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1、2011年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案“數(shù)學(xué)周報(bào)杯”2011年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽(天津賽區(qū))試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題(共5小題,每小題7分,滿分35分)(1)設(shè),則代數(shù)式的值為( ).(a)0(b)1(c)1(d)2【答】c解:由已知得 于是 (2)已知為實(shí)數(shù),且滿足,則的最小值為( ).(a)(b)0(c)5(d)【答】d解:由 可得 于是 因此,當(dāng)時(shí),的最小值為(3)若,且滿足,則的值為( ).(a)1(b)2(c)(d)【答】c解:由題設(shè)可知,于是 ,所以故,從而于是(4)設(shè),則的整數(shù)部分等于( ).(a)4(b)5(c)6(d)7【答】a解:當(dāng),因?yàn)椋?于是有,故的整數(shù)部分等于
2、4 第(5)題(5)點(diǎn)分別在的邊上,相交于點(diǎn),設(shè),則與的大小關(guān)系為( ).(a) (b) (c) (d)不能確定【答】c解:如圖,連接,設(shè),則,從而有因?yàn)?,所以二、填空題(共5小題,每小題7分,共35分)(6)兩條直角邊長(zhǎng)分別是整數(shù)(其中),斜邊長(zhǎng)是的直角三角形的個(gè)數(shù)為 . 【答】31解:由勾股定理,得 因?yàn)閎是整數(shù),所以是1到4023之間的奇數(shù),而且是完全平方數(shù),這樣的數(shù)共有31個(gè),即因此a一定是3,5,63,故滿足條件的直角三角形的個(gè)數(shù)為31(7)一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1,2,2,3,3,4;另一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1,3,4,5,6,8.
3、同時(shí)擲這兩枚骰子,則其朝上的面兩數(shù)之和為7的概率是 .【答】解: 在36對(duì)可能出現(xiàn)的結(jié)果中,有6對(duì):(1,6), (2,5), (2,5), (3,4),(3,4),(4,3)的和為7,所以朝上的面兩數(shù)字之和為7的概率是.(8)若的最大值為a,最小值為b,則的值為 .【答】解:由0,且0,得由于,所以當(dāng)時(shí),取到最大值1,故當(dāng)或1時(shí),取到最小值,故所以,(9)如圖,雙曲線(x0)與矩形oabc的邊cb, ba分別交于點(diǎn)e,f,且af=bf,連接ef,則oef的面積為 .【答】解:如圖,設(shè)點(diǎn)b的坐標(biāo)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為.因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上,所以 又點(diǎn)在雙曲線上,且縱坐標(biāo)第(9)題為,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.于是
4、第(10)題(10)如圖,在rtabc中,斜邊ab的長(zhǎng)為35,正方形cdef內(nèi)接于abc,且其邊長(zhǎng)為12,則abc的周長(zhǎng)為 .【答】84解:如圖,設(shè)bca,acb,則1225 又rtafertacb,所以,即, 故 由得 ,解得ab49(另一個(gè)解25舍去),所以 三、解答題(共4題,每題20分,共80分)(11)已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)整數(shù)根恰好比方程的兩個(gè)根都大1,求的值. 解:設(shè)方程的兩個(gè)根為,其中為整數(shù),且,則方程的兩根為,由題意得, 5分兩式相加,得,即 , 所以, 或 10分 解得 或又因?yàn)?所以;或者,故,或29. 20分(12)如圖,點(diǎn)為的垂心,以為直徑的和的外接圓相交于點(diǎn),
5、延長(zhǎng)交于點(diǎn),求證:點(diǎn)為的中點(diǎn).證明:如圖,延長(zhǎng)交于點(diǎn),連接.因?yàn)闉榈闹睆?,所?分故為的直徑.于是. 10分 又因?yàn)辄c(diǎn)為的垂心,所以 所以,四邊形為平行四邊形. 15分 所以點(diǎn)為的中點(diǎn). 20分(13) 如圖,點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn),兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,過點(diǎn)任作直線交拋物線于,兩點(diǎn).()求證:=;()若點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1),且=60,試求所有滿足條件的直線的函數(shù)解析式. 解:()如圖,分別過點(diǎn)作軸的垂線,垂足分別為.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,),則點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-).設(shè)直線的函數(shù)解析式為,并設(shè)的坐標(biāo)分別為 ,.由 得,于是 ,即 .于是, 5分又因?yàn)椋? 因?yàn)?,所? 故=. 10分()解法一 設(shè),不妨設(shè)0,由()可知=,=,=, 所以 =,=.因?yàn)?,所?于是,即所以由()中,即,所以于是,可求得 . 將代入,得到點(diǎn)的坐標(biāo)(,). 15分再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入,求得 .所以直線的函數(shù)解析式為.根據(jù)對(duì)稱性知,所求直線的函數(shù)解析式為,或. 20分解法二 設(shè)直線的函數(shù)解析式為,其中.由()可知,=,所以.故 .將代入上式,平方并整理得,即.所以 或.又由(),得,.若代入上式得 從而 .同理,若 可得 從而 .所以,直線的函數(shù)解析式為
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