qh2h q 2h=111m f (x h) - f (x) f (x) - f (x -h)= 111m f (x h) - f (x) f (x- h) - f (x)2h 0h2 h 0lh- h1=1 f (x) + f (x) = f (x)(這是由導(dǎo)數(shù)定義得到的) 2經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：與 0”結(jié)合，先驗(yàn)后導(dǎo)，搖擺失效“驗(yàn)”有三個(gè)方面，按照需要判斷優(yōu)先級(jí)別0u是不是0,2f(x),g(x)是不是可導(dǎo)lim工是不是一個(gè)確定的常數(shù)或者g (x)對(duì)于側(cè)重于計(jì)算的填空題和選擇題，我們主要驗(yàn)證口，一般可以不必去驗(yàn)證 回， 團(tuán) 的驗(yàn)證級(jí)別最