可靠性試驗(yàn)分析及設(shè)計(jì)

1、如有幫助，歡迎下載。ji第四章(44)可靠性試驗(yàn)與設(shè)計(jì)四、最小二乘法用圖估法在概率紙上描出出，卩(1) 1點(diǎn)后,憑目視作分布檢驗(yàn)判別所作的回歸直線往往因人而異，因此最好再通過(guò)數(shù)值計(jì)算求出精確的分布檢驗(yàn)結(jié)論和求出數(shù)學(xué)擬合的回歸直線。通常用相關(guān)系數(shù)作分布檢驗(yàn)，用最小二乘法求回歸直線。相關(guān)系數(shù)由下式求得：n遲(Xi -X)(Y -Y):(Xi x)2(Y -丫)2其中X,Y是回歸直線的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，它隨分布的不同而不同。下表是不同分布的 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換不同分布的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換分布類型XiYmB指數(shù)分布Xi =tiin11-F(t)X0威布爾分布Xi =1 ntiin ln11-F(t)mlnt0正態(tài)分布Xi之

2、皆 IF(t)1石對(duì)數(shù)正態(tài)分布Xi = log ti眉F(t)l1P一般，的取值在01之間，越接近1 ,說(shuō)明變量的線性關(guān)系越密切。 只有相關(guān)系數(shù)大于臨界值 時(shí)，才能判定所假設(shè)的分布成立。o臨界系數(shù)可查相應(yīng)的臨界相關(guān)系數(shù)表，如給定顯著水平- -0.05, n=10,可查表得0 =0.576。若計(jì)算的卜0，則假設(shè)的分布成 立。如果回歸的線性方程為丫 = mX - B則由最小二乘法得到系數(shù)為nn-瓦Y +能Xi g二亠土Nni nn、XiY-于 XT Yi 4N i 4 i jn( Xi)2i 4代入上表中的不同的分布，就可以得到相應(yīng)分布的參數(shù)估計(jì)值。五、最好線性無(wú)偏估計(jì)與簡(jiǎn)單線性無(wú)偏估計(jì)1、無(wú)偏估

3、計(jì)不同子樣有不同的參數(shù)估計(jì)值 q，希望q在真值q附近徘徊。若E(q)= q，則(?為q的qe(o= e邋 1 n=無(wú)偏估計(jì)。如平均壽命的估計(jì)為(為q的無(wú)偏估計(jì)2、最好無(wú)偏估計(jì)定義若qk的方差比其它無(wú)偏估計(jì)量的方差都小，即D(qk)= min D(qk)，貝U ?為最好無(wú)偏估計(jì)。3、線性估計(jì)定義若估計(jì)量c?是子樣的一個(gè)線性函數(shù)，即c?= ?i=1aiCi，則稱c?為線性估計(jì)。4、最好線性無(wú)偏估計(jì)當(dāng)子樣數(shù)n 25時(shí)，通過(guò)變換具有性無(wú)偏估計(jì)為：F(C)形式的壽命分布函數(shù)，其sm,s的最好線rm二? D(n,r,j)Xji= 1s?= ? C(n,r,j)Xj其中D(n,r,j),C(n, r,j)分

4、別為m,s的無(wú)偏估計(jì)，有了n, r,j后，可有專門表格查無(wú)偏系數(shù) D(n,r, j),C(n,r, j)。常用的壽命分布均可通過(guò)下表轉(zhuǎn)換為F (C)sX - 1F ()分布轉(zhuǎn)換表CF分布類型Xa指數(shù)分布t01/九極值分布tPa正態(tài)分布ta威布爾分布lntlnngx,n/m對(duì)數(shù)正態(tài)分布lntCT表中g(shù)x,n為m的修偏系數(shù)，可根據(jù)子樣數(shù)n和截尾數(shù)r查可靠性試驗(yàn)用表得到。5、簡(jiǎn)單線性無(wú)偏估計(jì)當(dāng)n 25時(shí)，簡(jiǎn)單線性無(wú)偏估計(jì)的方法具有計(jì)算簡(jiǎn)單，估計(jì)精度高的特點(diǎn)，適用于大子樣，對(duì)具有F(CJ)形式的分布參數(shù) m,s的簡(jiǎn)單線性無(wú)偏估計(jì)值為:s9= (2s- r)Xs-式中:?rs= j?0.892n + 1

5、20/9.，0-8920表示整數(shù)部分，5是s的無(wú)偏系數(shù)。ks.r.n可按子樣數(shù)n與截尾數(shù)r從可靠性試驗(yàn)用表中查出。13m二 Xs.n - E(Zs.n)sXs.n是定數(shù)截尾時(shí)的次序統(tǒng)計(jì)量。E(Z2.n )是標(biāo)準(zhǔn)極小值分布容量為n的子樣中第s個(gè)次序量的數(shù)學(xué)期望值，同樣可查簡(jiǎn)單線性無(wú)偏估計(jì)表得出。 4.3.2分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)簡(jiǎn)介點(diǎn)估計(jì)中給出的是參數(shù)的一個(gè)估計(jì)值，不同樣本的點(diǎn)估計(jì)值一般是不同的。同一樣本不同點(diǎn)估計(jì)量估計(jì)出的點(diǎn)估計(jì)值也不同，因此點(diǎn)估計(jì)是一個(gè)隨機(jī)變量，它有一定的變動(dòng)范圍，因此應(yīng)該將(?與q間的誤差大小考慮進(jìn)去， 所用的方法就是給出參數(shù)的估計(jì)區(qū)間。 在這個(gè)區(qū) 間中包含有真值q是有一定概率

6、的。因此給出的區(qū)間是在一定的置信水平要求下的曲線，稱其為置信區(qū)間，即：(*)PG # qqu) = 1- aqL,qu分別為置信下限和置信上限，1- a為置信水平或置信系數(shù)。：是不包含真值的概率,稱為風(fēng)險(xiǎn)度(顯著水平)。(*)式為雙側(cè)置信區(qū)間，而P(q? qu) 1- aP(q qL)= 1- a分別表示單置信區(qū)間。 可靠性分析中，通常對(duì)單側(cè)置信下限更感興趣。 間必須掌握樣本函數(shù)的分布，其計(jì)算也較點(diǎn)估計(jì)復(fù)雜和困難。求未知參數(shù)的置信區(qū)指數(shù)分布的區(qū)間估計(jì)可以證明，對(duì)指數(shù)分布，其統(tǒng)計(jì)量空吐2(Z)是服從自由度z的c2分布:S(t)是總的試驗(yàn)時(shí)間，q是平均壽命的真值，z是c2分布的自由度，由不同截尾壽

7、命試驗(yàn)方法的故障數(shù)r確定。在給定置信度1- a下，雙側(cè)置信區(qū)間有:P2s(t)c：#q2s(t)Ca12 = 1- a其中:2s()c：(z)2CLS(t),2s(t) (Z)1- 2=Cus(t)單側(cè)置信下限為:2s(t)2Ca(Z)=C(t),qu =s(t) = CjS(t)C1-a(Z)CL,Cu為雙側(cè)置信系數(shù)，CLiiCu為單側(cè)置信系數(shù)。可見(jiàn)下表。置信系數(shù)公式置信限定數(shù)截尾定時(shí)截尾雙側(cè)C L =/c 2 (2 r)cL = /Va (2 r + 2)CU =丿冷(2)C U =$花:丄(2 r + 2)單側(cè)卅=天 a2 (2 r)c F； (2 r +2)cv0=天2 a(2r)E

8、/Kr + 2)例。有20件產(chǎn)品進(jìn)行可靠性試驗(yàn)，試驗(yàn)在100h截尾，觀測(cè)到故障次數(shù)為 7次，試(2 )雙側(cè)90%置信系數(shù)。驗(yàn)的總時(shí)間為3020h，試計(jì)算： 單側(cè)90%置信系數(shù); 解：(1).單側(cè)90%置信系數(shù)血%2.1(16)=%3.542=.08495(2).雙側(cè)90 %置信系數(shù)CL =26 3= 0.07605,Cu =0.3044二. 二項(xiàng)分布的區(qū)間估計(jì)二項(xiàng)分布常用于計(jì)算冗余元件相同、并行工作冗余系統(tǒng)的成功概率。它也適用于計(jì) 算可靠性依賴于時(shí)間的元件、一次性使用的設(shè)備(多級(jí)導(dǎo)彈分離器、閃光燈和一次使用 的工作元件)的失效概率，也適用于計(jì)算那些只要求工作一段時(shí)間而不再使用諸如導(dǎo)彈 發(fā)動(dòng)機(jī)、

9、短壽命的電池等一次使用的工作設(shè)備的可靠度。其失效概率是個(gè)常數(shù)。對(duì)于成敗型產(chǎn)品在 n次試驗(yàn)中故障r次數(shù)的概率可用二項(xiàng)分布描述， 其可靠度置信 下限由下式表示：ri n- ii? Cn RL (1- RL) = a i= 0n-被試樣本數(shù)，r-故障數(shù)，Rl-產(chǎn)品可靠度的下限，可這樣解釋:若產(chǎn)品可靠度太低，則試驗(yàn)中出現(xiàn)r個(gè)或比r個(gè)還少的事件的可能性是不高的， 或者說(shuō)R不會(huì)低于使出現(xiàn)r次和r次還少的事件” 成為小概率事件。因?yàn)楫?dāng) a為 小概率時(shí)，1- a為置信度，上述公式限制了產(chǎn)品的可靠度應(yīng)為下限，所以：P(R? R)1- aR可查 ,在n次試驗(yàn)中如果故障為零時(shí)，則R = a n如：20只產(chǎn)品試驗(yàn)，故

10、障數(shù)r= 0,置信度0.95時(shí)的可靠度下限 RL為:R = an = (1- 0.95)1/20 = 0.0520 = 0.86三、正態(tài)分布的區(qū)間估計(jì)若可靠性壽命試驗(yàn)得到n個(gè)部件的壽命數(shù)據(jù)，且利用點(diǎn)估計(jì)方法得到啟5?，由數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論，可知統(tǒng)計(jì)量(r?- m)t(n- 1)分布，這里t(n- 1)是自由度n-1個(gè)的t分布,因此得到:s(n- 1) = 1- a2從而得參數(shù) m的置信區(qū)間:mL = I?- ta(n- 1)Q 石，mu = m+ ta (n-2通常對(duì)對(duì)單側(cè)置信的下限 I更感興趣，故用下式得到平均壽命的下限:四、威布爾分布的區(qū)間估計(jì)這里只介紹采用極大似然估計(jì)時(shí)，兩參數(shù)威布爾分布的區(qū)間

11、估計(jì)，它適用于完全樣本及定數(shù)、定時(shí)試驗(yàn)子樣。設(shè)通過(guò)極大似然估計(jì)得到兩參數(shù)威布爾分布參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)m,h?。1. 參數(shù)m的點(diǎn)估計(jì)在置信度1- a時(shí)，參數(shù)m的置信區(qū)間為:式中“二佟/曲,w2 二$(1+* , q= ，c= 2.14628- 1.361119q rcrcz mK = c：c(r- 1), k2= c：ac(r- 1)1 -2 22.參數(shù)h的估計(jì)在置信度1- a時(shí)，參數(shù)h的置信區(qū)間為：AI?,A2hA,A2分兩種情況(1).r = n,完全樣本，(2).rn，截尾樣本)，首先計(jì)算以下常數(shù)：-1A = 049q- 0.314+ 0.622q,A, = 0.2445(1.78- q)(2.

12、25 + q) ,A = 0.029- 1.0831 n(1.325q)(1).當(dāng)r 250h , F2的秩為2，而S|, s2, S3, F3之后有4! = 24種排法。因此可以看出，有6種排法使F2排為3,有24種排法使F2排為2,于是可計(jì)算F?的平 均秩次：n2 = (6? 324? 2)； (624) = 2.2同理可以排出F3的秩次：F3排第3，有6種排法。F3排第4、5、6,有8種排法。于是計(jì)算F3的秩次平均值：n3= (6? 38? 48? 58? 6/ (68+ 8+ 8) = 4.6于是我們就得出F1,F2,F3的秩次相應(yīng)為1, 2.2, 4.6。利用中位秩方法得到故障試件的

13、累積故障率f i(i = 1,2,3):f i = (n - 0.32). (n+ 0.36) , n 為試件數(shù)。于是有：f 1 = (1- 0.32). (6 + 0.36) = 0.107 ,f 2 = (2.2 - 0.32). (6+ 0.36) = 0.296,f 3 = (4.6- 0.32), (6+ 0.36) = 0.673。有了三組數(shù)(nfi)，可用圖估法進(jìn)行分布檢驗(yàn)和對(duì)多種可靠性指標(biāo)進(jìn)行估計(jì)。實(shí)踐表明， 上述方法對(duì)n較大是相當(dāng)麻煩的。下面介紹一種直接求得試件秩次的公式：Ak = Ak- 1 + D k ,Dk=(n+2- ik)式中，n為試件數(shù)，ik第k次故障數(shù)據(jù)的總排秩

14、次,D k為秩次增量。 A為平均秩次上例計(jì)算中,Di =(6+1-)(6+2-1=1，A=0+1=1D2=(6+1-l)(6+2-3)=佗a2=1+1-2= 2.2D3=(6+仁 2.%+ 2- 6)= 24，A3 = 2. 2+ 2. 44. 6與前面排序完全一樣。 這里注意的是取ik時(shí)，均是取長(zhǎng)壽命的排序， 如D2中ik為3,不是2,D 3中取ik = 6。如故障數(shù)據(jù)之間無(wú)截尾數(shù)據(jù)時(shí)，則有二k “ -耳，這時(shí)，ik d = ik 1 利用上式再做一個(gè)例子。例：試汽車某種零件的壽命， 有7500輛在外運(yùn)行，已有46輛報(bào)告有零件故障，以及知 道故障前行駛公里，對(duì)未故障零件的也知道行駛公里數(shù)，具

15、體為：序號(hào)行駛公里(km)故障零件(件)未故障零件(件)10- 100019253021000-200011148032000-3000771143000-4000560554000-5000493665000以上01192解：利用 Ak = Ak- 1 + D kDk=(i7(n+2-ik)公式計(jì)算。在第一段中，行駛1000km，已有19個(gè)零件故障，2530個(gè)未故障，2530個(gè)可以看作截 尾數(shù)，相當(dāng)于出現(xiàn)19個(gè)故障零件的排序開(kāi)始?？傑嚁?shù) 7500輛對(duì)應(yīng)的故障概率：A = 0+ 19 譊 1= 19?(7501- 0)/(7502 - 2530)28.67,f 1 = (Fj- 0.32).(

16、n+ 0.36) = (28.67- 0.32). (7500+ 0.36) = 0.378%同樣計(jì)算可得：A2 = 28.67+ 11?(7501- 2867)(7502- 4030)52.31(4030 = 2530+ 1480+ 19 + 1)f 2 = (52.31 - 0.32) . (7500 + 0.36) = 0.693%A3=52.31+7?(7501-52.31)(7502-4752)7127(2530 + 1480+ 711 + 19+ 11+ 1 = 4752)f 3= (71.27 - 0.32) .(7500+ 0.36) = 0.946%人=71.27+ 5? (

17、7501- 了1.27)- 5364)88.65f 4 = (88.65 - 0.32) (7500 + 0.36) = 1.18%88.65 + 4*7501- 88.657502- 6305=113.421.51%113.42- 0.32 _7500 + 0.36通過(guò)五組數(shù)據(jù)(1000,0.378%),(2000,0.69%),(3000,0.946%),(4000,1.18%),(5000,1.51%)可用圖估計(jì)法對(duì)分布進(jìn)行檢驗(yàn)及對(duì)參數(shù)和可靠性指標(biāo)進(jìn)行估計(jì)。二. 夭折試驗(yàn)法試件全部故障的試驗(yàn)要花費(fèi)很多時(shí)間，這些對(duì)于搶時(shí)間的任務(wù)是不合算的。對(duì)于總體壽命是威布爾分布的產(chǎn)品，有一種稱為夭折壽命

18、試驗(yàn)的方法可以較大地縮短壽命試驗(yàn)時(shí)間。從一批試樣中，隨機(jī)均分若干組(組的數(shù)量應(yīng)大一些)進(jìn)行試驗(yàn)，每組產(chǎn)品中當(dāng)出現(xiàn)頭一個(gè)故障即停止試驗(yàn)。這樣每組得到一個(gè)最短壽命，稱為該組的“夭折”壽命，各組夭折壽 命組成的集合是受試產(chǎn)品母體中的子總體。兩個(gè)總體之間存在一定關(guān)系：(1) .認(rèn)為夭折壽命分布仍是威布爾分布，其形狀參數(shù)與母體相同。(2) .夭折壽命的特征壽命參數(shù) h與母體特征壽命h之間為h = h /m n。(證明略)。下面舉一個(gè)例子說(shuō)明具體的做法。例：一批機(jī)械零件，隨機(jī)抽取40個(gè)試件，再隨機(jī)分五組進(jìn)行夭折試驗(yàn)，各組所得夭折壽命依次為70h、15h、120h、26h、60h，經(jīng)秩次排列，并算出相應(yīng)的故障概率如下表：秩次夭折壽命tk(h)故障概率f k11512.70%22631.40%36050.00%47068.70%512087.30%上述故障概率；使用中位秩法計(jì)算得到。把上面5組數(shù)據(jù)(tk,f k)在威布爾概率紙上進(jìn)行圖估計(jì)，估計(jì)出夭折壽命分布參數(shù)m=i2h?0 = 6