曲邊梯形的面積完整版[實用課資]

1、新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 一、求曲邊梯形面積的一般步驟一、求曲邊梯形面積的一般步驟 二、定積分二、定積分 1.函數(shù)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上的定積分的概念上的定積分的概念; 1 0 0 2.( )? 3.( )lim( )? b a n b ii a i f x dx f x dxfx 的幾何意義是什么 如何理解 4.定積分是變量還是常量定積分是變量還是常量? 5.定積分的作用是什么定積分的作用是什么? 教材研讀教材研讀 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 微積分在幾何上有兩個基本問題微積分在幾何上有兩個基本問題 1. 1.如何確定曲線上一點處切

2、線的斜率；如何確定曲線上一點處切線的斜率； 2.2.如何求曲線下方如何求曲線下方“曲線梯形曲線梯形”的面積。的面積。 x y 0 x y 0 x y o 直線直線幾條線段連成的折線幾條線段連成的折線曲線？曲線？ 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 一般地一般地, , 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)y=f(x)在某個區(qū)間在某個區(qū)間I I上的圖上的圖 象是一條連續(xù)不斷的曲線象是一條連續(xù)不斷的曲線, , 那么就把它稱為區(qū)那么就把它稱為區(qū) 間間I I上的上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù). . ab o x y ab o x y 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 曲邊梯形曲邊梯形：在直角坐標系中，由連續(xù)曲線在直角坐標系

3、中，由連續(xù)曲線 y=f(x)y=f(x)，直線，直線x=ax=a、x=bx=b及及x x軸所圍成的圖形軸所圍成的圖形 叫做曲邊梯形。叫做曲邊梯形。 Ox y a b y=f (x) x=a x=b 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 因此，我們可以用一條直線因此，我們可以用一條直線L L來代替點來代替點P P附附 近的曲線，也就是說：在點近的曲線，也就是說：在點P P附近，曲線可以附近，曲線可以 看作直線（即在很小范圍內看作直線（即在很小范圍內以直代曲以直代曲） P 放大放大 再放大再放大 P P 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 1.5.1 1.5.1 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 特殊：特殊

4、：求直線求直線x x 0 0、x x 1 1、y y 0 0及曲線及曲線 y y x x2 2 所 所 圍成的平面圖形（曲邊三角形）面積圍成的平面圖形（曲邊三角形）面積S S是多少？是多少？ x y O1 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 x y O1 方案方案1 方案方案2 2 方案方案3 為了計算曲邊三角形的面積為了計算曲邊三角形的面積S S，將它分割，將它分割 成許多小曲邊梯形成許多小曲邊梯形 對任意一個小曲邊梯形，用對任意一個小曲邊梯形，用“直邊直邊”代替代替 “曲邊曲邊”（即在很小范圍內以直代曲），有（即在很小范圍內以直代曲），有 以下三種方案以下三種方案“以直代曲以直代曲” ” 。

5、 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 y = f(x) bax y O A1 用一個矩形的面積用一個矩形的面積A A1 1近似代替曲邊梯形的近似代替曲邊梯形的 面積面積 A A，得，得 .AA 1 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 用兩個矩形的面積用兩個矩形的面積 近似代替曲邊梯形的近似代替曲邊梯形的 面積面積A A， 得得 y = f(x) bax y O A1A2 .AAA 21 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 用四個矩形的面積用四個矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面近似代替曲邊梯形的面 積積A A， 得得 y = f(x) bax y O A1A2A3A4 .AAAAA 4321 新寧一中

6、高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 將曲邊梯形分成將曲邊梯形分成 n n個小曲邊梯形，并用小矩陣形的個小曲邊梯形，并用小矩陣形的 面積代替小曲邊梯形的面積，面積代替小曲邊梯形的面積， 于是曲邊梯形的面積于是曲邊梯形的面積A A 近似為近似為 y = f(x) bax y O A A1+ A2 + + An A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,無限逼近無限逼近 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 分割越細，面積的近似值就越精確。分割越細，面積的近似值就越精確。當當 分割無限變細時，這個近似值就無限逼近分割無限變細時，這個近似值就無限逼近 所求曲邊梯形的面積所求曲邊梯形的面積S S。 下面用第一種方案下面用第

7、一種方案“以直代曲以直代曲”的具體操作過的具體操作過 程程 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 (1) (1) 分割分割 把區(qū)間把區(qū)間00，1 1等分成等分成n n個小區(qū)間：個小區(qū)間： , n n , n 1n , n i , n 1i , n 2 , n 1 , n 1 , 0 n 1 n 1i n i x 每個區(qū)間的長度為每個區(qū)間的長度為 過各區(qū)間端點作過各區(qū)間端點作x x軸的垂線，從而得到軸的垂線，從而得到n n 個小曲邊梯形，他們的面積分別記作個小曲邊梯形，他們的面積分別記作 .S,S,S,S ni21 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 (2) (2) 以直代曲以直代曲 n 1 ) n

8、1i (x) n 1i ( fS 2 i (3) (3) 作和作和 )1n(210 n 1 n 1 ) n 1- i ( n 1 ) n 1- i f( SSSSS 2222 3 n 1i 2 n 1i n 1i in21 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 (4) (4) 逼近逼近 . 3 1 ) n 1 2)( n 1 1( 6 1 )12n(n)1n( 6 1 n 1 )1n(210 n 1 )n(0 x 3 2222 3 時時，亦亦即即當當分分割割無無限限變變細細，即即 分割分割以直代曲以直代曲作和作和逼近逼近 。面面積積為為，即即所所求求曲曲邊邊三三角角形形的的所所以以 3 1 3 1

9、 S 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 當分點非常多（當分點非常多（n n非常大）時，可以認為非常大）時，可以認為 f(x)f(x)在小區(qū)間上幾乎沒有變化（或變化非常在小區(qū)間上幾乎沒有變化（或變化非常 ?。?，從而可以取小區(qū)間內任意一點?。?，從而可以取小區(qū)間內任意一點 x xi i 對應對應 的函數(shù)值的函數(shù)值 f(xf(xi i) ) 作為小矩形一邊的長，于是作為小矩形一邊的長，于是f(xf(xi i) ) x x 來近似表示小曲邊梯形的面積來近似表示小曲邊梯形的面積 x)f(xx)f(xx)x( f n21 表示了曲邊梯形面積的近似值表示了曲邊梯形面積的近似值 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學

10、 觀察以下演示，注意當分割加細時，觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 觀察以下演示，注意當分割加細時，觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 觀察以下演示，注意當分割加細時，觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 觀察以下演示，注意當分割加細時，觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊

11、梯形面積的關系 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 觀察以下演示，注意當分割加細時，觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 觀察以下演示，注意當分割加細時，觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 觀察以下演示，注意當分割加細時，觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 觀察以下演示，注意當分割加細時，觀察以下演示，注意當分割加細時，

12、 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 觀察以下演示，注意當分割加細時，觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 觀察以下演示，注意當分割加細時，觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 觀察以下演示，注意當分割加細時，觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 觀察以下演示，注

13、意當分割加細時，觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 觀察以下演示，注意當分割加細時，觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 觀察以下演示，注意當分割加細時，觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 觀察以下演示，注意當分割加細時，觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系 新

14、寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 f( 2) y = f(x) bax y O x1xi-1xixn-1x2 i f( i) 1 2 f( 1) f( i) xi 在在 a, ba, b中任意插入中任意插入 n -1n -1個分點個分點 得得n n個小區(qū)間：個小區(qū)間： x xi i 1 1 , , x xi i (i=1, 2 , (i=1, 2 , , , n)n) 把曲邊梯形分把曲邊梯形分 成成 n n 個窄曲邊個窄曲邊 梯形梯形 任取任取x xi i xxi i 1 1，x xi i ，以，以f (xf (x i i) ) x xi i近似代替第近似代替第i i個窄曲個窄曲 邊梯形的面積邊

15、梯形的面積 區(qū)間區(qū)間xxi i 1 1 , x, xi i 的長的長 度度 x xi i x xi i x xi i 1 1 曲邊梯形的面積近似為：曲邊梯形的面積近似為：A A n i ii xf 1 )( 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 f( 2) y = f(x) bax y O x1xi-1xixn-1x2 i f( i) 1 2 f( 1) f( i) xi n i ii n xfS 1 .)(lim 曲邊梯形的面積為曲邊梯形的面積為 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 練習練習 ：求直線求直線x=0, x=2, y=0與與 y=x2所圍成的曲邊梯形的面積所圍成的曲邊梯形的面積. 新寧

16、一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 求由連續(xù)曲線求由連續(xù)曲線y=f(x)y=f(x)對應的曲邊梯形面積的方法對應的曲邊梯形面積的方法 (1) (1) 分割分割 (2) (2) 近似代替近似代替 (4) (4) 取極限取極限 o x y (3) (3) 求和求和 小結小結 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 分點越來越密時，分點越來越密時， 即分割越來越細時，即分割越來越細時， 矩形面積和的極限即矩形面積和的極限即 為曲邊形的面積。為曲邊形的面積。 把這些矩形面積相加把這些矩形面積相加作為整個曲邊形面積作為整個曲邊形面積 S S的近似值。的近似值。 o x y 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 011

17、1 1 0 , , max,0,1,2,1, 1,2,0, iin iiiI n ii i f xa b axxxxxba bn xinxx inIfx 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù) 用分點 將區(qū)間等分成 個小區(qū)間 在每個小區(qū)間上任取一點 作和式當時 上述和式無 1 1 0 0 , , ( )li , m()lim. b a n i n n b i a i i i fx a bf f x dxfx x dx ba f n 限接近某個常數(shù) 這個常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間 上的記作 即 定定積積分分 函數(shù)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上的定積分的概念上的定積分的概念; , , ,. 積分下限積分上限 積分區(qū)間被

18、積函數(shù) 這里與 分別叫做與區(qū)間 叫做函數(shù)叫做叫 做叫積分被積式做變量 ab a bf xx f x dx 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 函數(shù)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上的定積分上的定積分,記作記作: 01 1 () li( )( )m( ) n ii n b i an ii f x dxfx ba f n b a dxxf)( 1.定積分的概念定積分的概念: 知識歸納知識歸納 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 2.定積分的幾何意義定積分的幾何意義: 在區(qū)間在區(qū)間a, b上函數(shù)上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有連續(xù)且恒有f(x) 0. 表示由直線表示由直線x=a, x=b(ab), y=0和曲線

19、和曲線 y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積所圍成的曲邊梯形的面積(因而定積因而定積 分是一個確定的常數(shù)分是一個確定的常數(shù)) a b x y )(bf )(xfy 0 )(af 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 2.定積分的幾何意義定積分的幾何意義: 在區(qū)間在區(qū)間a, b上函數(shù)上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有連續(xù)且恒有 f(x) 0. 表示由直線表示由直線x=a, x=b(ab), y=0和曲線和曲線 y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積所圍成的曲邊梯形的面積(因而定積因而定積 分是一個確定的常數(shù)分是一個確定的常數(shù)) 3.定積分的作用定積分的作用 求曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積 a b x y )(bf

20、 )(xfy 0 )(af 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 應用應用1: 用定積分的概念用定積分的概念, 寫出寫出 拋物線拋物線y=x2與直線與直線x=1, y=0所圍成所圍成 的陰影部分的面積的陰影部分的面積 知識應用知識應用 11 2 00 , 1 . 3 根據(jù)定積分的概念 曲邊梯形的面積 Sf x dxx dx 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 1 2 0 (1)(, ,) (2)1 b a dxbaa b ab x dx 證明其中 均為常數(shù) 且 求的大小 應用應用2: 新寧一中高二數(shù)學新寧一中高二數(shù)學 應用應用3: 請利用定積分的幾何意義，請利用定積分的幾何意義， 表示出陰影部分的面積表示出陰影部分的面積S. a b x y 0 A C B D )( 1 xfy )( 2 xfy .dxxfdxxfS, b a 2 b a 1 容