線性代數(shù)第34講總復(fù)習(xí)上

1、線性代數(shù)第44講復(fù)習(xí)（4）本章知識(shí)結(jié)構(gòu)二.本章自測(cè)題(一)選擇題1. 若 B = (0,k, k2)能由a = (1+k,1,1), a? =(1,1 + k,1), a3 = (1,1,1 + k)唯一線性表示，則k等于().(A ) k = 0(B) k = -3(C) k = 0 且 k = -3(D) k 任意.(選C .解法提示：依題意知Xi a + X2 a2十X3 a3 = B 有唯一解，所以其系數(shù)行列式1 + k 1111 + k1=k2(k 十 3)0,111 +k故有k = 0且k = - 3.因此應(yīng)填k = 0且k = -3.)2. 設(shè)向量組B : b, 6, b r能由

2、向量組A : a1 , a 2,，a m線性表示,則().(A) 當(dāng)r : m時(shí)，向量組A必線性相關(guān)(B) 當(dāng)r m時(shí)，向量組A必線性相關(guān)(C) 當(dāng)r : m時(shí)，向量組B必線性相關(guān)(D) 當(dāng)r m時(shí)，向量組B必線性相關(guān)(選D .解法提示：用反證法排除其余三種可能)x1 x 03. 四元齊次線性方程組 x 1 x 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系是().x? X4 二 U21(A) (0, -1,0,2)t,(B) (0,-1,0,2)丁 和(0,2,0,1)t(C) (0, 0, 0, 0)T,(D) ( - 1,0,1, 0)T和(0,-1,0,2)丁(選D .解法提示：系數(shù)矩陣Aj0101c”c1 ,r(

3、A)=2,010丿，_ 2故基礎(chǔ)解系由兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解構(gòu)成從而(A),(C)都不對(duì)。1但(B)中(0, 2,0,1)t代入方程驗(yàn)證不是解，故應(yīng)選(D).(二) 判斷題4. 給定向量組A: a1, a2,，a m，如果存在數(shù)匕匕,心 使得k1 ak2 a2a o,則稱向量組是線性相關(guān)的，否則稱它線性無(wú)關(guān)()(X)解法提示：定義中要求*2,，心 不全為零)(三) 填空題5. 齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)是：齊次線性方程組的通解等于（ ）.（答案：（基礎(chǔ)解系的全體線性組合）（四）計(jì)算題6. 設(shè) a | 2 ,3= |2 , Y =廠 2，若 a 儼 X = B Y X + 3 （3,試求此方程組的通解.

4、（解由于n_ 12kla 3 =2【1 2 k】=242k7-1-2-kJn_0-2們2I0 -2 1】=0-42 ,Lk_0-2kkJ故所給的線性方程組可改寫為_ 14k-1 131282k-2X =61 2k-2-2k _13kJ對(duì)其增廣矩陣作初等行變換，使之化為階梯形矩陣 14k-13 1j4k-13 1A =282k-26(r) 02k + 2-k-1 3k+3=B.-12k-2-2k3k 一P00 0 一14 k-1 31當(dāng)kT時(shí)，此時(shí)A可化為矩陣Bb 2-13.0 0 0 0易知r（A）=r（BJ-2 ：3.故線性方程組有無(wú)窮多解:乂 1-k-11-3113X =X2X3 一=C1

5、2+2，其中C1為任意常數(shù).11-1 一1_0 一當(dāng)k = -1時(shí)，此時(shí)A可化為矩陣B 2 =1_14-2 30 0 0 00 0 0 0_,易知r(A)=r(B2)=1w3.故線性方程組有無(wú)窮多解：X*-41_23x =x2 | = c11+ C20+0,其中C1，C2為兩個(gè)任意常數(shù).)1X3_|_0 一167設(shè)A, B都是n階矩陣，且 A2 - AB二E, 求矩陣(AB-BA 2A)的秩.(答案：r ( AB-BA 2A )= r(2 A )= r (A) = n.)8. 已知向量組-nai =2 , a2_3J1-01a1B =1,債2一1_.1bl倉(cāng)=| 1 與向量組 0j-91a3

6、=6有相同的秩，且L-7J窗可由ai ,線性表出，求a,b的值.(答案：因?yàn)閍 , a2線性無(wú)關(guān)，而久3 = 3 a +2 a?, 所以r ( a, a?,寵)=2,因此r( B,館，經(jīng))=2 ,從而0 a b12 1 =3b-a=0, = a=3b,再由條件禽可由 a， a2, a-1 1 0線性表出，可求出b = 5, a =15.)9. 已知a是齊次線性方程組Ax = 0的基礎(chǔ)解系，其中1211 3aA =|a 1_1 ,求 a 的值.2 60 一(答案：因?yàn)锳是4 3矩陣，基礎(chǔ)解系中僅有一個(gè)解向量a,故3-r(A)=1,即r(A)=2.而1 21 3 a 1 g 61【aT-10_12

7、1101-1,可見a = 0.)00a衛(wèi)04a12310.已知矩陣A =0 4a中a 刀 ai jj工i證明矩陣A的列向量n)aj = ai j , a2j, anj(j=1,2,線性無(wú)關(guān).(答案：可用反證法.若存在不全為零的數(shù)ki,k2,，kn,使得ki a + k2 口2 + + kn an = 0,然后，設(shè)ki = max ki, k?，,kn ,顯然 ki 0.由 ki半0,知a可以由其余n-1個(gè)a線性表出，且a = kl ai -一2 仆一昭小一一 kn %.kikikiki那么，其第i個(gè)分量就滿足關(guān)系式:aiiki *21a i1kiki 1kia i i _1ki 1kiai i

8、 1kiai而有kjkja i i EkjaijLra i j Eai j.這與j右kij右ki已知條件矛盾，所以a, a2,，an線性無(wú)關(guān).）17. 設(shè)A是n階矩陣，a , a?,，a是齊次方程組Ax = 0的基礎(chǔ) 解系，若存在6 ,使A B二a, i = 1, 2，t,證明向量組a , a,，a,6,直，,6t線性無(wú)關(guān).（解：若存在不全為零的數(shù)kk2,，kt,h,丨2，It,使得kia+k2 a+ kt a + l6+ + lt 6 = 0,（ 1）用A左乘上式，并把A a = 0, A 6 = ai, i = 1, 2 , t代入，得丨1 a + I2 a + + It a 二 o,（2

9、）因a , a,，a是齊次方程組Ax = 0的基礎(chǔ)解系，它們線性無(wú) 關(guān)，故對(duì)（2）必有h = 0,丨2 = 0，It = 0. （1）式，有匕 a + k2 a + + kt a 二 o,即向量 a , a,，a, 6, 6,，6 線性無(wú)關(guān).）18. 設(shè)A是m xn矩陣,對(duì)矩陣A做初等行變換得到矩陣 B,證明矩 陣A的列向量與矩陣B相應(yīng)的列向量有相同的線性相關(guān)性.（證法提示：因經(jīng)初等行變換由 A可得到B ,故存在初等矩陣P1, P2, , Pk使PkP2 P1 A二B.把矩陣A , B寫成列向量形式：A = a aan , B = 6 66 , P = Pk P2 P1 則有P a a a =

10、 6 血6 ,于是 P a = 6 （i = 1,2，n）. A 的x 1列向量a ,知,ajk線性相關(guān)二a , aj2,妳X2=0有非零解I一Xk 一X 1X】Xx二p a , a?,a：2 =0有非零解二%處 處2 =0 “兒有非零解二b的列向量 %弘線性相關(guān).)19. 已知A是n階矩陣，且矩陣A中各行元素對(duì)應(yīng)成比例.a , a,，a是Ax = 0的基礎(chǔ)解系，而B不是Ax = 0的解. 證明任何一個(gè)n維向量都可由a , a,，a , B線性表出.(解法提示：因?yàn)榫仃嘇中各行元素對(duì)應(yīng)成比例，故r(A) = 1,因此 t = n -1.因?yàn)閍 , a,，a_i是Ax = 0的基礎(chǔ)解系，故 a

11、, a,，an_i線性無(wú)關(guān).若k1 a + k2 a + + kna + sP = 0,用A左乘，并把A ai = 0 (i = l 2,，n-1 )代入上式，得sA %= 0.由于A B m 0,故s = 0,于是k1 a+k2 a + knan = 0.從而 k1 = 0, k2 = 0,_,kn 1=0, s=0，即有 a, a廠，線性無(wú)關(guān)，故知任一 n維向量丫必可由a , a,，a, B線性表出.k = 0, k2 = 0, kn 1 =0, s=0)20. 已知向量組 a , a,a線性無(wú)關(guān)，若|心二=0, s= 0,B = k1 oq + k2 a + kt a ,其中至少有ki M 0,證明用B替換a后所得向量組as廠、a aa, a, , a-1, B , a + 1, , a線性無(wú)關(guān).(解法提示：如果a + h2 血 + + h 丄 a -1+ h B +a+1 + + A a =0.將已知條件B = k1 a + k2 a + kt a代入，并整理有(h1+ h kJ a + (h2 + h k2)a + (g + hkj _J a 一1 + h a(hi 1 hki 1)a + 1 + (h