等差數(shù)列前N項(xiàng)和的性質(zhì)及其應(yīng)用上課講義

1、 肥東錦弘中學(xué)高一年級(jí)數(shù)學(xué)公開課教案授課教師：吳晗班級(jí)：高一（11）時(shí)間：3 月 31 號(hào)下午第一節(jié)課課題：等差數(shù)列前n 項(xiàng)和的性質(zhì)及其應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)：（1） 進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n 項(xiàng)和公式；了解等差數(shù)列的一些性質(zhì)，并會(huì)用它們解決一些相關(guān)問題；會(huì)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式研究 s 的最值。n（2） 經(jīng)歷公式應(yīng)用過程。（3） 通過有關(guān)內(nèi)容在實(shí)際生活中的應(yīng)用，使學(xué)生再一次感受數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活的實(shí)用性，引導(dǎo)學(xué)生善于觀察生活，從生活中發(fā)現(xiàn)問題，并用數(shù)學(xué)方法解決問題。教學(xué)重點(diǎn)：熟練掌握等差數(shù)列求和公式。教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用求和公式解決問題。教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)探究學(xué)法指導(dǎo)：自主

2、學(xué)習(xí)教學(xué)用具：粉筆、黑板、ppt教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)回顧（1） 等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)；（2） 等差數(shù)列前n 項(xiàng)和公式及其推導(dǎo)。二、新課講解探 究 一 ： 等 差 數(shù) 列 前 n 項(xiàng) 和 公 式 可 以 轉(zhuǎn) 化 為 關(guān) 于 n 的 一 元 二 次 方 程 ，n(n -1)dds = na +d = n+ (a - )n ，反過來如果一個(gè)數(shù)列的前n 項(xiàng)和是關(guān)于 n2222的一元二次方程，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？n111 例 1、如果一個(gè)數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)和為 s = n + n，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，22這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公差分別是什么？nn1112解：

3、當(dāng)n 2時(shí)，當(dāng)n = 1時(shí)，a = s - s = n + n - (n -1) + (n -1) = 2n -2222nnn-132a = s =11也滿足上式。 1所以數(shù)列 a 的通項(xiàng)公式為a = 2n -2nn3 由此可見， 數(shù)列 a 是一個(gè)首項(xiàng)為 ，公差為2的等差數(shù)列2n課堂練習(xí) 1 1、如果一個(gè)數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)和為 s = n + n +1，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，22這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公差分別是什么？nn課本第 45 頁(yè)的探究 a等差數(shù)列前n 項(xiàng)和的性質(zhì)一： 數(shù)列 a 是等差數(shù)列 s = an + bn,公差為22nn探究二：既然等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和

4、 s 是關(guān)于 n 的一元二次方程，那么它的n最值怎么求呢？例 2：已知等差數(shù)列5,3,1l 的前n 項(xiàng)和為 s ，求使 s 最大的序號(hào)n 的值？nn解 1：由已知條件知，該等差數(shù)列首項(xiàng) a = 5,公差d = -21n(n -1)s = 5n +(-2) = -n+ 6n = -(n - 3) + 9222n使 最大的序號(hào) 的值為3.snn解 2：由已知條件知， a = 5 - 2(n -1) = -2n + 7,a = -2n + 5nn+1 0572a由解得 n na 02n+1n = 3等差數(shù)列前n 項(xiàng)和的性質(zhì)二： 0a不等式法求 s 的最值：若 a 0,d 0且，則 s 有最大值，若n

5、a 0n+1n1n 0aa 0且 ，則 s 有最小值。n 01ann+1也可以用二次函數(shù)的圖像求最值，但要注意 n n *. ()例 3：已知數(shù)列 a 是等差數(shù)列，s 是其前 n 項(xiàng)和，求證：s , s - s , (s - s )nn61261812也成等差數(shù)列。解：設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為 a ，公差為d ，則有：1s = 6a +15d, s = 12a + 66d, s = 18a +153d61121181 s - s = 6a + 57d, s - s = 6a + 87d126118121(s - s ) - s = 36d, (s - s ) - (s - s ) = 36d12661

6、812126(s s)s ,-,( - ) 是等差數(shù)列，公差為 36dss61261812 等差數(shù)列前 項(xiàng)和的性質(zhì)三：n 若果數(shù)列 a 為等差數(shù)列，則 s , s - s , s - s ,l 也成等差數(shù)列，公差為 k2d 。nk2kk3k2k課堂練習(xí)： 2、已知 a 是等差數(shù)列：n（ 1 ） a + a + a = 5,a + a + a = 10,則,a + a + a =，123456789a + a + a =。192021（2） s = 25, s = 100,則s =。n2n3n 3、等差數(shù)列 a 的前n 項(xiàng)和為 s ，公差 = 2 ，若 s = 1，求a + a + a + ad

7、nn417181920例 4：有一等差數(shù)列共有2n(n n ) 項(xiàng)，它的奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和分別為24*和 30，若最后一項(xiàng)和第一項(xiàng)之差為 10.5，求此數(shù)列的首項(xiàng)、公差和項(xiàng)數(shù)。解：由題意知：s - s = nd = 6解得：n = 4,d =1.5偶奇a - a = (2n -1)d = 10.52n1333又q a + a + a + a = 4a +12d = 24,a = .首項(xiàng)為 ，公差為 ，項(xiàng)數(shù)為8222135711等差數(shù)列前n 項(xiàng)和的性質(zhì)四： ssa若等差數(shù)列 a 共有 2n 項(xiàng)，則 s - s = nd,=，奇偶nn偶奇an+1sn若等差數(shù)列共有 2n -1項(xiàng)，則 s - s

8、 = a ， =奇-1奇偶中sn偶課堂練習(xí)： 4、若等差數(shù)列 a 的前n 項(xiàng)和為 s ，公差 d = 2 ，求nn（1）(a + a + a + a + a ) - (a + a + a + a + a + a + a + a + a（2）13579a + a + a + a2468三、課堂小結(jié)等差數(shù)列前n 項(xiàng)和的性質(zhì)： a等差數(shù)列前n 項(xiàng)和的性質(zhì)一： 數(shù)列 a 是等差數(shù)列 s = an + bn,公差為22nn 0a等差數(shù)列前n 項(xiàng)和的性質(zhì)二：不等式法求s 的最值：若a 0,d 0且，nn1a 0n+1 0a則 s 有最大值，若 a 0且，則 s 有最小值nn1a 0n+1n 等 差 數(shù) 列 前 n 項(xiàng) 和 的 性 質(zhì) 三 ： 若 果 數(shù) 列 a 為 等 差 數(shù) 列 ， 則ns , s - s , s - s ,l 也成等差數(shù)列，公差為 k d2k2kk3k2k 等 差 數(shù) 列 前 n 項(xiàng) 和 的 性 質(zhì) 四 ： 若 等 差 數(shù) 列 a 共 有 2 項(xiàng) ， 則nnssasns