解析幾何(圓錐曲線)全國名校高中數(shù)學模擬試題匯編

1、2009屆全國百套名校高三數(shù)學模擬試題分類匯編圓錐曲線1、已知橢圓c過點是橢圓的左焦點，p、q是橢圓c上的兩個動點，且|pf|、|mf|、|qf|成等差數(shù)列。（1）求橢圓c的標準方程；（2）求證：線段pq的垂直平分線經(jīng)過一個定點a；（3）設(shè)點a關(guān)于原點o的對稱點是b，求|pb|的最小值及相應點p的坐標。解：（1）設(shè)橢圓的方程為，由已知，得，解得所以橢圓的標準方程為（2）證明：設(shè)。由橢圓的標準方程為，可知同理4分，5分當時，由，得從而有設(shè)線段的中點為，由6分得線段的中垂線方程為7分，該直線恒過一定點8分當時，或線段的中垂線是軸，也過點，線段的中垂線過點（3）由，得。又，時，點的坐標為2、如圖，在

2、直角坐標系中，已知橢圓的離心率e，左右兩個焦分別為過右焦點且與軸垂直的直線與橢圓相交m、n兩點，且|mn|=1 () 求橢圓的方程；() 設(shè)橢圓的左頂點為a,下頂點為b，動點p滿足，（）試求點p的軌跡方程，使點b關(guān)于該軌跡的對稱點落在橢圓上. 解：()軸，,由橢圓的定義得： （2分）， （4分）又得 ， 所求橢圓c的方程為 ()由（）知點a(2,0)，點b為（0，1），設(shè)點p的坐標為則，,由4得，點p的軌跡方程為. 設(shè)點b關(guān)于p的軌跡的對稱點為，則由軸對稱的性質(zhì)可得：，解得：， 點在橢圓上， ，整理得解得或 點p的軌跡方程為或， 經(jīng)檢驗和都符合題設(shè)，滿足條件的點p的軌跡方程為或 （15分）3、

3、(上海市張堰中學高2009屆第一學期期中考試)橢圓：的兩個焦點為、，點在橢圓上，且，且，.（1）求橢圓的方程.（2）若直線過圓的圓心，交橢圓于、兩點，且、關(guān)于點對稱，求直線的方程.解：(1)又（2） 即4、在直角坐標平面內(nèi)，已知點， 是平面內(nèi)一動點，直線、斜率之積為. ()求動點的軌跡的方程；()過點作直線與軌跡交于兩點，線段的中點為,求直線的斜率的取值范圍.解: ()設(shè)點的坐標為，依題意，有 . 化簡并整理，得.動點的軌跡的方程是. ()解法一：依題意，直線過點且斜率不為零，故可設(shè)其方程為, 6分由方程組 消去，并整理得 設(shè),則 , (1)當時，； (2)當時,.且 . 綜合(1)、(2)可

4、知直線的斜率的取值范圍是：. 14分解法二：依題意，直線過點且斜率不為零.(1) 當直線與軸垂直時，點的坐標為，此時，； 6分(2) 當直線的斜率存在且不為零時，設(shè)直線方程為, (3) 由方程組 消去，并整理得 設(shè),則 , .且 . 綜合(1)、(2)可知直線的斜率的取值范圍是：.5、在直角坐標系xoy中，橢圓c1：=1（ab0）的左、右焦點分別為f1，f2f2也是拋物線c2：的焦點，點m為c1與c2在第一象限的交點，且mf2=（）求c1的方程；（）平面上的點n滿足，直線lmn，且與c1交于a，b兩點，若，求直線l的方程解：（）由：知設(shè)，在上，因為，所以，得，在上，且橢圓的半焦距，于是消去并整

5、理得 ， 解得（不合題意，舍去）故橢圓的方程為（）由知四邊形是平行四邊形，其中心為坐標原點，因為，所以與的斜率相同，故的斜率設(shè)的方程為由 消去并化簡得 設(shè)，因為，所以 所以此時，故所求直線的方程為，或6、已知雙曲線，p是其右支上任一點，f1、f2分別是雙曲線的左、右焦點，q是p f1上的點，n是f2q上的一點。且有 求q點的軌跡方程。7、已知在平面直角坐標系中，向量，且 .（1）設(shè)的取值范圍；（2）設(shè)以原點o為中心，對稱軸在坐標軸上，以f為右焦點的橢圓經(jīng)過點m，且取最小值時，求橢圓的方程.解：（1）由，得 夾角的取值范圍是（）（2） 當且僅當橢圓長軸故所求橢圓方程為.8、橢圓c的中心為坐標原點

6、o，焦點在y軸上，離心率e = ，橢圓上的點到焦點的最短距離為1, 直線l與y軸交于點p（0，m），與橢圓c交于相異兩點a、b，且 （1）求橢圓方程；（2）若，求m的取值范圍解：（1）設(shè)c：1（ab0），設(shè)c0，c2a2b2，由條件知ac，a1，bc，故c的方程為：y21 5（2）由，14，3或o點與p點重合= 7當o點與p點重合=時，m=0當3時，直線l與y軸相交，則斜率存在。設(shè)l與橢圓c交點為a（x1，y1），b（x2，y2） 得（k22）x22kmx（m21）0（2km）24（k22）（m21）4（k22m22）0 （*）x1x2， x1x2 113 x13x2 消去x2，得3（x1x2

7、）24x1x20，3（）240整理得4k2m22m2k220 13m2時，上式不成立；m2時，k2，因3 k0 k20，1m 或 m1容易驗證k22m22成立，所以（*）成立即所求m的取值范圍為（1，）（，1）0 9、已知一動圓m,恒過點f，且總與直線相切,（）求動圓圓心m的軌跡c的方程；（）探究在曲線c上,是否存在異于原點的兩點,當時,直線ab恒過定點?若存在,求出定點坐標;若不存在,說明理由.解: (1) 因為動圓m,過點f且與直線相切,所以圓心m到f的距離等于到直線的距離.所以,點m的軌跡是以f為焦點, 為準線的拋物線,且,所以所求的軌跡方程為 (2) 假設(shè)存在a,b在上,所以,直線ab

8、的方程:,即 即ab的方程為:,即 即:，令,得，所以,無論為何值,直線ab過定點(4,0)10、(廣東省佛山市三水中學2009屆高三上學期期中考試)如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點m(2,1)，平行于om的直線l在軸上的截距為，l交橢圓于a、b兩個不同點.（1）求橢圓的方程；（2）求m的取值范圍；（3）求證直線ma、mb與軸始終圍成一個等腰三角形. 解：（1）設(shè)橢圓方程為則橢圓方程 （2）直線l平行于om，且在軸上的截距為m又l的方程為：由直線l與橢圓交于a、b兩個不同點，m的取值范圍是 （3）設(shè)直線ma、mb的斜率分別為k1，k2，只需證明k1k2=0即

9、可9分設(shè)可得而k1k2=0故直線ma、mb與x軸始終圍成一個等腰三角形.11、(成都市2009屆高三入學測試)已知橢圓的兩個焦點、，直線是它的一條準線，、分別是橢圓的上、下兩個頂點（）求橢圓的方程；（）設(shè)以原點為頂點，為焦點的拋物線為，若過點的直線與相交于不同、的兩點、，求線段的中點的軌跡方程，令，消去參數(shù)，得到為所求軌跡方程解：（）設(shè)橢圓方程為=1(ab0)由題意，得c1，4 a2，從而b23橢圓的方程；（）設(shè)拋物線c的方程為x22py(p0)由2 p4拋物線方程為x28y設(shè)線段mn的中點q(x,y)，直線l的方程為ykx1由得，（這里0恒成立），設(shè)m(x1,y1),n(x2,y2)由韋達定

10、理，得，所以中點坐標為q，x4k,y4k21消去k得q點軌跡方程為：x24(y1)12、如圖，設(shè)f是橢圓的左焦點，直線l為其左準線，直線l與x軸交于點p，線段mn為橢圓的長軸，已知 （1）求橢圓c的標準方程； （2）若過點p的直線與橢圓相交于不同兩點a、b求證：afm=bfn； （3）（理科）求三角形abf面積的最大值。解（1） （2）當ab的斜率為0時，顯然滿足題意當ab的斜率不為0時，設(shè)，ab方程為代入橢圓方程整理得則綜上可知：恒有.（3）（理科）當且僅當（此時適合0的條件）取得等號.三角形abf面積的最大值是313、已知圓方程為：.（）直線過點，且與圓交于、兩點，若，求直線的方程;（）過

11、圓上一動點作平行于軸的直線，設(shè)與軸的交點為，若向量，求動點的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線.解（）當直線垂直于軸時，則此時直線方程為，與圓的兩個交點坐標為和，其距離為 滿足題意 若直線不垂直于軸，設(shè)其方程為，即 設(shè)圓心到此直線的距離為，則，得 ， 故所求直線方程為 綜上所述，所求直線為或 （）設(shè)點的坐標為（），點坐標為則點坐標是 ， 即， 又， 點的軌跡方程是， 軌跡是一個焦點在軸上的橢圓，除去短軸端點。 12分14、若為雙曲線的左、右焦點，為坐標原點，點在雙曲線左支上，點在右準線上，且滿足：. (1)求此雙曲線的離心率； (2)若此雙曲線過點，且其虛軸端點分別為(在軸正半軸上)，點在雙曲線

12、上，且當時，求直線的方程.解：(i)由，知四邊形pf，om為平行四邊形，又op為f1om的角平分線.則pf1om為菱形.即(ii)由e2有：，雙曲線方程可設(shè)為，又點n(2，)在雙曲線上，雙曲線方程為從而b1(0，3)，b2(0，3).共線.設(shè)ab的方程為：ykx3且設(shè)由， 又：，由得：.15、設(shè)橢圓c：的左焦點為f，上頂點為a，過點a與af垂直的直線分別交橢圓c與x軸正半軸于點p、q，且. 求橢圓c的離心率；若過a、q、f三點的圓恰好與直線l：相切，求橢圓c的方程.foapqyx解：設(shè)q（x0，0），由f（c，0）a（0，b）知 設(shè)，得 因為點p在橢圓上，所以整理得2b2=3ac，即2(a2c

13、2)=3ac，,故橢圓的離心率e=由知， 于是f（a，0） q，aqf的外接圓圓心為（a，0），半徑r=|fq|=a 所以，解得a=2，c=1，b=，所求橢圓方程為16、設(shè)橢圓方程為=1，求點m（0，1）的直線l交橢圓于點a、b，o為坐標原點，點p滿足，當l繞點m旋轉(zhuǎn)時，求動點p的軌跡方程.解：設(shè)p（x，y）是所求軌跡上的任一點，當斜率存在時，直線l的方程為y=kx1，a（x1，y1），b（x2，y2），聯(lián)立并消元得：（4k2）x22kx3=0， x1x2=y1y2=，由 得：（x，y）=（x1x2，y1y2），即：消去k得：4x2y2y=0當斜率不存在時，ab的中點為坐標原點，也適合方程所以

14、動點p的軌跡方程為：4x2y2y= 017、已知橢圓c:=1()的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與橢圓交于、兩點，坐標原點到直線的距離為，求面積的最大值.解：（）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意 ， 所求橢圓方程為（）設(shè)，（1）當軸時，（2）當與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為由已知，得把代入橢圓方程，整理得，當且僅當，即時等號成立當時，綜上所述 當最大時，面積取最大值18、已知長方形abcd, ab=2, bc=1. 以ab的中點為原點建立如圖8所示的平面直角坐標系.()求以a、b為焦點，且過c、d兩點的橢圓的標準方程;oabcd圖8()過點p(0,2)的直線交(

15、)中橢圓于m,n兩點,是否存在直線,使得以弦mn為直徑的圓恰好過原點?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.解：()由題意可得點a,b,c的坐標分別為.1分設(shè)橢圓的標準方程是.2分則4分.5分橢圓的標準方程是 ()由題意直線的斜率存在,可設(shè)直線的方程為.7分oabcd圖8設(shè)m,n兩點的坐標分別為聯(lián)立方程: 消去整理得,有若以mn為直徑的圓恰好過原點,則,所以,10分所以,即所以,即11分 得所以直線的方程為,或.所以存在過p(0,2)的直線:使得以弦mn為直徑的圓恰好過原點. 14分19、已知向量，經(jīng)過定點且方向向量為的直線與經(jīng)過定點且方向向量為的直線交于點m，其中r，常數(shù)a0.（1）求

16、點m的軌跡方程；（2）若，過點的直線與點m的軌跡交于c、d兩點，求的取值范圍.設(shè)點，又，故，消去參數(shù)，整理得點的軌跡方程為（除去點）（2）由得點m軌跡方程為（除去點），若設(shè)直線cd的方程為，則由消去y得，顯然，于是，設(shè)，因此，即若直線軸，則，于是，綜上可知.20、如圖，已知直線的右焦點f，且交橢圓c于a，b兩點，點a，f，b在直線上的射影依次為點d，k，e. （1）若拋物線的焦點為橢圓c的上頂點，求橢圓c的方程； （2）對于（1）中的橢圓c，若直線l交y軸于點m，且，當m變化時，求的值； （3）連接ae，bd，試探索當m變化時，直線ae、bd是否相交于一定點n？若交于定點n，請求出n點的坐標，

17、并給予證明；否則說明理由.解：（1）易知 （2）設(shè)又由同理 （3）先探索，當m=0時，直線lox軸，則abed為矩形，由對稱性知，ae與bd相交fk中點n，且猜想：當m變化時，ae與bd相交于定點證明：設(shè)當m變化時首先ae過定點na、n、e三點共線同理可得b、n、d三點共線ae與bd相交于定點21、設(shè)橢圓的離心率為=,點是橢圓上的一點,且點到橢圓兩焦點的距離之和為4.(1)求橢圓的方程；（2）橢圓上一動點關(guān)于直線的對稱點為,求的取值范圍.解:(1)依題意知, . 所求橢圓的方程為. （2） 點關(guān)于直線的對稱點為， 解得：，. . 點在橢圓:上, 則.的取值范圍為. 22、設(shè)動點到定點的距離比它

18、到軸的距離大記點的軌跡為曲線（1）求點的軌跡方程；（2）設(shè)圓過，且圓心在的軌跡上，是圓在軸上截得的弦，當運動時弦長是否為定值?請說明理由解：（1）依題意，到距離等于到直線的距離，曲線是以原點為頂點，為焦點的拋物線（2分） 曲線方程是（2）設(shè)圓心，因為圓過故設(shè)圓的方程令得：設(shè)圓與軸的兩交點為，則 在拋物線上， （13分） 所以，當運動時，弦長為定值2 24已知雙曲線g的中心在原點，它的漸近線與圓相切，過點p(4,0)作斜率為的直線l，使得l和g交于a、b兩點，和y軸交于點c，并且點p在線段ab上，又滿足（1）求雙曲線g的漸近線方程（2）求雙曲線g的方程（3）橢圓s的中心在原點，它的短軸是g的實軸

19、，如果s中垂直于l的平行弦的中點軌跡恰好是g的漸近線截在s內(nèi)的部分，求橢圓s的方程。解：(1)設(shè)雙曲線g的漸近線方程為y=kx，則由漸近線與圓相切可得，所以，故漸近線方程為(2)由（1）可設(shè)雙曲線g的方程為，把直線l的方程代入雙曲線并整理得則 （1）,p、a、b、c共線且在線段ab上即整理得將（1）式帶入得m=8故雙曲線g的方程為(3)由提議可設(shè)橢圓方程為設(shè)弦的端點分別為，mn的中點為，則，作差得故垂直于l的平行弦中點的軌跡為直線截在內(nèi)的部分。又由題意，這個軌跡恰好是的漸近線截在內(nèi)的部分即25設(shè)點動圓p經(jīng)過點f且和直線相切，記動圓的圓心p的軌跡為曲線w.()求曲線w的方程；()過點f作互相垂直

20、的直線，分別交曲線w于a，b和c，d.求四邊形abcd面積的最小值.解：()過點p作pn垂直于直線于點n,依題意得 所以動點p的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線 3分 即曲線w的方程是 ()依題意，直線l1,l2的斜率存在且不為0，設(shè)直線l1的方程為 6分由l1l2得l2的方程為 將 設(shè) 同理可得 四邊形abcd的面積當且僅當故四邊形acbd面積的最小值是72 26、已知a、b、c是橢圓上的三點，其中點a的坐標為，bc過橢圓m的中心，且。（）求橢圓的方程；（）過點的直線l（斜率存在時）與橢圓m交于兩點p，q，設(shè)d為橢圓m與y軸負半軸的交點，且.求實數(shù)t的取值范圍。解（）過（0，0） 則oca

21、=90， 即 又將c點坐標代入得 解得 c2=8，b2=4橢圓m： （）由條件d（0，2） m（0，t）1當k=0時，顯然2t2 2當k0時，設(shè) 消y得 由0 可得 設(shè)則 11分由 t1 將代入得 1t4t的范圍是（1，4）綜上t（2，4） 27、已知圓o：，點o為坐標原點,一條直線：與圓o相切并與橢圓交于不同的兩點a、b （1）設(shè),求的表達式； （2）若，求直線的方程； （3）若，求三角形oab面積的取值范圍.解 （1）與圓相切,則,即,所以.（2）設(shè)則由，消去得:又，所以 5分則由, 所以所以 7分所以. 8分（3）由（2）知： 所以10分由弦長公式得所以解得12分28、已知點p與定點f的

22、距離和它到定直線l: 的距離之比是1 : 2.(1)求點p的軌跡c方程;(2)過點f的直線交曲線c于a, b兩點, a, b在l上的射影分別為m, n. 求證an與bm的公共點在x軸上.解：(1) 如圖(1) 設(shè)p點的坐標為, 則由題設(shè)得:,化簡得: , 即即. 點p的軌跡c的方程是.(2) 當ab軸時, a、b的坐標分別為, ,an與bm的交點為在x軸上.當ab不垂直于x軸時,設(shè)直線ab的方程為,代入橢圓,得設(shè), , 則, ,且 直線an方程是, 直線bm方程是.聯(lián)列, 得, 消去y, 得: .即 即,把代入直線an的方程得 an與bm交于點是x軸上一定點. (2) 解法二: 如圖(2) 當

23、ab不垂直于x軸時,設(shè)afn, 則am2n, 設(shè)bfm, 則bn2m,在abn和bam中, fham, fh1bn,abnafh和bambfh1同理可推, , ,h與h1重合，an與bm交點是x軸上一定點. 29、已知ab是橢圓上兩點，o是坐標原點，定點，向量在向量方向上的投影分別是mn ，且7mn ，動點p滿足（）求點p的軌跡c的方程；（）設(shè)過點e的直線l與c交于兩個不同的點mn，求的取值范圍。解（）設(shè) ，向量在向量方向上的投影分別是mn,且，m=，n=由于7mn ，所以，即 點p的軌跡c的方程是。 6分（）點p的軌跡c的方程是，軸時，l與c沒有交點，可設(shè)l：,再設(shè),8分由得，解得，且有，,

24、的取值范圍是tesoon天星om權(quán)天星om權(quán)t 天星版權(quán)tesoontesoontesoon天星30、設(shè)a，b分別是直線和上的兩個動點，并且，動點p滿足記動點p的軌跡為c（i） 求軌跡c的方程；（ii）若點d的坐標為（0，16），m、n是曲線c上的兩個動點，且，求實數(shù)的取值范圍解：（i）設(shè)p（x，y），因為a、b分別為直線和上的點，故可設(shè)，又，即曲線c的方程為（ii） 設(shè)n（s，t），m（x，y），則由，可得（x，y16）= (s，t16) 故， m、n在曲線c上， 消去s得 由題意知，且， 解得 又 ， 解得 （） 故實數(shù)的取值范圍是（）31、已知a、b分別是橢圓的左右兩個

25、焦點，o為坐標原點，點p）在橢圓上，線段pb與y軸的交點m為線段pb的中點。（1）求橢圓的標準方程；（2）點c是橢圓上異于長軸端點的任意一點，對于abc，求的值。解：（1）點是線段的中點 是的中位線又 2分 橢圓的標準方程為=16分（2）點c在橢圓上，a、b是橢圓的兩個焦點acbc2a，ab2c2 在abc中，由正弦定理， 10分 12分32、(七中2009屆高三零診模擬考試)已知拋物線y=x2上的兩點a、b滿足=l,l0,其中點p坐標為(0,1),=,o為坐標原點.(i) 求四邊形oamb的面積的最小值;(ii) 求點m的軌跡方程.解:()由=l知a、p、b三點在同一條直線上,設(shè)該直線方程為

26、y=kx1,a(x1,x12),b(x2,x22).由得x2kx1=0,x1x2=k,x1x2=1,=x1x2x12x22=1(1)2=0,.又oamb是平行四邊形,四邊形oamb是矩形,s=|=x1x2=.當k=0時,s取得最小值是2. 6分()設(shè)m(x,y),消去x1和x2得x2=y2,點m的軌跡是y=x22 6分33、(成都市高三年級期末綜合測試)已知橢圓的一個頂點為a（0，1），焦點在x軸上.若右焦點到直線 的距離為3.求橢圓的方程;設(shè)橢圓與直線相交于不同的兩點m、n.當時，求m的取值范圍.解（1）依題意可設(shè)橢圓方程為 ，則右焦點f（）由題設(shè) 解得 故所求橢圓的方程為（2）設(shè)p為弦mn

27、的中點，由 得 由于直線與橢圓有兩個交點，即 從而 又，則 即 把代入得 解得 由得 解得 .故所求m的取范圍是（）34、已知拋物線y=x2上的兩點a、b滿足=l,l0,其中點p坐標為(0,1),=,o為坐標原點.(1)求四邊形oamb的面積的最小值;(2)求點m的軌跡方程.解:()由=l知a、p、b三點在同一條直線上,設(shè)該直線方程為y=kx1,a(x1,x12),b(x2,x22).由得x2kx1=0,x1x2=k,x1x2=1,=x1x2x12x22=1(1)2=0,.又oamb是平行四邊形,四邊形oamb是矩形,s=|=x1x2=.當k=0時,s取得最小值是2. ()設(shè)m(x,y),消去

28、x1和x2得x2=y2,點m的軌跡是y=x22 35、已知，動點滿足.（）求動點的軌跡的方程；（）過點作直線與曲線交于兩點，若，求直線的方程；（）設(shè)為曲線在第一象限內(nèi)的一點，曲線在處的切線與軸分別交于點，求面積的最小值.解：（）動點的軌跡的方程為 ； （）解法1 當直線的斜率不存在時，,，不合題意；當直線的斜率存在時,設(shè)過的直線：，代入曲線的方程得設(shè)，則， 解得 故所求的直線的方程為；解法2 當直線為軸時， ， 不合題意；當直線不為軸時，設(shè)過的直線：，代入曲線的方程得設(shè)，則 = 解得 故所求的直線的方程為；（）設(shè)由得處曲線的切線方程為 令得 ； 令得 .由 ， 得.故面積的最小值為236、如圖

29、所示，已知圓為圓上一動點，點p在am上，點n在cm上，且滿足的軌跡為曲線e.（i）求曲線e的方程；（ii）若過定點f（0，2）的直線交曲線e于不同的兩點g、h（點g在點f、h之間）， 且滿足，求的取值范圍.(解)（1）np為am的垂直平分線，|na|=|nm|.又動點n的軌跡是以點c（1，0），a（1，0）為焦點的橢圓.且橢圓長軸長為焦距2c=2. 曲線e的方程為（2）當直線gh斜率存在時，設(shè)直線gh方程為得設(shè)，又當直線gh斜率不存在，方程為37、已知定點a（2，0），動點b是圓（f為圓心）上一點，線段ab的垂直平分線交bf于p. （1）求動點p的軌跡方程； （2）是否存在過點e（0，4）的直線l交p點的軌跡于點r，t，且滿足 （o為原點），若存在，求直線l的方程，若不存在，請說明理由.(解)22解：（