《數(shù)軸》例題講解+基礎(chǔ)、提高練習(xí)

1、數(shù)軸例題講解為了學(xué)好有理數(shù)的概念， 使思維適應(yīng)數(shù)集的擴(kuò)充， 我們把現(xiàn)實(shí)生活中大量的有關(guān)模型，如直尺、杠桿、溫度計(jì)、儀表上的刻度，所具有的本質(zhì)屬性抽象化，建立起數(shù)軸模型數(shù)軸的建立，賦予了抽象的代數(shù)概 念以直觀表象.數(shù)學(xué)一開始就是研究“數(shù)”和“形”的，從古希臘時期起，人們就已試圖把它們統(tǒng)一起來.數(shù)與形有著密切的聯(lián)系，我們常用代數(shù)的方法研究圖形問題；另一方面，也利用圖形來處理代數(shù)問題,這種數(shù)與形相互作用，是一種重要的數(shù)學(xué)思想一一數(shù)形結(jié)合思想.禾U用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，現(xiàn)階段，數(shù)軸是聯(lián)系數(shù)與形的橋梁，主要體 現(xiàn)在：1 .運(yùn)用數(shù)軸直觀地表示有理數(shù)；2 運(yùn)用數(shù)軸形象地解釋相反數(shù)；

2、3 .運(yùn)用數(shù)軸準(zhǔn)確地比較有理數(shù)的大??；4運(yùn)用數(shù)軸恰當(dāng)?shù)亟鉀Q與絕對值有關(guān)聯(lián)的問題.例題講解【例1】(1)數(shù)軸上有那么點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)是A、B兩點(diǎn)，如果點(diǎn) A對應(yīng)的數(shù)是 2，且A、B兩點(diǎn)的距離為3， .(江蘇省競賽題)在數(shù)軸上，一 1點(diǎn)A、 B分別表示 和3(，則線段AB的中點(diǎn)所表示的數(shù)江蘇省競賽題)使線段AB沿?cái)?shù)軸向右移動到 AB ，1(3)點(diǎn)A、B分別是數(shù)3，2在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是3，則點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)是，點(diǎn)A移動的距離是 _.(“希望杯”邀請賽試題)思路點(diǎn)撥(1)確定B點(diǎn)的位置；(2)在數(shù)軸上選擇兩個特殊點(diǎn)，探索它們的中點(diǎn)所表示的數(shù)與所選兩點(diǎn)所表示的數(shù)的聯(lián)系;(3)在平移的過

3、程中,線段AB的長度不變，即ABAB .【例2】 如圖，在數(shù)軸上有六個點(diǎn)，且AB BC CD DE EF，則與點(diǎn)C所表示的數(shù)最接近的整數(shù)是.思路點(diǎn)撥禾U用數(shù)軸提供的信息，求出1【例3】比較a與的大小.a思路點(diǎn)撥 因?yàn)閍表示的數(shù)有任意性，AF的長度.直接比較常會發(fā)生遺漏的現(xiàn)象,若把各個范圍在數(shù)軸1 1上表示出來，借助數(shù)軸討論它們的大小，則形象直觀，解題的關(guān)鍵是由a 1、丄無意義得a a出a 1, 1,0，據(jù)此3個數(shù)把數(shù)軸分為6個部分.【例4】閱讀下面材料并回答問題.(1)閱讀下面材料：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù) a、b, A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為 AB .當(dāng)A、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時，不妨設(shè)

4、點(diǎn)A在原點(diǎn)，如圖1, |AB |OB b |a b當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時，如圖2，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊 AB |OB OA |b a b a |a b ； 如圖3，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊， AB OB OA |b |a b a |a b ； 如圖4，點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩邊，AB OB OA | b a b ( a) a b ；綜上，數(shù)軸上 A、B兩點(diǎn)之間的距離 AB a b .0(A)B0AR0b6ab8A QBffil圖 2ibQa 3ffi 4回答下列冋題數(shù)軸上表示 距離是，2和5的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示一數(shù)軸上表示1和一3的兩點(diǎn)之間的距離是；2和一5的兩點(diǎn)之間的數(shù)軸上表示 x和一

5、1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是, 如果AB 2那么x為.(南京市中考題)?當(dāng)代數(shù)式|x 1 x 2取最小值時，相應(yīng)的 x的取值范圍是思路點(diǎn)撥 閱讀理解從數(shù)軸上看，|a b的意義.鏈接：有效地從圖形、圖表獲取信息是信息社會的基本要求.從數(shù)軸上獲取有關(guān)信息是解有理數(shù)問題的常用技巧，主要包括： 數(shù)軸上諸點(diǎn)所表示的數(shù)的正負(fù)性； 數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.(1) 字母表示數(shù)是代數(shù)的特點(diǎn)，但字母具有抽象性，所以在條件允許的范圍內(nèi)賦予字母以特殊值來計(jì)算、判斷或探求解題思路，能化抽象為具體，這就是我們常說的“賦值法”，但這種方法不能作為解題的規(guī)范過程.(2)純粹的代數(shù)方法比較抽象，如能借助圖形(利用數(shù)形結(jié)合的思想方

6、法)，則可使許多抽象的概念和復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系直觀化、形象化，甚至簡單化.【例5】試求丨x-1丨十丨X 2 | + | X 3丨+| x 1997丨的最小值. 題)思路點(diǎn)撥由于x的任意性、無限性，因此，通過逐個求出代數(shù)式的值解題明顯困難，從絕對值的幾何意義，利用數(shù)軸入手，借助【例4】的結(jié)論解題.【例6】(1)工作流水線上順次排列 5個工作臺A、B、C、D、E，在何處，才能使工作臺上操作機(jī)器的人取工具所走的路程最短？(2) 如果工作臺由5個改為6個，那么工具箱應(yīng)如何放置能使 取工具所走的路程之和最短 ？(3) 當(dāng)流水線上有n個工作臺時，怎樣放置工具箱最適宜？思路點(diǎn)撥把流水線看作數(shù)軸，工作臺、工具箱看

7、作數(shù)軸上的點(diǎn)，這樣，的模型一一數(shù)軸，將問題轉(zhuǎn)化為【例4】的形式求解.(天津市競賽不妨一只工具箱應(yīng)該放6個操作機(jī)器的人就找到了解決本例鏈接：設(shè) a1、a2、a3、an是數(shù)軸上依次排列的點(diǎn)表示的有理數(shù).當(dāng)n為偶數(shù)時，若an2x an 11，則 xa1x a2an的值最小;基礎(chǔ)訓(xùn)練一、基礎(chǔ)夯實(shí)：1.在數(shù)軸上表示數(shù) a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為,則a-3=,2.a 、 b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則1 1 1、中最大的疋a b c b a c *4a bc 0ba 0c 1ABCD（第2題）（第3題）（第 4 題）3. （第12屆希望杯”邀請賽試題 ）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示,若m=| a+b

8、I - | b-1 | - I a-c | - | 1-c | ,則 1000m=.4. 如圖，工作流程線上 A B、C D處各有1名工人，且AB=BC=CD=1現(xiàn)在工作流程線上安放一個工具箱，使4個人到工具箱的距離之和為最短,?則工具箱的安放位置是 .5. 有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖，化簡|a+b | - | c-b |的結(jié)果為（）A.a+c B.-a-2b+c C.a+2b-c D.-a-cA B C DAD O C b（第5題）（第6題）（第8題）6. （第15屆江蘇省競賽題）如圖，數(shù)軸上標(biāo)出若干個點(diǎn)，每相鄰兩點(diǎn)相距1個單位，點(diǎn)A B、C、D對應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù)a,b,c,d,且d

9、-2a=10,那么數(shù)軸的原點(diǎn)應(yīng)是（）.A.A 點(diǎn) B.B 點(diǎn) C.C 點(diǎn) D.D 點(diǎn)7. | x+1 | + | x-1 | 的最小值是（）.A.2B.0C.1D.-18. （第18屆江蘇省競賽題）數(shù)a、b、c、d所對應(yīng)的點(diǎn) A B、C、D在數(shù)軸上的位置如圖所示, 那么a+c與b+d的大小關(guān)系是（）.A.a+cb+d D.不確定的9. （北京市“迎春杯”競賽題 ）已知數(shù)軸上有 A、B兩點(diǎn)，A、B之間的距離為1,點(diǎn)A與原點(diǎn)O的距離為3,求所有滿足條件的點(diǎn)B與原點(diǎn)O的距離的和.10. 已知兩數(shù)a、b,如果a比b大，試判斷| a |與| b |的大小.二、能力拓展11. 有理數(shù) a、b 滿足 a0,

10、b0, | a | 0,b0,則使|x-a | + | x-b | =a-b成立的x的取值范圍是 .（武漢市選拔賽題）15. 如圖,A、B C、D E為數(shù)軸上的五個點(diǎn)，且AB=BC=CD=DE,圖中與P?點(diǎn)表示的數(shù)比較接 近的一個數(shù)是（）.PA B C D E*A.-1B.1C.3D.516. 設(shè)y= | x-1 | + | x+1 | ,則下面四個結(jié)論中正確的是（）.A.y 沒有最小值B.只有一個x使y取最小值C.有限個x（不止一個）使y取最小值；D.有無窮多個x使y取最小值17. 不相等的有理數(shù) a、b、c在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)分別為A B、C,若| a-b | + | b-?c | = | a-

11、c | ,那么點(diǎn)B（）.A. 在A C點(diǎn)右邊； B.在A、C點(diǎn)左邊； C.在A C點(diǎn)之間； D.以上均有可能18. 試求 | x-2 | + | x-4 | + + | x-6 | + | x-2000 | 的最小值.19. 電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點(diǎn)K）,第一步從K0向左跳1個單位到 冷，第二步由K向右跳2個單位到K2,第三步由K2向左跳3個單位到K3,第四步由K3向右跳4個單位到K4,?按以上 規(guī)律跳了 100步時，電子跳蚤落在數(shù)軸上的點(diǎn)K00所表示的數(shù)恰是19.94,?試求電子跳蚤的初始位置K0點(diǎn)所表示的數(shù).三、綜合創(chuàng)新20. 如圖，在數(shù)軸上（未標(biāo)出原點(diǎn)及單位長度）點(diǎn)A為線段BC的中點(diǎn)，已

12、知點(diǎn)A B、C對應(yīng)的三 個數(shù)a、b、c之積是負(fù)數(shù)，這三個數(shù)之和與其中一數(shù)相等，設(shè)p為a、b、c三數(shù)中兩數(shù)的比值，求p的最大值和最小值。ABC21. （湖北省荊州市競賽題）某城鎮(zhèn)沿環(huán)形路上依次排列有五所小學(xué)：A1、A2、A3、A4、A5,?它們順次有電腦15臺、7臺、11臺、3臺、14臺，為使各校的電腦數(shù)相同,?允許一些小學(xué)向 相鄰小學(xué)調(diào)出電腦，問怎樣調(diào)配才能使調(diào)出的電腦總臺數(shù)最少？并求出電腦的最少總臺數(shù).答案:I. 0 或-6 2.3.-2000 4. 放 B、C(含 B、C)之間任一處 5.A 6.B 7.A 8.?Ac b9.12提示：點(diǎn)A表示的數(shù)為3或-3,滿足條件的點(diǎn)B共有4個.10.

13、 當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)的右邊時，0b | b | ;當(dāng)點(diǎn)A在原點(diǎn)的左邊時,ba?0,則|a | | b | ;當(dāng)點(diǎn)A B分別在原點(diǎn)的右、左兩側(cè)時，bOa,這時無法比較| a |與| b |的大小關(guān)系；當(dāng)點(diǎn)A正好在原點(diǎn)位置時，b | a | ;當(dāng)點(diǎn)B?正好在原點(diǎn)位置時，O=b | b | .II. b-aa-b. 12.4 13.2m 14.b x a 15.C 16.D 17.C 18.500000 提示：當(dāng)1000 w xw 1002時,原式有最小值，這個最小值為：(1002-2)+(1004-4)+(2000-1000)=500000.19. -30.06提示：設(shè)k點(diǎn)表示的有理數(shù)為 x,則匕、k2

14、,k 100點(diǎn)所表示的有理數(shù)分別為 x-1,x-1+2,x-1+2-3,x-1+2-3+4 -99+100,由題意得:x-1+2-3+?4-?-?99+100=19.94,解得 x=-30.06.20. 由圖知abc0,知b0ac或bac0, b 0 , a b 0 ,將四個數(shù)a , b , a , b按由小到大的順序排列是.（江蘇省首屆數(shù)學(xué)文化節(jié)基礎(chǔ)闖關(guān)題）3. 如圖所示，按下列方法將數(shù)軸的正半軸繞在一個圓（該圓周長為3個單位長，且在圓周的三等分點(diǎn)處分別標(biāo)上了數(shù)字0、1、2） 上 :先讓原點(diǎn)與圓周上的數(shù)字0所對應(yīng)的點(diǎn)重合，再將正半軸按順時針方向繞在該圓周上，使數(shù)軸上1、2、3、4、所對應(yīng)的點(diǎn)

15、分別與圓周上1 2、0、1所對應(yīng)的點(diǎn)重合.這樣，正半軸上的整數(shù)就與圓周上的數(shù)字建 立了一種對應(yīng)關(guān)系.（1）圓周上的數(shù)字a與數(shù)軸上的數(shù)5對應(yīng)，則a=；（2） 數(shù)軸上的一個整數(shù)點(diǎn)剛剛繞過圓周n（n為正整數(shù)）圈后，并落在圓周上數(shù)字1所對應(yīng)的位置，這個整數(shù)是 （用含n的代數(shù)式表示）（江西省中考題）34514. 在數(shù)軸上任取一條長度為 1999-的線段，則此線段在這條數(shù)軸上最多能蓋住的整數(shù)點(diǎn)的9個數(shù)是（）.A. 1998 B . 1999 C . 2000 D . 2001（重慶市競賽題）5. 在數(shù)軸上和有理數(shù) a、b、c對應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示.有下面四個結(jié)論：abc 0 ； a b be a c :（a b）（b c）（c a） 0 : a 1 be.其中，正確的結(jié)論有（)個.A. 4 B.3C . 2 D