平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(精華)

1、曲品論說(shuō)必修4平面向量知識(shí)點(diǎn)小結(jié)一、向量的基本概念1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別.向量常用有向線段來(lái)表示.注意：不能說(shuō)向量就是有向線段，為什么？提示：向量可以平移.舉例1已知A(1,2)，B(4,2)，則把向量AB按向量a (1,3)平移后得到的向 量是. 結(jié)果：(3,0)2. 零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作：0，規(guī)定：零向量的 方向是任意的；3. 單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量(與AB共線uuu的單位向量是-AL)；|AB|4. 相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向 量有傳遞性；5. 平行向量(也叫共線向量)：方向相同或

2、相反的非零向量a、b叫 做平行向量，記作：a / b,規(guī)定：零向量和任何向量平行.注：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等； 兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量 平行包含兩個(gè)向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合； 平行向量無(wú)傳遞性！(因?yàn)橛?)； 三點(diǎn)A B、C共線 AB、皚共線.6. 相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量 記作a.舉例2如下列命題：(1)若|a 1 |b|，則a b.(2) 兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同.(3) 若AB DU，則abcd是平行四邊形.(4) 若abcd是平行四邊形，則AB DUU.(5

3、) 若 a b , b C，則 a c.(6) 若a/b, b加則a/c.其中正確的是 .結(jié)果：(4) (5)二、向量的表示方法1 .幾何表示：用帶箭頭的有向線段表示，如AB，注意起點(diǎn)在前，終 點(diǎn)在后；昨A論葉彳2. 符號(hào)表示：用一個(gè)小寫(xiě)的英文字母來(lái)表示，如a, b, c等；3. 坐標(biāo)表示：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與 x軸、y軸方向相同 的兩個(gè)單位向量r，r為基底，則平面內(nèi)的任一向量a可表示為 a x【y (x, y)，稱(chēng)(x, y)為向量a的坐標(biāo)，a (x, y)叫做向量a的坐標(biāo)表示.結(jié)論：如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo) 相同三、平面向量的基本定理定理 設(shè)e,同一平面

4、內(nèi)的一組基底向量，a是該平面內(nèi)任一向量， 則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)(1,2),使a ie 2&.(1)定理核心：a法也；(2)從左向右看，是對(duì)向量a的分解，且表達(dá)式唯一；反之，是對(duì)向量(3)向量的正交分解:a的合成.當(dāng)龍時(shí)，就說(shuō)a洛也為對(duì)向量a的正交分解.舉例 3(1)若 a (1,1),b (1, 1) , c ( 1,2)，則 c結(jié)果:3b.2(2) 下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是A. & (0,0) , e (1, 2) B.& ( 1,2),占2 (5,7) C.c、 r 133)，勺 2 7(3) 已知AS,BE分別是 ABC的邊BC , AC上的中線，且AK可用向量ar,b表示

5、為.結(jié)果：爭(zhēng)級(jí)33(4) 已知MBC中，點(diǎn)D在BC邊上，且CD值是.結(jié)果：0.四、實(shí)數(shù)與向量的積實(shí)數(shù)下：(1)(2)D. & (2,uuruur uur2DBCD rAB與向量a的積是個(gè)向量，記作 a,B(3,5) , e (6,10)uu ruurBE b ,則 BCSAC，則r s的它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如模：I ai丨丨向； 方向：當(dāng) 0時(shí)， 方向與a的方向相反，當(dāng)注意：a 0.五、平面向量的數(shù)量積1.兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量a , b，作OA a , COB b，則把 AOB (0)稱(chēng)為向量a , b的夾角.a的方向與a的方向相同，當(dāng) 0時(shí)，a的0 時(shí)，a 0,北品說(shuō)彳當(dāng) o時(shí)，a，

6、b同向；當(dāng) 時(shí)，a， b反向；當(dāng) -時(shí)，a， b垂 直.2. 平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量a，b，它們的夾角為， 我們把數(shù)量iaiibas叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：ab， 即 a b | a | | b | cos .規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0.注：數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量.舉例 4（ 1） ABC 中，|AB| 3，4，|BC| 5，則 AB BC .結(jié)果:9.（2）已知 a 1,2 , b 0,1 ,c a kba b，c 與 d 的夾角為-，則 k .結(jié)果：1.（3） 已知 |a| 2， |b| a b的幾何意義：數(shù)量積a b等于a的模向與b在a上的

7、投影的積. 向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量a, b,其夾角為，貝 （1）a b a b 0 ； （2）當(dāng)a、b同向時(shí)，ab舀齒,特別地，a2 aa併舀鳥(niǎo)2； a b齒bi是a、b同向的充要分條件； 當(dāng)a、b反向時(shí)，ab |S| ibi, ab ibi是a、b反向的充要分條， a b 3，則 |a b|. 結(jié)果：m.（4） 已知a,b是兩個(gè)非零向量，且|a|b|77J a與a b的夾角為. 結(jié)果：30O.3. 向量b在向量a上的投影：|bas ,它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0.舉例5 已知3, |b| 5，且a b 12，則向量a在向量b上的投影為結(jié)果:12件；當(dāng)為銳角時(shí)，ab 0，且 充分條件

8、；當(dāng)為鈍角時(shí)，a充分條件.（3）非零向量a，且*7O r ba、b不同向，a lb 0是為銳角的a、b不反向；a b 0是為鈍角的舉例6（ 1）已知a（,2），取值范圍是. 結(jié)果：的計(jì)算公式：COS:a|a|b|b（3，2），如果a與b的夾角為銳角舟或0且i ；必要不 必要不 bibi.則的曲品論說(shuō)(2) 已知 OFQ的面積為S，且O FQ 1，若1 s身，則O , FU；夾角的取值范圍是. 結(jié)果：匕；(3) 已知 a (cossin x) ， b (cosy,sin y)， 且滿足 |ka b | 73 |a kb | (其中 k 0).用k表示a b ；求a b的最小值，并求此時(shí)a與b的夾

9、角的大小. 結(jié)果：；b k4_2(k 0)；最小值為1，600 .六、向量的運(yùn)算1 .幾何運(yùn)算(1) 向量加法運(yùn)算法則：平行四邊形法則；三角形法則運(yùn)算形式：若AB a，BC b，則向量AC叫做a與b的和，即 rruuuuuuiuurabABBCAC；作圖：略注：平行四邊形法則只適用于不共線的向量.(2) 向量的減法運(yùn)算法則：三角形法則.運(yùn)算形式：若AB a，AC b,則a b AB AC CA，即由減向量的終 點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)作圖：略注：減向量與被減向量的起點(diǎn)相同舉例 7( 1)化簡(jiǎn)： Au Bur CDr : AB ADD uuu uur uur uur uurunruurr(AB CD

10、) (AC BD).結(jié)果： AD ； CB ； 0 ；(2) 若正方形abcd的邊長(zhǎng)為1，AB a ? Be b，AC c，則a b Ci . 結(jié)果：2 2 ；(3) 若O是厶ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足OB OC |OB OC 2oA，貝卩 ABC的 形狀為. 結(jié)果：直角三角形；(4) 若D為厶ABC的邊BC的中點(diǎn)， ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足uuuPA BP CP 0，設(shè)緩，貝q的值為結(jié)果：2；(5) 若點(diǎn)。是 ABC 的外心，且OA OB CCO0，則 ABC 的內(nèi)角C為 . 結(jié)果：120。.2.坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)$ (洛)，b (X2,y2)，貝S(1)向量的加減法運(yùn)算：a b(X1X2

11、,y1y2), a b(X1X2,y1y?)舉例 8( 1 )已知點(diǎn) A(2,3) , B(5,4) , C(7,10),時(shí)，點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上 結(jié)果：J ；北品論葉彳(2) 已知 A(2,3) ,B(1,4)，且 1AB (sinx,cosy) , x,y (齊)，則 x y結(jié)果: o 或 2 ；(3) 已知作用在點(diǎn)A(1,1)的三個(gè)力F (3,4) ,F2 (2, 5) ,F (3,1), 則合力F岸FU F3的終點(diǎn)坐標(biāo)是結(jié)果：(9,1).(2) 實(shí)數(shù)與向量的積：a(“yj(心y)(3) 若A(x1,y1) ,B(X2,y2)，則AB(X2為山y(tǒng)j，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等 于表示這

12、個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)舉例9設(shè)A(2,3) , B( 1,5)，且AUC 1AB , ADJ 3AU，則C,D的坐標(biāo)分別是3結(jié)果：(1，匕)，(7,9).3(4)平面向量數(shù)量積：ay22Xr b舉例10已知向量 a (sin x,cosx) , b (sinx,sin x) , c ( 1,0).(1) 若x -，求向量a、c的夾角；3(2) 若x 38,_，函數(shù)f(x)abr的最大值為2，求 的值.結(jié)果：(1)150。； (2)1 或 2 1.(5) 向量的模:a2新x2 y2尚.廠y2 .舉例11已知a,b均為單位向量，它們的夾角為60。，那么ia -b| =. 結(jié)果：-1

13、3.(6) 兩點(diǎn)間的距離：若AX),B(X22)，貝S |AB| .(X2 N)2卜2 yj. 舉例12如圖，在平面斜坐標(biāo)系xoy中，xoy 60。，平面上任一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若OP x& ye2，其中箱分別為與x軸、y軸同 方向的單=位向量，則P點(diǎn)斜坐標(biāo)為Z).(1 )若點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為(2, 2)，求P到。的距離lpol ；(2)求以。為圓心，1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系xOy中的方程. 結(jié)果：(1)2；( 2) x2 y2 xy 1 0 .七、向量的運(yùn)算律1. 交換律：2. 結(jié)合律：3. 分配律：舉例13r ar br br ar ar br cr(ar b()ar ar

14、br br aar br cr ar(bc(arb)r ar brrrar c給出下列命題：ra)/ r b rarb)rc r b rc ra r c)/ r ba (b C) a b a c a (b C) (a )cr r 2 r 2 r r r 2 (a b)2 |a|2 2|a|b| |b|2 ；若a b 0，則a 0或b 0 ；若a br cb則a c :苛a2 :U i ； a a 7(a b)2 a2 b2 ；( b)2 a2 2a b b2.其中正確的是. 結(jié)果：.說(shuō)明：(1)向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類(lèi)似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè) 向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，

15、兩邊同時(shí)取模, 兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一 個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；(2)向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即a (b C)(a b) c，為什么？八、向量平行(共線)的充要條件r rr rr r 2r r 2a / /ba b(a b)(|a|b|)%y2%x20 .舉例14 (1)若向量a兇)，b (4,x)，當(dāng)x 時(shí)，a與b共線且方向wABwttrABlaULruuuUy2ACwtrACABwttrABACwtrAC相同.結(jié)果：2.(2)已知 a (1,1) , b(4,x) , U a 2b , v 2a b，且 U/V，則 X.結(jié)果:4.(3

16、)設(shè) PA (k,12) , PB (4,5) , PC (10,k)，則 k時(shí)，A,B,C 共線.結(jié)果:2 或 11.九、向量垂直的充要條件舉例 15 (1)已知 OA ( 1,2)，OB (3,m)，若 OA OB，則 m結(jié)果：m 3 ；(2) 以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB， B 90，則點(diǎn)b的坐標(biāo)是.結(jié)果：(1,3)或(3, 1);(3) 已知n (a,b)向量n m,且山麗，則m的坐標(biāo)是一結(jié)果：*或 (b, a).十、線段的定比分點(diǎn)1. 定義：設(shè)點(diǎn)P是直線P1P2上異于P、F2的任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使PpPP2,則實(shí)數(shù) 叫做點(diǎn)p分有向線段 畀所成的比，p

17、點(diǎn)叫做有向線段P1P2的以定比為的定比分點(diǎn).2. 的符號(hào)與分點(diǎn)p的位置之間的關(guān)系(1) P內(nèi)分線段麗，即點(diǎn)P在線段PP2上 0 ；(2) P外分線段p1pu時(shí)，點(diǎn)P在線段PP2的延長(zhǎng)線上1，點(diǎn)P在線段PP2的反向延長(zhǎng)線上10 .曲品論說(shuō)注：若點(diǎn)P分有向線段PPU所成的比為，則點(diǎn)P分有向線段PzUU所成的 比為1.舉例16若點(diǎn)p分AB所成的比為3，則A分品所成的比為 結(jié)果：;.3. 線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)R(xi,yj , P2gy2)，點(diǎn)P(x,y)分有向線段 隈所成的比為，則定比分XiX2點(diǎn)坐標(biāo)公式為iyii).特別地，當(dāng)說(shuō)明：(i)i時(shí)，就得到線段RP2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式y(tǒng) 在使用定比分點(diǎn)

18、的坐標(biāo)公式時(shí)，應(yīng)明確(D，XiX22 ，yiy22(Xi，yJ、(x, ,y2)的意義，即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn)，終點(diǎn)的坐標(biāo).(2)在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn)，分點(diǎn)和 終點(diǎn)，并根據(jù)這些點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)的定比舉例i7 ( i)若M(3, 2) , N(6, D，且MP1 !Mn，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為結(jié)果:3(6, 3)；(2)已知A(a,O)，B(3,2 a)，直線y lax與線段AB交于M，且爲(wèi)2器，則.結(jié)果：2或4.卜一、平移公式如果點(diǎn)P(x,y)按向量a (h,k)平移至P(x,y)，則x x h,；曲線f(x,y) 0按 y y k.向量a (h,k)平移得曲線f(x h,y k) 0.說(shuō)明：(1)函數(shù)按向量平移與平?！白蠹佑覝p”有何聯(lián)系？ (2)向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了啊！舉例18(1)按向量a把(2, 3)平移到(1,2)，則按向量a把點(diǎn)(7,2)平移到點(diǎn) . 結(jié)果：(8,3)；(2 )函數(shù)y sin2x的圖象按向量a平移后，所得函數(shù)的解析式是 y cos2x 1，貝y a.結(jié)果： (41).十二、向量中一些常用的結(jié)論1. 一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；2. 模的性質(zhì):(1) 右邊等號(hào)成立條件:(2) 左邊等號(hào)成立條件:(3) 當(dāng)a、b不共線冋3.三角形重心公式有有 中中 rb