(完整word版)小升初典型奧數(shù)專題一：濃度問題

1、 （1） 溶劑的增加或減少引起濃度變化。面對這種問題，不論溶劑增加或減少，溶質(zhì)是始終不變的，據(jù)此便可解題。（2） 溶質(zhì)的增加引起濃度變化。面對這種問題，溶質(zhì)和濃度都增大了，但溶劑是不變的 ，據(jù)此便可解題。（3） 兩種或幾種不同溶度的溶液配比問題。面對這種問題，要抓住混合前各溶液的溶質(zhì)和與混合后溶液的溶質(zhì)質(zhì)量相等，據(jù)此便可解題。 黃小鴨領著三個鴨弟弟在森林里游玩了半天，感到又渴又累，正好路過了奶牛開的奶茶店。只見店門口張貼著廣告：“既甜又濃的奶茶每杯 0.3 元?！秉S小鴨便招呼弟弟們歇腳，一起來喝11奶茶。黃小鴨從奶牛手中接過一杯奶茶，給最小的弟弟老四喝掉 ，加滿水后給老三喝掉了 ，再加6311

2、奶牛開始收錢了，他要求黃小鴨最小的弟弟付出 0.3 0.05(元)；老三 0.3 0.1(元)；632兄弟們很驚訝，不是說，一杯奶茶 0.3 元，為什么多付 0.450.30.15 元？肯定是奶牛再敲詐我們。不服氣的黃小鴨嚷起來：“多收我們堅決不干?！薄安唤o，休想離開?！北３譂舛龋喝苜|(zhì)溶劑齊加減增加濃度：加溶質(zhì)或減溶劑降低濃度：減溶質(zhì)或加溶劑濃度問題是圍繞溶質(zhì)、溶劑、溶液及濃度展開的。解題過程中我們要仔細分析題目，分清在變化前后，誰變了，誰沒變，緊緊抓住不變量，這是解題的突破口，也是本節(jié)重點。技巧：稀釋前溶質(zhì)重量稀釋后溶質(zhì)重量 技巧：加濃前溶劑重量加濃后溶劑重量 1、“濃度三角”法（改“十字交

3、叉”法。）【解法范例】用濃度為 45和 5的兩種鹽水配制成濃度為 30的鹽水 4 千克，需要這兩種鹽水2 2008年六年級秋季班情景數(shù)學專題講義我們把， 每份 溶 液所占 全部溶 液的 份 數(shù)稱為 權重， 記為 q ，q ，q ， ， q ，我們 知道3mm。則混合后，溶液的濃度等于，各自溶液的濃度乘以它的kk+nknmii=1nm q + m q + m q + m qm q112233nniii=1用三角形解濃度問題簡化了的方法更容易被人接受和利用。我們先通過幾道簡單的問題了解一下新的方法。例 1 有濃度為 20的鹽水 300 克，要配制成 40的鹽水，需加入濃度為 70的鹽水多少克？3

4、例 3 買來蘑菇 10 千克，含水量為 99，晾曬一會兒后，含水量為 98，問蒸發(fā)掉多少水份？“解題有法，但無定法”，解題方法的運用要講究技巧，根據(jù)具體題目加以靈活運用，不要生搬硬套，形成定式。例 4 甲容器中有純酒精 11 升，乙容器中有水 15 升，第一次將甲容器中的一部分純酒精倒入乙容器，使酒精與水混合。第二次將乙容器中的混合液倒入甲容器。這樣甲容器中純酒精含量為 62.5，乙容器中純酒精的含量為 40。那么第二次從乙容器中倒入甲容器的混合液是多少升？通過前面例題的講解，我們發(fā)現(xiàn)，新的解法利用濃度差的比與重量的比成反比的關系，把題目退到“份數(shù)”上考慮，數(shù)據(jù)也變簡化了。這種方法應用較廣泛，

5、有些題目適合用這種方法解答。例 5 某班有學生 48 人，女生占全班的 37.5，后來又轉來女生若干人，這時人數(shù)恰好是占全班人數(shù)的 40，問轉來幾名女生？例 6 服裝廠出售 6000 件男女服裝，男式皮衣件數(shù)占男衣的 12.5，女式皮衣件數(shù)占女衣的 25%，男女皮衣件數(shù)之和占這批服裝件數(shù)的 1/5。這批服裝中男式皮衣有多少件？女式皮衣有多少件？例 7 甲乙兩個倉庫共存放 420 噸貨物，甲倉運出的貨物相當于余下貨物的 1/3，乙倉庫運出的貨物相當于余下貨物的 1/4，這時兩倉庫共余下貨物 327 噸，甲倉原有貨物多少噸？乙倉原有貨物多少噸？例 8 小明到商店買紅、黑兩種筆共66 支。紅筆每支定

6、價5 元，黑筆每支定價9 元。由于買的數(shù)量較多，商店就給予優(yōu)惠，紅筆按定價85付錢，黑筆按定價 80付錢，如果他付的錢比按定價少付了18，那么他買了紅筆多少支？（北京市第 14 屆迎春杯數(shù)學競賽初賽試題）試一試：水果店購進蘋果1000 千克，運輸途中碰壞了一些，沒有碰壞的蘋果賣完后，利潤率為40%，碰壞的蘋果只能降低出售，虧了 60%，最后結算時發(fā)現(xiàn)總的利潤為 32%，問：碰壞_千克蘋果。4 2008年六年級秋季班情景數(shù)學專題講義30%糖水和 1 體積的水混合，濃度為 24%，那么再和 1 體積的水混合，濃度為多少引入濃度三角0（1）已知兩份液體的濃度（0.3 和 0）和混合后的濃度（0.24

7、）將他們擺出三角形的關系，用兩個濃度分別減去混合后的濃度，這兩個差之比就是體積的反比，這個就是濃度三角形5 在濃度問題的解決中，我們經(jīng)?？梢允褂谩皾舛热恰?。什么是濃度三角呢？濃度三角就是把混合前后的不同濃度寫成一種對稱的三角形的形式。實質(zhì)上是找混合前兩種溶液的濃度與混合后溶液濃度的差之比。這種方法簡化了復雜的濃度問題，比較容易理解和使用。例 1.在 100 千克濃度為 50%的鹽水中，再加入多少千克濃度為 5%的鹽水就可以配制成濃度為25%的鹽水？分析：混合前兩種溶液的濃度與混合后溶液的濃度的差之比，與所需數(shù)量之比恰好是成反比例關系，即所需溶液重量之比等于濃度差的反比。我們可以寫成濃度三角的

8、形式（如下圖）更直觀地反映三個濃度之間的大小關系。解法一：（50%-25%） （25%-5%）252054混合前兩種溶液的濃度與混合后溶液的濃度的差之比6 2008年六年級秋季班情景數(shù)學專題講義解法二：方程解法分析。既然混合前后三種溶液的濃度是已知的，只要設出加入的 5%濃度的鹽水是 xkg，那么混合后的鹽水總量就是（x100）千克。顯然，混合前的兩種溶液所含的純鹽等于混合后的溶液里的純鹽。例 2.40%的鹽水與 20%的鹽水混合后，要配制成 25%的鹽水 180 克。求 40%與 20%鹽水各需多少克？%0.4x36-0.2x450.2x9x45需要 40%高濃度的溶液通過以上例題，我們可以

9、看出，解題時要善于抓住事物間的聯(lián)系，進行適當轉化，就能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，找到解決問題的巧妙方法。7 第三講 濃 度 問 題（十字交叉相乘）（2007 年第五屆“希望杯”一試六年級）一杯鹽水，第一次加入一定量的水后，鹽水的含鹽百分比為 15%，第二次又加入同樣多的水，第三次加入同樣多的水后鹽水的含鹽百分比將變?yōu)椋?0（500100）10%8 2008年六年級秋季班情景數(shù)學專題講義1有兩包糖，第一包糖由奶糖和水果糖組成，其中 為奶糖；第二包糖由酥糖和水果糖組成，其453141第二包酥糖占 ；水果糖占。55將兩包糖混合后，水果糖占 78，（相當于混合溶液）34第一包（78 ）第二包（ 78）45454

10、145甲種酒精 4 千克，乙種酒精 6 千克，混合成的酒精含純酒精 62%。如果甲種酒精和乙種酒精一樣3、多，混合成的酒精含純酒精 61%。甲、乙兩種酒精中含純酒精的百分比各是多少？解： 如果甲乙兩種酒精各取 4千克，因兩種酒精取的一樣多，所以混合在一起的酒精溶液的濃度為 61%。其中含純酒精 4261%4.88千克。甲種酒精 4千克，乙種酒精 6千克，混合成的酒精含純酒精 62%。其中含純酒精（46）62%6.2千克，6.2千克比 4.88千克多 6.24.881.32千克，多出的 1.32千克純酒精來自 642千克的乙種酒精，因此乙種酒精的濃度為 1.3220.6666%。4 千克甲種酒精

11、中含純酒精（46）62%666%2.24 千克，因此甲種酒精溶液的溶度為 2.2440.5656%。若干升含鹽 70%的溶液與若干升含鹽 58%的溶液混合后得到含鹽 62%的溶液，如果每種溶液各多取 15 升，混合后得到含鹽 63.25%的溶液，第一次混合時含鹽 70%的溶液取了多少升？解 1： 濃度 70%的溶液（70%62%）濃度 58%的溶液（62%58%）濃度 70%的溶液濃度 58%的溶液（62%58%）（70%62%）12每種溶液各取 15升混合在一起得到濃度為（70%58%）264%的溶液 30升。濃度 62%的溶液（63.25%62%）30升（64%63.25%）濃度 62%的溶液30升（64%63.25%）（63.25%62%）35濃度 62%的溶液 3053 18升 這 18升濃度 62%的溶液是由濃度 70%的溶液和濃度 58%的溶液混合而成，他們的數(shù)量比是 12，所以濃度 70%的溶液取了：11 25、某商品按零售價 10 元賣出 20 件所得到的利潤和按照零售價 9 元賣出 30 件所得到的利潤相等，求該商品的進價。 售價 10元的利潤20 售價 9元的利潤309 7、 有兩種溶液，甲溶液的酒精濃度為 10%，鹽濃度為 30%，乙溶液中的酒精濃度為 40%，鹽濃度為0?，F(xiàn)在有甲溶液 1千克，那么需要多少千克乙溶液，將它與甲溶液混合后得到的溶液的酒精濃度