空間直角坐標(biāo)系與空間向量典型例題(20210222171210)

1、空間直角坐標(biāo)系與空間向量、建立空間直角坐標(biāo)系的幾種方法 構(gòu)建原則: 遵循對(duì)稱性，盡可能多的讓點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上。作法: 充分利用圖形中的垂直關(guān)系或構(gòu)造垂直關(guān)系來建立空間直角坐標(biāo)系.類型舉例如下:（一）用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱構(gòu)建直角坐標(biāo)系例1 已知直四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，AAi = 2 ,底面ABCD是直角梯形，/A為直角，AB II CD , AB = 4 , AD = 2 , DC = i，求異面直線 BC i與DC所成角的余弦值.解析：如圖i，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 DA、DC、DDi所在直線為x、y、z軸建n圖1立空間直角坐標(biāo)系，則Ci （0， i，2 ）、B （2，4，

2、0），ujuruuu BCi （ 2，3,2），CD （0，i,O）.luiuuuu設(shè)BCi與CD所成的角為 ，uuuu uuuBCigCD3如貝H COSUuLH| |iuu.BCi CDi7（二）利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系例2 如圖2，在三棱柱 ABC AiBiCi中，AB丄側(cè)面BBiCiC, E為棱CCi上異于C、Ci 的一點(diǎn)，EA 丄 EBi 已知 AB . 2 , BBi = 2 , BC = i，/ BCCi= 求二3面角A EB i Ai的平面角的正切值.解析：如圖2,以B為原點(diǎn)，分別以 BBi、BA所在直線為y軸、z軸，過B點(diǎn)垂直于平面 AB i的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)

3、系.由于 BC = i , BB i = 2 , AB = ：，/ BCC i =,3在三棱柱 ABC AiBiCi 中，有 B (0, 0, 0)A (0, 0,.2 )Bi (0, 2 ,0)、c 3 ,- ,0、2 2C1 ,3,0 設(shè) E , a,0 且-2 2 2 2uju umr由 EA 丄 EBi，得 EAgfB,0,即于,a，邁g于,2 a,0uuur因 B1A1uuruiuBA (0,0,、2) , EAuuu uuuu故cosSAgBuAiEA| B-A3“2)2 c 30, 13門a(aa2 2a -aga0,44221 即a -或a3-(舍去).故E3 10222 2u

4、uruurumuuurmuuu由已知有EAEB1，B,AEB1,故二面角A EB 1 A1的平面角的大小為向量RAj與EA的夾角VAD是正(三) 利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系例3 如圖3，在四棱錐 V ABCD中，底面 ABCD是正方形，側(cè)面三角形，平面 VAD丄底面ABCD (1)證明AB丄平面VAD ;(2)求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值.解析：(1 )取AD的中點(diǎn)0為原點(diǎn)，建立如圖 3所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè) AD = 2，則 A (1 ,0,0)、 D ( 1 ,0,0)、 B (1 , 2 ,0)、V (0,0,. 3 ),uuuur一 AB =(0, 2 , 0), V

5、A =( 1 , 0, 3).uuu uir由 ABg/A (0 ,2 ,0)g(1,0 ,.3)0 ,得AB 丄 VA.又AB丄AD,從而 AB與平面 VAD內(nèi)兩條相交直線 VA、AD都垂直,AB丄平面VAD ；(2)設(shè)E為DV的中點(diǎn)，貝U E1,0,32，2uuu3-EA ,0,uuu3,EB -,2,3uur-,DV （1,0, 3）2222uuu uuir3小匕 g1, EBgDV,3）0 ,22 EB 丄 DV .又EA丄DV，因此/ AEB是所求二面角的平面角.7mu uuu uuu uuu EAgEB cos（EA,EB uuU|Uua EA EB故所求二面角的余弦值為.217(

6、四) 利用正棱錐的中心與高所在直線構(gòu)建直角坐標(biāo)系例4 已知正四棱錐 V ABCD中，E為VC中點(diǎn)，正四棱錐底面邊長(zhǎng)為 2a,高為h .(1) 求/ DEB的余弦值；(2) 若BE丄VC，求/ DEB的余弦值.解析：(1 )如圖4，以V在平面AC的射影0為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，其D （-a，-a，0）、 V中 Ox II BC，Oy/ AB，則由 AB = 2a，OV = h，有 B （a，a，0）、 C （- a，a， 0）l a a h(。，0，h八 E，uuu3BE2a，a 3h廠a,，2 22uuu mur cos BE,DEuuu uuuBE trnuu BE6a2 h22 21

7、0a h即 cos/ DEB6a2 h210a2 h2(2 )因?yàn)镋是VC的中點(diǎn)，又 BE丄VC，uu uur0，即3a h所以BEg/C2 a，二 a a，a， h) 0， 2 23 2 a2ah20, h2a .2 22/uuaiuir.6a2 h2這時(shí)C0SBEDE荷卡1，即 cos/ DEB1 33引入空間向量坐標(biāo)運(yùn)算，使解立體幾何問題避免了傳統(tǒng)方法進(jìn)行繁瑣的空間分析，只需建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行向量運(yùn)算，而如何建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，成為用向量解題的關(guān)鍵步驟之一下面以高考考題為例，剖析建立空 間直角坐標(biāo)系的三條途徑.(五)利用圖形中的對(duì)稱關(guān)系建立坐標(biāo)系圖形中雖沒有明顯交于一點(diǎn)的三條直線，但有

8、一定對(duì)稱關(guān)系(如正三棱柱、正四棱柱等)，利用自身對(duì)稱性可建 立空間直角坐標(biāo)系.例5已知兩個(gè)正四棱錐 P- ABCD與Q ABCD的高都為2，AB = 4 .(1 )證明：PQ丄平面 ABCD ；(2 )求異面直線 AQ與PB所成的角；(3 )求點(diǎn)P到面QAD的距離.簡(jiǎn)解：(1 )略；(2 )由題設(shè)知， ABCD是正方形，且 AC丄BD1)，易得故可分別以直線CA, DB,QP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖uuu uuuuuuuuuAQ ( 2一 2,0，2),PBuuir uuu(0,2 .2,2), cos AQ,PBuuir iuuuAQPBAQgPBI II ITI II Ml所

9、求異面直線所成的角是arccos1 .3(3 )由(2)知，點(diǎn) D(0,- uur2.2,0, AD(22,uuu2屈0) PQ(0,0,4)設(shè) n= (x, y, z)是平面 QAD 的一個(gè)Q 2x z 0法向量，則取x = 1，得n = (1, 1, V2) 點(diǎn)P到平面QAD的距離 x y 0,uurPQgi2點(diǎn)評(píng)：利用圖形所具備的對(duì)稱性，建立空間直角坐標(biāo)系后，相關(guān)點(diǎn)與向量的坐標(biāo)應(yīng)容易得出第（3）問也可用“等體積法”求距離向量法解立體幾何（一）知識(shí)點(diǎn)向量的數(shù)量積和坐標(biāo)運(yùn)算a,b是兩個(gè)非零向量，它們的夾角為 ，則數(shù)|a| |b|cos叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a b，即a b | a

10、 | | b | cos .其幾何意義是 a的長(zhǎng)度與b在a的方向上的投影的乘積.其坐標(biāo)運(yùn)算是：若 a (Xi,yi,zi),b (X2,y2,Z2)，則 a bx1x2y1y2ZjZ2 ； a bx1x2y1y2 cos a,bX1X2yi y2Z1Z2222222xiyizi；X2y2Z2（二）例題講解題型：求角度相關(guān)1. 異面直線m,n所成的角等于向量a,b所成的角或其分別在直線 m,n上取定向量a, b,則異面直線 m, n所成的角補(bǔ)角（如圖i所示），la b|a| |b|2. 直線L與平面所成的角| AB n |AB| ln|在L上取定AB，求平面 的法向量n （如圖2所示），再求co

11、s則一 為所求的角23. 二面角方法一：構(gòu)造二面角丨的兩個(gè)半平面、的法向量n1、n2 （都取向上的方 向，如圖3所示），則若二面角l是“鈍角型”的如圖3甲所示，那么其大小等于兩法向量 n、n2的夾角的補(bǔ)角，即 cosni n2I ni | | n2 |若二面角是“銳角型”的如圖3乙所示，那么其大小等于兩法向量夾角，即cosn1 n2|ni | “2 |方法二：在二面角的棱 I上確定兩個(gè)點(diǎn) A、B，過A、B分別在平面、岀與I垂直的向量n1、n2 （如圖4所示），則二面角I的大小等于向量的夾角，即 cos題型：求距離相關(guān)n1 n2|ni | In? |i.異面直線m、n的距離分別在直線 m、n上取

12、定向量a, b,求與向量m、n上各取一個(gè)定點(diǎn) A、B，則異面直線射影長(zhǎng)，即d| AB n|n|證明：設(shè)CD為公垂線段，取 CA a, DB bCD CA AB BDCD n (CA AB BD) n| CD n| | AB n|d | CD | AB n |n|設(shè)直線m,n所成的角為 ，顯然cosla b|a| |b|2.平面外一點(diǎn)p到平面 的距離求平面 的法向量n，在面內(nèi)任取一定點(diǎn)A，點(diǎn)p到平面 的距離d等于AP在n上的射影長(zhǎng)，即| AP n |n|三、法向量 例題解析題型：求空間角1、運(yùn)用法向量求直線和平面所成角r設(shè)平面a的法向量為n=( X, y, 1)，則直線AB和平面a所成的角e的正

13、弦值為sin e= cos(- 0)2uuu r=|cos| =uuu r AB ? n -tuu AB ?2、運(yùn)用法向量求二面角LT HlLT uuir uu設(shè)二面角的兩個(gè)面的法向量為n1,n2，則 q,n2 或n- n 1,n2是所求角。這時(shí)要借助圖形來判斷所求角為ir uuLT uu銳角還是鈍角，來決定 n 1,n2 是所求，還是n - n1,n2 是所求角題型：求空間距離1、求兩條異面直線間的距離設(shè)異面直線a、b的公共法向量為n (x, y, z)，在a、b上任取一點(diǎn) A、B，則uuu r異面直線a、b的距離：d =ABcos / BAAI ABr? n|n|略證：如圖，EF為a、b的

14、公垂線段,a為過F與a平行的直線,在a、b上任取一點(diǎn) A、B，過A作AA 仏EF，交a于A:umir r?_則 AA / n , uur r所以/ baa z = （或其補(bǔ)角）uuu r異面直線a、b 的距離 d =AB cos / BAA = AB ? n*|n|rr ruuu uuur其中，rn的坐標(biāo)可利用a、b上的任一向量a,b (或圖中的 AE,BF )，及n的定義得rr rn ran?a 0rr rnbn?b 0解方程組可得n2、求點(diǎn)到面的距離r求A點(diǎn)到平面a的距離，設(shè)平面a的法向量法為n (X, y,1)，在a內(nèi)任取一點(diǎn) B，則A點(diǎn)到平面a的距離：uuu rd =LAB=?n|,|n|n的坐標(biāo)由n與平面a內(nèi)的兩個(gè)不共線向量的垂直關(guān)系，得到方程組(類似于前面所述，若方程組無解，則r法向量與xoy平面平行，此時(shí)可改設(shè)n (1, y,0)，下同)。3、求直線到與直線平行的平面的距離r求直線a到平面a的距離，設(shè)平面a的法向量法為n (x, y,1)，在直線a上任取一點(diǎn) A，在平面a內(nèi)任取一點(diǎn)B，則