求值域的幾種常用方法

1、7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔求值域的幾種常用方法1) 配方法：對于(可化為)“二次函數(shù)型”的函數(shù)常用配方法，如求函數(shù)y sin2 x 2cosx 4，可變?yōu)?ysin2 x 2cosx 4 (cosx 1)2 2解決2) 基本函數(shù)法：一些由基本函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)可以利用基本函數(shù)的值域來求，如函數(shù) y log1( x2 2x 3)就是利用函數(shù) y log1 u和u x2 2x 3的值22域來求。2x 13) 判別式法：通過對二次方程的實(shí)根的判別求值域。 如求函數(shù) y x2 2x2x7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 2的值域2x 1 1 由 y x2 2x 2 得 yx2 2(y 1)x 2y 1 0 ，若 y 0

2、，則得 x 2 ，所以 y 0 是函數(shù)值域中的一個(gè)值；若 y 0 ，則由 2(y 1) 2 4y(2y 1) 0得 3 13 3 13 3 13 3 13y且y 0 ，故所求值域是 , 2cosx 3y cosx 1 的2 2 2 2 (4)分離常數(shù)法：常用來求“分式型”函數(shù)的值域。如求函數(shù)5( , 52 ，故值域，因?yàn)?cosx 3 5 5 y 2 ，而 cosx 1 (0,2 ，所以cosx 1cosx 1 cosx 1y ( , 123x ( 5)利用基本不等式求值域：如求函數(shù) y23x 的值域當(dāng) x 0 時(shí)， y 0 ；當(dāng) x 0 時(shí)，44若 x 0 ，則 x ( xxxx4 y 3

3、，若 x 0，則 x 4 2 x 4 4 x 4 x x x 43 3) 2 ( x) x( 4 ) 4 ，從而得所求值域是 3,3 x4 4( 6)利用函數(shù)的單調(diào)性求求值域：如求函數(shù) y 2x4 x2 2(x 1,2) 的值域3 2 4 2 1因 y 8x3 2x 2x(4x2 1) ，故函數(shù) y 2x4 x2 2(x 1,2) 在( 1, 2) 上遞1 1 1減、在 ( 2,0) 上遞增、在 (0, 2 )上遞減、在 ( 2 ,2)上遞增，從而可得所求值域?yàn)?15185,30 (7)圖象法：如果函數(shù)的圖象比較容易作出，則可根據(jù)圖象直觀地得出函數(shù)的 值域(求某些分段函數(shù)的值域常用此法) 。7

4、A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)一：判斷兩函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)例 1試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？1) f (x)x7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 ， g(x)33x；1 x 0,2) f (x)， g(x)x1 x 0;3) f(x) 2n1x2n1 ，g(x) (2n1x)2n1(4) f (x) x x 1 ，g(x)x2 x ；5) f (x) x2 2x 1 ，g(t) t 2t 1nN G)；解題思路 要判斷兩個(gè)函數(shù)是否表示同一個(gè)函數(shù)，就要考查函數(shù)的三要素。 解析(1)由于 f(x)x2 x，g(x) 3 x3 x，故它們的值域及對應(yīng)法則都不相同，所以它們不是同一函數(shù) .x 1

5、x 0, (2)由于函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?( ,0) (0, ) ，而 g(x)x 1 x 0;的定義域?yàn)?R，所以它們不是同一函數(shù) .(3)由于當(dāng) nNG 時(shí)，2n1為奇數(shù)，f(x) 2n1x2n1 x ，g(x) (2n1x)2n1 x ，它們的定義域、 值域及對應(yīng)法則都相同， 所以它們是同一 函數(shù).(4 )由于函數(shù) f(x) x x 1的定義域?yàn)?xx 0 ，而 g(x) x2 x的 定義域?yàn)?xx 0或x 1 ，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù) .(5)函數(shù)的定義域、值域和對應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù).答案(1)、(2)、(4)不是；(3)、(5)是同一函數(shù)名師指引】構(gòu)

6、成函數(shù)的三個(gè)要素是定義域、 對應(yīng)關(guān)系和值域 由于值域是由定 義域和對應(yīng)關(guān)系確定的， 所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致， 即 稱這兩個(gè)函數(shù)為同一函數(shù)。第( 5 )小題易錯(cuò)判斷成它們是不同的函數(shù)。原因是對 函數(shù)的概念理解不透，在函數(shù)的定義域及對應(yīng)法則 f 不變的條件下，自變量變換字7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔母對于函數(shù)本身并無影響，比如 f (x) x2 1，f(t) t2 1，f (u 1) (u 1)2 1 都可視為同一函數(shù) .考點(diǎn)二：求函數(shù)的定義域、值域題型 1 ：求有解析式的函數(shù)的定義域例2. (08 年湖北)函數(shù) f(x) 1xln( x2 3x 2x2 3x 4)的定義域?yàn)?)xA

7、.( , 4) 2, );B.( 4,0) (0,1) ；C., 4,0) (0,1 ;D., 4,0) (0,1)解題思路 函數(shù)的定義域應(yīng)是使得函數(shù)表達(dá)式的各個(gè)部分都有意義的自變量的 取值范圍。解x2析3欲x使2函數(shù)0 f(x) 有意義，必須并且只需2x2 3x 4 02 2 x 4,0) (0,1) ，故應(yīng)選擇 Dx2 3x 2x2 3x 4 0【x名師0指引】 如沒有標(biāo)明定義域， 則認(rèn)為定義域?yàn)槭沟煤瘮?shù)解析式有意義的 x的 取值范圍，實(shí)際操作時(shí)要注意：分母不能為 0；對數(shù)的真數(shù)必須為正；偶 次根式中被開方數(shù)應(yīng)為非負(fù)數(shù)；零指數(shù)冪中，底數(shù)不等于 0 ；負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 中，底數(shù)應(yīng)大于 0；若解析

8、式由幾個(gè)部分組成，則定義域?yàn)楦鱾€(gè)部分相應(yīng)集合 的交集；如果涉及實(shí)際問題，還應(yīng)使得實(shí)際問題有意義，而且注意：研究函數(shù) 的有關(guān)問題一定要注意定義域優(yōu)先原則，實(shí)際問題的定義域不要漏寫。當(dāng)堂練習(xí)：1下面給出的四類對象中，構(gòu)成集合的是()A某班個(gè)子較高的同學(xué)B長壽的人C 2 的近似值 D倒數(shù)等于它本身的數(shù)2下面四個(gè)命題正確的是()A10 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)集合是 0，3，5，7B由 1 ，2，3 組成的集合可表示為1，2，3或3，2，1C方程 x2 2x 1 0的解集是1，1 D0 與0表示同一個(gè)集合7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔3下面四個(gè)命題：（1）集合 N 中最小的數(shù)是 1；（2）若-a Z，則

9、a Z； （3）所有的正實(shí)數(shù)組成集合 R+ ；（4）由很小的數(shù)可組成 集合 A ； 其中正確的命題有（）個(gè)A1B 2C3D44下面四個(gè)命題：（1 ）零屬于空集；（2）方程 G2-3G+5=0 的解集是空集； （ 3）方程 G2-6G+9=0 的解集是單元集； （ 4）不等式 2G-60 的解集是無限集； 其中正確的命題有（）個(gè)A1B2C3D 45平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第二象限的點(diǎn)組成的集合是（）AG,y 且 x 0, y 0B(G,y) x 0, y 0C.（G,y） x 0,y 06用符號 或 填空：D.G,y 且 x 0, y 0Z，00，aa ， Q，1R， 0N， 0 7由所有偶數(shù)組成的集合可表示為 x x 8用列舉法表示集合 D= （x,y） y x 8,x N,y N 為9當(dāng) a 滿足時(shí) ,集合 Ax 3x a 0,x N 表示單元集10 對于集合 A2，4，6，若 a A，則 6a A，那么 a的值是_11數(shù)集0，1，G2G中的 G不能取哪些數(shù)值？1212 已知集合 AG N| 12 N ，試用列舉法表示集合 A6x7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔13.已知集合 A= x ax2 2x 1 0,a R,x R.(