(word完整版)2016年清華大學(xué)自主招生暨領(lǐng)軍計(jì)劃數(shù)學(xué)試題(精校word版,帶解析)-歷年自主招

1、 1已知函數(shù) f2有最小值，則函數(shù)2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）x【答案】c【解析】注意 f /x的三個(gè)內(nèi)角 a b c 所對(duì)的邊為 a b c 下列條件中，能使得dabc的形狀唯一確定的有（）a ab a0cos asin b cosc + cos(b + c) cos b sin c = 0,c = 600cd a【答案】ad3已知函數(shù) f2，下列說(shuō)法中正確的有（）(x), g(x)在點(diǎn)(1,0 )a fb存在 fc fd f 【解析】注意到 y在 處的切線，如圖，因此答案 bd= x -1為函數(shù) g(x) (1,0 ),的焦點(diǎn) f 作直線交拋物線于 a b 兩點(diǎn)， m 為線段 ab 的中點(diǎn)下列說(shuō)法中

2、正確的有4過(guò)拋物線 y2（）3一定相離2d以線段 bm 為直徑的圓與 y 軸一定相切【答案】ab11= -1的距離為 (| af | + | bf |) = | ab |，于是以線段 ab 為直徑223211= -1一定相切，進(jìn)而與直線 x = -一定相離；對(duì)于選項(xiàng) b，c，設(shè) a a2 a ，則 b(，的圓與直線 xa1+ 2，最小值為 4也可將| ab |轉(zhuǎn)化為 ab 中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的 2 倍去得到最小值；21對(duì)于選項(xiàng) d，顯然 bd 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與| bm |不一定相等，因此命題錯(cuò)誤2x2y2=1( 0)a b 的左、右焦點(diǎn)，p 是橢圓c 上一點(diǎn)下列說(shuō)法中正確的有5已知f12b2（）時(shí)

3、，滿足 f pfa a1212dpf f 的周長(zhǎng)小于4a12a2的面積小于等于212 【答案】abcdf pfdf pf最大的點(diǎn) p 位于短軸的兩個(gè)端點(diǎn)；對(duì)于選項(xiàng) c，1212df pf周長(zhǎng)為；選項(xiàng)d，的面積1212= a12222212126甲、乙、丙、丁四個(gè)人參加比賽，有兩花獲獎(jiǎng)比賽結(jié)果揭曉之前，四個(gè)人作了如下猜測(cè)：已知四個(gè)人中有且只有兩個(gè)人的猜測(cè)是正確的，那么兩個(gè)獲獎(jiǎng)?wù)呤牵ǎ゛甲b乙c丙d丁 ab coc7已知 ab 為圓o的一條弦（非直徑），oc于 ， p 為圓o上任意一點(diǎn)，直線 pa 與直線相）四點(diǎn)共圓四點(diǎn)共圓bd以上三個(gè)說(shuō)法均不對(duì)即得答案：ac8是）a充分非必要條件c充分必要條件

4、【答案】bsin b + sinc sin b + sin( - b) = sin b + cos b 1【解析】必要性：由于，2ppd時(shí)，不等式成立，但 abc不是銳角三角形249已知 x, y, z 為正整數(shù)，且 x y z ，那么方程的解的組數(shù)為（）【答案】b【解析】由于(，則 y- 6)(z - 6) = 36(y, z) = (7,42), (8,24), (9,18), (10,15), (12,12)若 x若 x，可得，可得20；(y, z) = (5,20), (6,12), (8,8)；3 1 1 2= + , , = 5,6yy( , , ) = (5,5,10 )，進(jìn)而解

5、得 x y z ；若 x若 x3= 6，可得i j k n a a a a a a a a a 這三個(gè)式子中至1 , + , + , + ，任取12nijjkki少有一個(gè)成立，則n 的最大值為（）a6b7c8d9a 1 , b 61 ,g 121=11已知000 ，則下列各式中成立的有（）tana tan b + tan b tan g + tan g tana = 3a tana + tan b + tang= 3tana + tan b + tang= -3tana tan b tangtan b,tang=，則y - z = 3(1+ xy), z - y = 3(1+ yz), x -

6、 z = 3(1+ zx) ，以上三式相加，即有 xy1 1 1 1 1 1+ yz + zx = -3111- = 3( +1), - = 3( +1) , - = 3( +1)類似地，有，以上三式相加，即有1xyz1（）2( )( )【解析】設(shè)函數(shù) f，則其導(dǎo)函數(shù)4x +12 217113=( )， 以 及 函 數(shù) f x 的 圖 象 過(guò) 點(diǎn)( , 7)處 的 切 線 y和3342414111y =x +x += -，左側(cè)等號(hào)當(dāng) x，如圖，于是可得或7777334311x = 時(shí)取得； 右側(cè)等號(hào)當(dāng) x = 時(shí)取得因此原式的最大值為 21 ，當(dāng)a = b = c = 時(shí)取得；最小值為233

7、1327= = - , =7 3 ( 144 , 169 )時(shí)取得，從而原式的最大值與最小值的乘積為 答案 bc413已知 x222，則下列結(jié)論正確的有（）4a xyz 的最大值為0b xyz 的最大值為-27【答案】abd= 6aa n n ，對(duì)任意正整數(shù) ，以下說(shuō)法中正確的有（- ( )14數(shù)列aa）*nn12n+2n+1na an+2nnn8a a - 7為完全平方數(shù)cdan+3 n+1n+2n+1n+1n+2 n+1，選項(xiàng)a 正確；由于an+2n+2n+1n+2n3a2= -7 ，又對(duì)任意正整數(shù)恒成立，所以n+2nn+1nnn+1nn22 ，故選項(xiàng) c、d 正確計(jì)算前幾個(gè)數(shù)可判斷選項(xiàng)

8、b 錯(cuò)n+1nn+1nn+1nn+1n說(shuō)明：若數(shù)列a 滿足a = pa - a，則 a-a a 為定值2n+1nn+2n+1nn+2n1+ = 115若復(fù)數(shù) 滿足 z，則 z 可以取到的值有（）zz 5 -1-22【答案】cd115 +1i z = 5 -1i和 時(shí)z =【解析】因?yàn)?，故，等?hào)分別當(dāng)z2222）b【答案】c【解析】從 2016 的約數(shù)中去掉 1，2，其余的約數(shù)均可作為正多邊形的邊數(shù)設(shè)從 2016 個(gè)頂點(diǎn)中選出 k 個(gè)2016構(gòu)成正多邊形，這樣的正多邊形有k2016 = 2 3 7，因此所求正多邊形的個(gè)數(shù)為521x2y2,x ，過(guò)橢圓上一點(diǎn) p 作l l 的平行線，17已知橢圓與

9、直線l y1x l y2212,|于 m n 兩點(diǎn)若 mn 為定值，則=分別交l（）12235abd1，可得 m x y x11(+ ,+【解析】設(shè)點(diǎn) p242000000001a216,= =4b24a 1，則為定值，則線段 mn 中點(diǎn)q 的軌跡為圓或橢圓+165 = 2的正整數(shù)解的組數(shù)為（）ya0d3 【答案】b19因?yàn)閷?shí)數(shù)的乘法滿足交換律與結(jié)合律，所以若干個(gè)實(shí)數(shù)相乘的時(shí)候，可以有不同的次序例如，三個(gè)等等不同的次序記n 個(gè)實(shí)數(shù)相乘時(shí)不同的次序有 i 種，則（）n= 2= 12a i25【答案】b1【解析】根據(jù)卡特蘭數(shù)的定義，可得innn-1nn20甲乙丙丁4 個(gè)人進(jìn)行網(wǎng)球淘汰賽，規(guī)定首先甲

10、乙一組、丙丁一組進(jìn)行比賽，兩組的勝者爭(zhēng)奪冠軍4 個(gè)人相互比賽的勝率如表所示：表中的每個(gè)數(shù)字表示其所在的選手擊敗其所在列的選手的概率，例如甲擊敗乙的概率是0.3，乙擊敗丁,abc的距離為 x ，異面直線ab cp 的距21在正三棱錐ppx3【答案】2 3abc垂直，所求極限為dabc中邊上的高，為ab211,=22如圖，正方體 abcd的體積為的棱長(zhǎng)為 1，中心為o bfa a ，則四面體oebf124111111【答案】96111 1= v2 16e-bcc b111=【解析】如圖，v296oebfo-ebfe-gbf2p23x p 2 -12nn0x2xn2 -1nn0-px2 y2 ，則

11、x2 y2 的最大值為+24實(shí)數(shù) x 滿足 x2 y2 3【答案】1(x + y ) = 4x y (x + y )22 3222222213274均為非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足 x( + ) + ( +1) + ( + ) =2t2z222為【答案】2 13(x, y, z) = (1, ,0)【解析】 由柯西不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， x y z 取到最大值 根據(jù)題意，有221313+ y+ 3(x + y + z)y,解得 x2222于 是442( , ) = (0,0,的最小值當(dāng) x yz)時(shí)取得，為22lmdabc:= 4 : 3: 2=+內(nèi) 一 點(diǎn) ， 滿 足 sssabdcoal m【答案】2

12、 4 2【解析】根據(jù)奔馳定理，有9 9 3z2= cos+=333213-【答案】22z25p35p 1= -2 23z +2z2 + z + 23z 40,的實(shí)部與虛部均為不小于 1 的正數(shù)，則在復(fù)平面中，z 所對(duì)應(yīng)的向量op 的.+ 100 3 - 300【答案】3xy1, 1,1010=，由于，于是 如圖，弓形面積為| z |2z1,1,2y2x22 pp 100p1-1002 (10 3 -10) 10 =100 3 -100，四邊形的面積為.abcd6632100p200p333+=29若，則3cosxxxxxxx3【答案】sin 4xsin 2xsin xsin x+【解析】根據(jù)題意，有cos 8xcos 4x cos 4xcos 2x cos 2xcos x cos x= (tan 8x - tan 4x) + (tan 4x - tan 2x) + (tan 2x - tan x) + tan x = tan 8x = 330將 16 個(gè)數(shù)：4 個(gè) 1，4 個(gè) 2，4 個(gè) 3，4 個(gè) 4 填入一個(gè)4 4的數(shù)表中，要求每行、每列都恰好有兩個(gè)偶數(shù)，共有種填法【答案】