曲邊梯形的面積完整版[實(shí)用課資]

1、新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 一、求曲邊梯形面積的一般步驟一、求曲邊梯形面積的一般步驟 二、定積分二、定積分 1.函數(shù)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上的定積分的概念上的定積分的概念; 1 0 0 2.( )? 3.( )lim( )? b a n b ii a i f x dx f x dxfx 的幾何意義是什么 如何理解 4.定積分是變量還是常量定積分是變量還是常量? 5.定積分的作用是什么定積分的作用是什么? 教材研讀教材研讀 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 微積分在幾何上有兩個(gè)基本問(wèn)題微積分在幾何上有兩個(gè)基本問(wèn)題 1. 1.如何確定曲線上一點(diǎn)處切

2、線的斜率；如何確定曲線上一點(diǎn)處切線的斜率； 2.2.如何求曲線下方如何求曲線下方“曲線梯形曲線梯形”的面積。的面積。 x y 0 x y 0 x y o 直線直線幾條線段連成的折線幾條線段連成的折線曲線？曲線？ 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 一般地一般地, , 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間在某個(gè)區(qū)間I I上的圖上的圖 象是一條連續(xù)不斷的曲線象是一條連續(xù)不斷的曲線, , 那么就把它稱為區(qū)那么就把它稱為區(qū) 間間I I上的上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù). . ab o x y ab o x y 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 曲邊梯形曲邊梯形：在直角坐標(biāo)系中，由連續(xù)曲線在直角坐標(biāo)系

3、中，由連續(xù)曲線 y=f(x)y=f(x)，直線，直線x=ax=a、x=bx=b及及x x軸所圍成的圖形軸所圍成的圖形 叫做曲邊梯形。叫做曲邊梯形。 Ox y a b y=f (x) x=a x=b 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 因此，我們可以用一條直線因此，我們可以用一條直線L L來(lái)代替點(diǎn)來(lái)代替點(diǎn)P P附附 近的曲線，也就是說(shuō)：在點(diǎn)近的曲線，也就是說(shuō)：在點(diǎn)P P附近，曲線可以附近，曲線可以 看作直線（即在很小范圍內(nèi)看作直線（即在很小范圍內(nèi)以直代曲以直代曲） P 放大放大 再放大再放大 P P 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 1.5.1 1.5.1 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 特殊：特殊

4、：求直線求直線x x 0 0、x x 1 1、y y 0 0及曲線及曲線 y y x x2 2 所 所 圍成的平面圖形（曲邊三角形）面積圍成的平面圖形（曲邊三角形）面積S S是多少？是多少？ x y O1 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) x y O1 方案方案1 方案方案2 2 方案方案3 為了計(jì)算曲邊三角形的面積為了計(jì)算曲邊三角形的面積S S，將它分割，將它分割 成許多小曲邊梯形成許多小曲邊梯形 對(duì)任意一個(gè)小曲邊梯形，用對(duì)任意一個(gè)小曲邊梯形，用“直邊直邊”代替代替 “曲邊曲邊”（即在很小范圍內(nèi)以直代曲），有（即在很小范圍內(nèi)以直代曲），有 以下三種方案以下三種方案“以直代曲以直代曲” ” 。

5、 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) y = f(x) bax y O A1 用一個(gè)矩形的面積用一個(gè)矩形的面積A A1 1近似代替曲邊梯形的近似代替曲邊梯形的 面積面積 A A，得，得 .AA 1 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 用兩個(gè)矩形的面積用兩個(gè)矩形的面積 近似代替曲邊梯形的近似代替曲邊梯形的 面積面積A A， 得得 y = f(x) bax y O A1A2 .AAA 21 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 用四個(gè)矩形的面積用四個(gè)矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面近似代替曲邊梯形的面 積積A A， 得得 y = f(x) bax y O A1A2A3A4 .AAAAA 4321 新寧一中

6、高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 將曲邊梯形分成將曲邊梯形分成 n n個(gè)小曲邊梯形，并用小矩陣形的個(gè)小曲邊梯形，并用小矩陣形的 面積代替小曲邊梯形的面積，面積代替小曲邊梯形的面積， 于是曲邊梯形的面積于是曲邊梯形的面積A A 近似為近似為 y = f(x) bax y O A A1+ A2 + + An A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,無(wú)限逼近無(wú)限逼近 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 分割越細(xì)，面積的近似值就越精確。分割越細(xì)，面積的近似值就越精確。當(dāng)當(dāng) 分割無(wú)限變細(xì)時(shí)，這個(gè)近似值就無(wú)限逼近分割無(wú)限變細(xì)時(shí)，這個(gè)近似值就無(wú)限逼近 所求曲邊梯形的面積所求曲邊梯形的面積S S。 下面用第一種方案下面用第

7、一種方案“以直代曲以直代曲”的具體操作過(guò)的具體操作過(guò) 程程 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) (1) (1) 分割分割 把區(qū)間把區(qū)間00，1 1等分成等分成n n個(gè)小區(qū)間：個(gè)小區(qū)間： , n n , n 1n , n i , n 1i , n 2 , n 1 , n 1 , 0 n 1 n 1i n i x 每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度為每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度為 過(guò)各區(qū)間端點(diǎn)作過(guò)各區(qū)間端點(diǎn)作x x軸的垂線，從而得到軸的垂線，從而得到n n 個(gè)小曲邊梯形，他們的面積分別記作個(gè)小曲邊梯形，他們的面積分別記作 .S,S,S,S ni21 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) (2) (2) 以直代曲以直代曲 n 1 ) n

8、1i (x) n 1i ( fS 2 i (3) (3) 作和作和 )1n(210 n 1 n 1 ) n 1- i ( n 1 ) n 1- i f( SSSSS 2222 3 n 1i 2 n 1i n 1i in21 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) (4) (4) 逼近逼近 . 3 1 ) n 1 2)( n 1 1( 6 1 )12n(n)1n( 6 1 n 1 )1n(210 n 1 )n(0 x 3 2222 3 時(shí)時(shí)，亦亦即即當(dāng)當(dāng)分分割割無(wú)無(wú)限限變變細(xì)細(xì)，即即 分割分割以直代曲以直代曲作和作和逼近逼近 。面面積積為為，即即所所求求曲曲邊邊三三角角形形的的所所以以 3 1 3 1

9、 S 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 當(dāng)分點(diǎn)非常多（當(dāng)分點(diǎn)非常多（n n非常大）時(shí)，可以認(rèn)為非常大）時(shí)，可以認(rèn)為 f(x)f(x)在小區(qū)間上幾乎沒(méi)有變化（或變化非常在小區(qū)間上幾乎沒(méi)有變化（或變化非常 ?。?，從而可以取小區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)?。瑥亩梢匀⌒^(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn) x xi i 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng) 的函數(shù)值的函數(shù)值 f(xf(xi i) ) 作為小矩形一邊的長(zhǎng)，于是作為小矩形一邊的長(zhǎng)，于是f(xf(xi i) ) x x 來(lái)近似表示小曲邊梯形的面積來(lái)近似表示小曲邊梯形的面積 x)f(xx)f(xx)x( f n21 表示了曲邊梯形面積的近似值表示了曲邊梯形面積的近似值 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué)

10、 觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊

11、梯形面積的關(guān)系 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，

12、 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 觀察以下演示，注

13、意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 新

14、寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) f( 2) y = f(x) bax y O x1xi-1xixn-1x2 i f( i) 1 2 f( 1) f( i) xi 在在 a, ba, b中任意插入中任意插入 n -1n -1個(gè)分點(diǎn)個(gè)分點(diǎn) 得得n n個(gè)小區(qū)間：個(gè)小區(qū)間： x xi i 1 1 , , x xi i (i=1, 2 , (i=1, 2 , , , n)n) 把曲邊梯形分把曲邊梯形分 成成 n n 個(gè)窄曲邊個(gè)窄曲邊 梯形梯形 任取任取x xi i xxi i 1 1，x xi i ，以，以f (xf (x i i) ) x xi i近似代替第近似代替第i i個(gè)窄曲個(gè)窄曲 邊梯形的面積邊

15、梯形的面積 區(qū)間區(qū)間xxi i 1 1 , x, xi i 的長(zhǎng)的長(zhǎng) 度度 x xi i x xi i x xi i 1 1 曲邊梯形的面積近似為：曲邊梯形的面積近似為：A A n i ii xf 1 )( 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) f( 2) y = f(x) bax y O x1xi-1xixn-1x2 i f( i) 1 2 f( 1) f( i) xi n i ii n xfS 1 .)(lim 曲邊梯形的面積為曲邊梯形的面積為 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 練習(xí)練習(xí) ：求直線求直線x=0, x=2, y=0與與 y=x2所圍成的曲邊梯形的面積所圍成的曲邊梯形的面積. 新寧

16、一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 求由連續(xù)曲線求由連續(xù)曲線y=f(x)y=f(x)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積的方法對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積的方法 (1) (1) 分割分割 (2) (2) 近似代替近似代替 (4) (4) 取極限取極限 o x y (3) (3) 求和求和 小結(jié)小結(jié) 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 分點(diǎn)越來(lái)越密時(shí)，分點(diǎn)越來(lái)越密時(shí)， 即分割越來(lái)越細(xì)時(shí)，即分割越來(lái)越細(xì)時(shí)， 矩形面積和的極限即矩形面積和的極限即 為曲邊形的面積。為曲邊形的面積。 把這些矩形面積相加把這些矩形面積相加作為整個(gè)曲邊形面積作為整個(gè)曲邊形面積 S S的近似值。的近似值。 o x y 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 011

17、1 1 0 , , max,0,1,2,1, 1,2,0, iin iiiI n ii i f xa b axxxxxba bn xinxx inIfx 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù) 用分點(diǎn) 將區(qū)間等分成 個(gè)小區(qū)間 在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn) 作和式當(dāng)時(shí) 上述和式無(wú) 1 1 0 0 , , ( )li , m()lim. b a n i n n b i a i i i fx a bf f x dxfx x dx ba f n 限接近某個(gè)常數(shù) 這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間 上的記作 即 定定積積分分 函數(shù)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上的定積分的概念上的定積分的概念; , , ,. 積分下限積分上限 積分區(qū)間被

18、積函數(shù) 這里與 分別叫做與區(qū)間 叫做函數(shù)叫做叫 做叫積分被積式做變量 ab a bf xx f x dx 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 函數(shù)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上的定積分上的定積分,記作記作: 01 1 () li( )( )m( ) n ii n b i an ii f x dxfx ba f n b a dxxf)( 1.定積分的概念定積分的概念: 知識(shí)歸納知識(shí)歸納 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 2.定積分的幾何意義定積分的幾何意義: 在區(qū)間在區(qū)間a, b上函數(shù)上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有連續(xù)且恒有f(x) 0. 表示由直線表示由直線x=a, x=b(ab), y=0和曲線

19、和曲線 y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積所圍成的曲邊梯形的面積(因而定積因而定積 分是一個(gè)確定的常數(shù)分是一個(gè)確定的常數(shù)) a b x y )(bf )(xfy 0 )(af 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 2.定積分的幾何意義定積分的幾何意義: 在區(qū)間在區(qū)間a, b上函數(shù)上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有連續(xù)且恒有 f(x) 0. 表示由直線表示由直線x=a, x=b(ab), y=0和曲線和曲線 y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積所圍成的曲邊梯形的面積(因而定積因而定積 分是一個(gè)確定的常數(shù)分是一個(gè)確定的常數(shù)) 3.定積分的作用定積分的作用 求曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積 a b x y )(bf

20、 )(xfy 0 )(af 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 應(yīng)用應(yīng)用1: 用定積分的概念用定積分的概念, 寫(xiě)出寫(xiě)出 拋物線拋物線y=x2與直線與直線x=1, y=0所圍成所圍成 的陰影部分的面積的陰影部分的面積 知識(shí)應(yīng)用知識(shí)應(yīng)用 11 2 00 , 1 . 3 根據(jù)定積分的概念 曲邊梯形的面積 Sf x dxx dx 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 1 2 0 (1)(, ,) (2)1 b a dxbaa b ab x dx 證明其中 均為常數(shù) 且 求的大小 應(yīng)用應(yīng)用2: 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 應(yīng)用應(yīng)用3: 請(qǐng)利用定積分的幾何意義，請(qǐng)利用定積分的幾何意義， 表示出陰影部分的面積表示出陰影部分的面積S. a b x y 0 A C B D )( 1 xfy )( 2 xfy .dxxfdxxfS, b a 2 b a 1 容