導(dǎo)數(shù)題型分類大全.

1、導(dǎo)數(shù)題型分類(A) 題型一：導(dǎo)數(shù)的定義及計(jì)算、常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及運(yùn)算法則 (一)導(dǎo)數(shù)的定義: Ayf (Xc + Ax) - f (x ) 函數(shù)y = f (x)在x0處的瞬時(shí)變化率limlim -稱 2 Ax3 X企，即 為函數(shù)y = f (x)在x =x-處的導(dǎo)數(shù)，記作f/(x-)或y/ 岸f(X-. ：x) - f(X-) f夂)呷.0 如果函數(shù)y = f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù), 應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù) 此時(shí)對于每一個(gè) x ：= (a,b),都對 f(x)。稱這個(gè)函數(shù)f lx)為函數(shù) y = f (x)在開區(qū)間內(nèi)的 導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，也可記作y，即f(x) = y= f(x

2、：x)-f(x) lim -x7-X 導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)都稱為導(dǎo)數(shù)，這要加以區(qū)分：求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就是求導(dǎo)函數(shù)；求函數(shù) y = f (x)在x-處的導(dǎo)數(shù)y f/(x)，從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù) ，就是導(dǎo)函數(shù)f/(x)在x0處的函數(shù)值，即 =f / ( Xo )。 例1.函數(shù)y = f x在x = a處的導(dǎo)數(shù)為A,求片叩 f a 4t ：f a 5t 。 例2求y二牛2在點(diǎn)x =3處的導(dǎo)數(shù)。 x +3 (二)常見基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和運(yùn)算法則 C=O(C為常數(shù));(xn) 二 nxn，n N ; (ex) = ex;(ax) = axIn a ； (In x) (sinx) =cosx; 1 (co

3、sx) = - sin x; ,1 (Ioga x) x 法則 1: u(x) _v(x)=u(x) _v(x) 法則 2： u(x)v(x) 法則 3: u1 v(x)j u(x)v(x)u(x)v(x)(v(x)丸) v2(x) logae x a II =u (x)v(x) + u(x)v (x) (理)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)：若 y = f (u), u =F(x)，則 yx = f (x)L (x) 如，(esin x) =； (sin ex) = r 公式(xn) = nxn的特例：(X)=; C =,. lx丿 題型二：利用導(dǎo)數(shù)幾何意義及求切線方程 導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 函數(shù)y = f (x

4、)在x-處的導(dǎo)數(shù)是曲線 y二f (x)上點(diǎn)(x-, f (x-)處的切線的斜 率.因此，如果f (x-)存在，則曲線y二f (x)在點(diǎn)(x-, f (x-)處的切線方程為 1 例1 若函數(shù)f（x）滿足，f（x）xf （1） x2_x,則f （1）的值 3 ax 例2設(shè)曲線y =e在點(diǎn)（，1）處的切線與直線x 2y 0垂直，則a二. 練習(xí)題 1 曲線y = 4x _ /在點(diǎn)-1, _3處的切線方程是y = X _ 2 4 2 .若曲線f（x） =x _x在p點(diǎn)處的切線平行于直線 3x_y=0，則p點(diǎn)的坐標(biāo)為（1, ） 4 3若曲線y =x的一條切線|與直線x 4y -8 =0垂直，則|的方程為4

5、x- y-3 = 4 .求下列直線的方程：（注意解的個(gè)數(shù)） 3 2 2 y/ =3x2 _2x . k =y/ |x 才=3-2 =1 （1）曲線y二x x 1在p（-1,1）處的切線； （2）曲線y二x過點(diǎn)p,5）的切線； 解.（1）；點(diǎn)P（4,1）在曲線y=x3，x21上, 所以切線方程為yJx，1，即x_y，2=o （2）顯然點(diǎn)P（3,5）不在曲線上，所以可設(shè)切點(diǎn)為 A（xo，yo），則yo =X。2又函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y/ =2x , 所以過A（xo，yo）點(diǎn)的切線的斜率為k二必心廠肌,又切線過A（xo，yo）、P（3,5）點(diǎn)，所以有 2xo =心 X。3，由聯(lián)立方程組得, 驢1或。 xo

6、=5 yo 25 ，即切點(diǎn)為（1, 1）時(shí)，切線斜率為 k1 =2X0 =2;；當(dāng)切點(diǎn)為（5, 25）時(shí)，切線斜率為k2 =2X0 T ；所以所求的切線有兩條，方程分 另I為 y -1 =2(x _1)或y -25 =10(x _5), 即卩y =2x -1 或y =10 x -25 5. 設(shè)P為曲線C： y= x2+ 2x+ 3上的點(diǎn)，且曲線 C在點(diǎn) P處切線傾斜角的取值范圍為0 ,寸, 則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為（） A 1, 2 B 1,o C. o,1 6. 下列函數(shù)中，在（0, +8）上為增函數(shù)的是（ A.y=si nx B. x y 二 xe C. D.y=l n(1+x) x 7.

7、設(shè)f（x）,g（x）是 R 上 的可導(dǎo) 函數(shù)， f (x), g (x)分 別 為f(x),g(x)的 導(dǎo)數(shù)，且 f (x)g(x) f(x)g (x) ：0 ,則當(dāng) axf(b)g(x)B.f(x)g(x)f(b)g(b) C.f(x)g(a)f(a)g(x)D.f(x)g(x)f(b)g(a) 題型三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 1.設(shè)函數(shù)y = f(x)在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，貝U y= f(x)在 這個(gè)區(qū)間內(nèi) 單調(diào)遞增；如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，則 y二f (x)是這個(gè)區(qū)間內(nèi) 單調(diào)遞減 2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法： (1)求導(dǎo)數(shù) y、f (x) ；(2)解方程 f (x)

8、 =0 ； (3)使不等式f (x) .0成立的區(qū)間就是遞增區(qū)間，使f (x) 0成立的區(qū)間就是遞減區(qū)間 3若函數(shù)y = f (x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增，則f(x) 0在(a,b)恒成立. 例：1.函數(shù)y = xcosx sinx在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)() 3 二3 二 5 二 (A)(一,)(B)(二，2二)(C) (,)( D) (2 二，3二) 2 2 2 2 2.函數(shù)f(x)=xInx(x0)的單調(diào)遞增區(qū)間是. 3.已知函數(shù)f (x) = ex -ax 在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是 題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值。 1. f (x) =x-3x? 2在區(qū)間I，1,11

9、上的最大值是2 2 2 已知函數(shù)y =f(x) =x(x -c)在X =2處有極大值，則常數(shù) c=6 5.已知函數(shù)f (x) a的取值范圍是( =x ax (a 6)x 1有極大值和極小值，則實(shí)數(shù) A.-1 v av 2 B.a v -3 或 a6 C.-3 v av 6 D.a v -1 或 a2 作業(yè)和練習(xí)： 1已知函數(shù)f (x x2 -2ax a在區(qū)間(汽 1)上有最小值，貝U函數(shù)g(x)二丄在區(qū)間(1, x +R)上一定() A.有最小值B.有最大值C.是減函數(shù)D.是增函數(shù) 2 已知函數(shù)f (x) =ax3 bx2-3x在x - -1處取得極值，求過點(diǎn) A(0, 16)作曲線y=f(x

10、)的切 線，求該切線的方程 3.已知函數(shù)f (x) = xln x (1) 求f(x)的最小值 (2) 若對所有x 1都有f(x) ax-1,求a的取值范圍 1 2 4.已知函數(shù)f (x) x -1 nx,其中a為大于零的常數(shù). a (1) 當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值 (2) 當(dāng)1,2時(shí)，不等式f(x)2恒成立，求a的取值范圍 y=3x+1 5已知函數(shù)f(x) =x3 ax2 bx c,過曲線廠f (x)上的點(diǎn)P(1, f(1)的切線方程為 (I)若函數(shù)f(x)在x =-2處有極值，求f(x)的表達(dá)式； (n)在(I)的條件下，求函數(shù) N二f(x)在3, 1上的最大值； (川)

11、若函數(shù)y = f(x)在區(qū)間2, 1上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) b的取值范圍 322 解：(i)由 f (x) = x ax bx c,求導(dǎo)數(shù)得 f (x)二 3x - 2ax b. 過y二f (x)上點(diǎn)P(1, f (1)的切線方程為： y - f (1) =f (1)(x -1),即y (a b c T) =(3 2a b)(x 1). 而過y二f (x)上P1, f(1)的切線方程為y =3x 1. 3 +2a +b =3 故 ggd 即嚴(yán)+b a c = -3 / y = f (x)在x = -2時(shí)有極值,故f ( -2) = 0/ -4a-12 32 由得a=2 , b=-4, c=5 f(

12、x) 2x -4x 5. (2)f (x) =3x2 4x-4 = (3x -2)(x 2). 2 -3 _x ： -2時(shí)，f (x)0;當(dāng)一2 _x 時(shí)，f (x) : 0; 當(dāng)3 2 當(dāng) x時(shí),f (x) O. f(x)極大二 f(_2)=13 3 又f(1)=4,. f(x)在3, 1上最大值是13。 . 2 (3) y=f(x)在2, 1上單調(diào)遞增，又 f (x) =3x - 2ax - b，由知 2a+b=0。 依題意 f (x)在2, 1上恒有 f(X) 0，即 3x2 - bx b 一0. K X 一 _1時(shí)，f (x)min = f (1) =3 -b b 0, b 一 6 當(dāng)

13、6; x 乞 -2時(shí),f (x)min = f (-2) =12 2b b 一 0,. b 當(dāng)6; 2 2 蘭6 蘭 1時(shí)，f (x)min =12b _b 0,則0 蘭b 蘭6. 當(dāng)b12 綜上所述，參數(shù)b的取值范圍是：) 32 6 .已知三次函數(shù)f(x)二x ax bx c在x=1和x - -1時(shí)取極值，且-2)=-4 . (1)求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式; 求函數(shù)y =f (x)的單調(diào)區(qū)間和極值； 若函數(shù)g(x) =：f(xm) Fmg 0)在區(qū)間m3, n上的值域?yàn)?4,16，試求m、n應(yīng)滿足 的條件. 2 解.(i) f (x) =3x 2ax b 2 由題意得，1, -1是3x2a

14、x 0的兩個(gè)根，解得，a=0, b-3 . 3 再由 f ( f) - 4 可得 c = -2f (x) =x -3x -2 . (2) f (x) =3x2 -3 =3(x 1)(x -1) 當(dāng) x -1 時(shí)，f(X)0 ；當(dāng) X =-1 時(shí)，f (x) =0 ； 當(dāng)1 x 1 時(shí)，f(x)c0 ；當(dāng) x=1 時(shí)，f(x)=0 ； 當(dāng)x 1時(shí)，f(x) .0.函數(shù)f(x)在區(qū)間(-：，-1上是增函數(shù)； 在區(qū)間一hl】上是減函數(shù)；在區(qū)間1,上是增函數(shù). 函數(shù)f(x)的極大值是f (-1)=：0，極小值是f(1)-4. (3) 函數(shù)g(x)的圖象是由f(x)的圖象向右平移 m個(gè)單位，向上平移 4

15、m個(gè)單位得到的， 所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間【一3, n 一呵上的值域?yàn)閂-4m,16-4m ( m 0 ). 而 f () =一20. v _4m = -20，即 m =4 . 于是，函數(shù)f(x)在區(qū)間一3,門一4上的值域?yàn)?20,. 令f (x) =0得x = -1或x = 2 .由f (x)的單調(diào)性知，_1剟n - 4 2，即3剟n 6 . 綜上所述，m、n應(yīng)滿足的條件是：m=4，且3剟n 6 . 1 +a 7. 已知函數(shù) f(x)=xalnx , g(x)-,(a R). x (n)設(shè)函數(shù)h(x) = f(x)-g(x)，求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間； (川)若在1,e 1上存在一點(diǎn)X。，使

16、得f(X。)： g(x)成立，求a的取值范圍 解：(f ；T( x)的定義城旳CO.( W) 1 r-1 當(dāng)加 4 時(shí)，=#【妙) x x X (0/1) 1 (1 f) r( x) - 0 f( x) (3分 幣曲【門在日處凰得極 口時(shí)即卞時(shí) p 在【0 1 +a _th( k) c 0,在 f 1+, +) _th ( x J 0/ 所以hl買)在t 0, 1*白)上単調(diào)劇，在t 1+a. +)上單加壇；(7分 當(dāng) 1+a Ot 所以函數(shù)h)O在f (b *e)上車調(diào)謹(jǐn)増.盼) C III)正口 *電上存正1點(diǎn)和*便霧代) g( )咸遼I即 1 + 呂p* + 1 由 h(e) = e+a

17、, 2當(dāng) X - x2時(shí)，f (x)0 因此Xl是極大值點(diǎn)，X2是極小值點(diǎn).，當(dāng)b=1時(shí)，不論a取何實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個(gè)不同的 極值點(diǎn)。 題型五：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象 y =X3 _4x +1的圖像為 2 函數(shù) 3(A) D ) 3 方程2x3 -6x2=0在(0,2)內(nèi)根的個(gè)數(shù)為 y 4 2 2 -2 -2 -4 y d 6 4 W 0 2入 -2 -4 4 A、0 B 、1C、2 題型六：利用單調(diào)性、極值、最值情況，求參數(shù)取值范圍 1322 f (x) x 2ax -3a x b,0 ： a ： 1. 1 設(shè)函數(shù)3 (1)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間、極值 (2)若當(dāng)x a 1，a

18、2時(shí)，恒有1 f (x) 1乞a，試確定a的取值范圍 列表如下: f (x) f(x) f (x) = -X (-m, a) f(x)在 (a, 2 4ax-3a =(x3a)(xa) 極小 (a. 3a) 3a 極大 3a) 上單調(diào)遞增，在( 令 f (x) = 0 得 xi = a, x2 = 3a (3a, +7 玄)和(3a, +8)上單調(diào)遞減 f極小(x) = b 4 3 x =a 時(shí), f 極小(x)=3a , x=3a 時(shí), 2 2 (2) f (x) = -x 4ax -3a / 0 ： a : 1 ,對稱軸 x = 2a ： a T , f (x)在a+1 , a+2上單調(diào)遞

19、減 fMax 二-(a1)24a(a 1)_3a2=2a -1fm-(a2)24a(a 2)-3a2 =4a-4 依題 I f (x) | - a ：= | fMax l_ a I f min l_ a 即 |2a-1|_a,|4a - 4|_a 44 4曲叮門彳-,1) 解得5,又0 ： a ： 1a的取值范圍是 5 2 2 .已知函數(shù)f (x) = x3+ ax2 + bx+ c在x= 3與x= 1時(shí)都取得極值(1 )求a、b的值與函 數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間 (2)若對x 1 , 2,不等式f (x) :c2恒成立，求c的取值范圍。 解：(1) f (x) = x3 + ax2 + bx+

20、 c , f (x)= 3x2 + 2ax + b 212 3)= 9 4a+ b = 0 3 1 f (1) = 3+ 2a+ b = 0 得 a =2 , f (x)= 3x2 x 2=( 3x + 2) (x 1),函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間如下表: x 2 (oO ,3 ) 2 3 2 (3 , 1) 1 (1, +) f (x)1 + 0 一 0 + f (x) 極大值 極小值 2 2 所以函數(shù)f (x)的遞增區(qū)間是(一:,3 )與(1, + ：),遞減區(qū)間是(一 3 , 1) (2) f (x)= x3 2 x2 2x + c, xw 1, 2，當(dāng) x= 3 時(shí)，f (x) = 27

21、 + c 為極大值，而f (2)= 2+ c,貝U f ( 2)= 2 + c為最大值。 要使 f(x)f(2) = 2 + c,解得c2 題型七：利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根 1y/3 1.已知平面向量 a =(3 , 1). b=(2,2). IIIIIlli (1)若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，使x = a+(t2 3) b , y =-k a +t b , x丄y , 試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t); 據(jù)(1)的結(jié)論，討論關(guān)于t的方程f(t) k=0的解的情況. 解：(1) x 丄 yx y=0 即a+(t2-3) b ( -k a +t b )=o. 2 2 整理后得-k a +t-k(t2-3

22、) a b + (t2- 3) b =0 A 2 2 1 / a b=o, a =4, b =1，二 上式化為-4k+t(t2-3)=0 ，即 k= 4 t(t2-3) 1 1 (2)討論方程 4 t(t2-3)-k=0 的解的情況，可以看作曲線f(t)=4 t(t2-3)與直線y=k的交點(diǎn)個(gè) 數(shù) 33 于是f (t)= 4 (t2-1)=4 (t+1)(t-1). 令 f (t)=0, 解得t仁-1,t2=1. 當(dāng)t變化時(shí)，f 、f(t)的變化情況如下表： t (-m, -1) -1 (-1,1) 1 (1,+ m) f + 0 - 0 + F(t) / 極大值 極小值 / 1 當(dāng)t= 1時(shí)

23、，f(t)有極大值，f(t)極大值=2 . 1 當(dāng)t=1時(shí)，f(t)有極小值，f(t)極小值=2 函數(shù)f(t)=4 t(t2-3)的圖象如圖13 2 1所示, 可觀察出： (1)當(dāng)k 2或kv 2時(shí),方程f(t) k=0有且只有一解; 1 1 當(dāng)k= 2或k= 2時(shí),方程f(t) k=0有兩解; 1 1 當(dāng)一2 v kv 2時(shí)，方程f(t) k=0有三解. 2已知函數(shù)f(x)=kx -3(k 1)x -2k4,若f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0, 4) (I) 求k的值； (II) 若對任意的t -1,1,關(guān)于x的方程2x2 5x f (t)總有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值 范圍。 解: (I) f (x

24、) =3kx2 -6(k 1)x 又 f(4) =0,. k =1 4 分 (II) . f (t) =3t 12t. 1：t：0時(shí)f (t)0;0 ： t ： 1 時(shí)f (t) : 0 28a 25 且 f ( -1) = -5, f (1) = 3,. f (t) _ -52x 5x a _ 8 8a - 2515 5解得a 12分 88 題型八：導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合 1設(shè)a 0,函數(shù)f(x)二X -ax在1/:) 上是單調(diào)函數(shù). (1) 求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2) 設(shè) x0 1, f(x) 1, 且 以。)，求證:f(X0)= X0. 解: (1) y、f (x) =3x2 -比若f(x

25、)在町V上是單調(diào)遞減函數(shù)，貝y須八：0,即a 3x2,這 樣的實(shí)數(shù)a不存在.故f (X)在人* ：上不可能是單調(diào)遞減函數(shù). 若f(x)在I r上是單調(diào)遞增函數(shù)，則a 3x2, 由于 x L ；,故3x - 3.從而 0a 3. (2)方法1、可知f(X)在1 上只能為單調(diào)增函數(shù).若1 X。 f(X。)，則 f (x0)： f ( f (x0) =x0 矛盾,若 1 w f (X0) 3,又0 ca 蘭3 二 xo+xou+u +1 a：0 f (x) =(x2 +)(x+a) 2 已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)2 (1) 若函數(shù)f(x)的圖象上有與x軸平行的切線，求 a的取值范圍 (2) 若f(-1)=o

26、，(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間 X X“-1o)1 f(xiHf (x2)K5 (n)證明對任意的Xi、x2 (-1,o)，不等式16恒成立 323323 * f (x) = x ax x a . f (x) = 3x 2ax - 解：22,2 : 函數(shù)f(x)的圖象有與x軸平行的切線，f(x)=o有實(shí)數(shù)解 .: -4a2 -4 3 3 _0 a 2 9 - 2，所以a的取值范圍是 (叫一3J2U? J2+粗) 2 2 3 / f(-1)=0 二 3-2a= =0 92 af (x) = 3x 4 1 = 3(X 2)(X 1) 1 x 由 f(x) , x :： -1 或 2 ； 由 f

27、(x) 0, 一1 ： x ： 一丄 2 1 (sa 1) ( +oc) f(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是2；單調(diào)減區(qū)間為 (-匕) f (T) =25 易知f(x)的最大值為 8 , f(x)的極小值為 fT 49 16 ，又f(0)煜 f(x)在T，上的最大值M 27 49 m 8，最小值16 49 7 -對任意X x2 (T,0)，恒有 |f(X1) f(X2)|m=E 16 16 a 3已知函數(shù)f (x) =1 nx -一 x (1)當(dāng)a o時(shí)，判斷f (x)在定義域上的單調(diào)性； 3 若f (x)在1,e上的最小值是 ，求a的值； 2 2_ 設(shè)g(x)=ln x-a，若g (x) : x在(0

28、,e上恒成立，求 a的取值范圍 題型九：導(dǎo)數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用 1 .請您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六 m 2 m (16 12x -x3) 2(單位: 棱錐(如右圖所示)。試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn) 0到底面中心01的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大? 解：設(shè) 00偽 x m，則 1 ： x ： 4 3 3 (8 2x-x2) ,(單位: 由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為：3 一(X - .3 6 ( 2 2 故底面正六邊形的面積為：4, 8 2 x ) = 2 V (x)=邁(8+2x_x2)(x_1)+1 帳篷的體積為：23 V(x)=竺(12 3x2) 求導(dǎo)

29、得2。 令V(x) 0，解得x 2(不合題意，舍去),x = 2 , 當(dāng) 1：x；：2 時(shí)，V( x)0 , V (x)為增函數(shù); 當(dāng)2 x : 4時(shí)，V( x)： 0 , V (x)為減函數(shù)。 .當(dāng)x =2時(shí)，V (x)最大。 3 答：當(dāng)OO1為2 m時(shí)，帳篷的體積最大，最大體積為1 3 m。 2 統(tǒng)計(jì)表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量 y (升)關(guān)于行駛速度x (千米/ 133 y =x x + 8(0 x120). 小時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為：12800080 已知甲、乙兩地相距 100千米。 (I )當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？ (II )當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少