奇偶分析知識(shí)講解

1、奇偶分析我們知道，全體自然數(shù)按被2除的余數(shù)不同可以劃分為奇數(shù)與偶數(shù)兩大類。被 2除余1的屬于一類，被2整除的屬于另一類。前一類中的數(shù)叫做奇數(shù)，后一類中的 數(shù)叫做偶數(shù)。尖于奇偶數(shù)有一些特殊性質(zhì)，比如，奇數(shù)工偶數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇 數(shù)之和是 奇數(shù)等。靈活、巧妙、有意識(shí)地利用這些性質(zhì)，加上正確的分析推理，可以解決許 多復(fù)雜而有趣的問題。用奇偶數(shù)性質(zhì)解題的方法稱為奇偶分析，善于運(yùn)用奇偶分分析與解：如果一個(gè)一個(gè)去找、去試、去算，那就太費(fèi)事了。因?yàn)闊o論你選擇 哪5個(gè)數(shù)，它們的和總不等于30，而且你還不敢馬上斷言這是做不到的。最簡(jiǎn)單的 方法是利用奇偶數(shù)的性質(zhì)來解，因?yàn)槠鏀?shù)個(gè)奇數(shù)之和仍是奇數(shù)，表中15個(gè)數(shù)全是奇數(shù)，所

2、以要想從中找出5個(gè)使它們的和為偶數(shù)，是不可能的。例2小華 買了一本共有96張練習(xí)紙的練習(xí)本，并依次將它的各面編號(hào)（即由第1面一直編到 第192面）。小麗從該練習(xí)本中撕下其中25張紙，并將寫在它們上面的50個(gè)編號(hào) 相加。試問，小麗所加得的和數(shù)能否為2000?解：不能由于每一張上的兩數(shù)之和都為奇數(shù)，而25個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，故不可能為 2000。說明：“相鄰兩個(gè)自然數(shù)的和一定是奇數(shù)”，這條性質(zhì)幾乎是顯然的，但在解 題過程中，能有意識(shí)地運(yùn)用它卻不容易做到，這要靠同學(xué)們多練習(xí)、多總結(jié)。例3 有98個(gè)孩子，每人胸前有一個(gè)號(hào)碼，號(hào)碼從1到98各不相同。試問：能否將這些 孩子排成若干排，使每排中都有一個(gè)孩子的

3、號(hào)碼數(shù)等于同排中其余孩子號(hào)碼數(shù)的 和？并說明理由。解：不能如果可以按要求排成，每排中都有一個(gè)孩子的號(hào)碼數(shù)等于同排中其余孩子號(hào)碼 數(shù)的和，那么每一排中各號(hào)碼數(shù)之和都是某一個(gè)孩子號(hào)碼數(shù)的2倍，是個(gè)偶數(shù)所以這98個(gè)號(hào)碼數(shù)的總和是個(gè)偶數(shù)，但是這98個(gè)數(shù)的總和為例4如右圖，把圖中的1+2+9499X 49,是個(gè)奇數(shù)，矛盾！所以不能按要求排成。圈任意涂上紅色或藍(lán)色。問：有無可能使得在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)？請(qǐng)說明理由。如果每條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)，而五角星有五條邊，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，那么五條線上的紅圈共有奇數(shù)個(gè)（包括重復(fù)的）。從另一個(gè)角度看，由于每個(gè)圓圈是兩條直線的交點(diǎn)，則每個(gè)圈都要計(jì)算兩次，

4、因此，每個(gè)紅圈也都算了兩次，總個(gè)數(shù)應(yīng)為偶數(shù)，得出矛盾。所以，不可能使得在同一條直線上的紅圈數(shù)都是 奇數(shù)。說明：上述兩題都是從兩個(gè)不同的角度去分析處理同一個(gè)量，而引出矛盾的。例5 個(gè)俱樂部里的成員只有兩種人：一種是老實(shí)人，永遠(yuǎn)說真話；一種是騙子， 永遠(yuǎn)說假話。某天俱樂部的全體成員圍坐成一圈，每個(gè)老實(shí)人兩旁都是騙子，每個(gè) 騙子兩旁都是老實(shí)人。外來一位記者問俱樂部的成員張三：“俱樂部里共有多少成 員？ ”張三答：“共有45人另一個(gè)成員李四說：“張三是老實(shí)人請(qǐng)判斷李四是老實(shí)人還是騙子?分析與解：根據(jù)俱樂部的全體成員圍坐一圈，每個(gè)老實(shí)人兩旁都是騙子，每個(gè) 騙子兩旁都是老實(shí)人的條件，可知俱樂部中的老實(shí)人與

5、騙子的人數(shù)相等，也就是說 俱樂部的全體成員總和是偶數(shù)。而張三說共有45人是奇數(shù)，這說明張三是騙子，而 李四說張三是老實(shí)人，說了假話，所以李四也是騙子。說明：解答此題的尖鍵在于根據(jù)題設(shè)條件導(dǎo)出老實(shí)人與騙子的人數(shù)相等，這里實(shí)質(zhì)上利用了對(duì)應(yīng)的思想。類似的問題是：圍棋盤上有19X19個(gè)交叉點(diǎn)，現(xiàn)在放滿了黑子與白子，且黑子與白子相間地 放，并使黑子（或白子）的上、下、左、右的交叉點(diǎn)上放著白子（或黑子）。問： 能否把黑子全移到原來的白子的位置上，而白子也全移到原來黑子的位置 上？提示：仿例6。答：不能。例6某市五年級(jí)99名同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，競(jìng)賽題共30道，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是基礎(chǔ)分15 分，答對(duì)一道加5分，不答記1

6、分，答錯(cuò)一道倒扣1分。問：所有參賽同學(xué)得分總 和是奇數(shù)還是偶數(shù)？解：對(duì)每個(gè)參賽同學(xué)來說，每題都答對(duì)共可得165分，是奇數(shù)。如答錯(cuò)一題， 就要從165分中減去6分，不管錯(cuò)幾道，6的倍數(shù)都是偶數(shù)，165減去偶數(shù)，差還是 奇數(shù)。同樣道理，如有一題不答，就要減去4分，并且不管有幾道題不答，4的倍 數(shù)都是偶數(shù)，因此，從總分中減去的仍是偶數(shù)，所以每個(gè)同學(xué)的得分為奇數(shù)。而奇 數(shù)個(gè)奇數(shù)之和仍為奇數(shù)，故99名同學(xué)得分總和一定是奇數(shù)。例7桌上放有77枚正面朝下的硬幣，第1次翻動(dòng)77枚，第2次翻動(dòng)其中的76枚， 第3次翻動(dòng)其中的75枚第77次翻動(dòng)其中的1枚。按這樣的方法翻動(dòng)硬幣，能 否使桌上所有的77枚硬幣都正面朝

7、上？說明你的理由。分析：對(duì)每一枚硬幣來說，只要翻動(dòng)奇數(shù)次，就可使原先朝下的一面朝上。這 一事實(shí)，對(duì)我們解決這個(gè)問題起著尖鍵性作用。解：按規(guī)定的翻動(dòng)，共翻動(dòng)1+2+.+77=77X 39次，平均每枚硬幣翻動(dòng)了 39 次，這是奇數(shù)。因此，對(duì)每一枚硬幣來說，都可以使原先朝下的一面翻朝上。注意 到77 X 39=77+（76+1） + （75+2） + .+ （39+38）,根據(jù)規(guī)定，可以設(shè)計(jì)如下的翻動(dòng)方法：第1次翻動(dòng)77枚，可以將每枚硬幣都翻動(dòng)一次；第2次與第77次共翻動(dòng)77 枚，又可將每枚硬幣都翻動(dòng)一次；同理，第3次與第76次，第4次與第75次 第39次與第40次都可將每枚硬幣各翻動(dòng)一次。這樣每枚

8、硬幣都翻動(dòng)了 39次，都由 正面朝下變?yōu)檎娉稀Ｕf明：（1）此題也可從簡(jiǎn)單情形入手（如9枚硬幣的情形），按規(guī)定的翻法翻動(dòng) 硬幣，從中獲得啟發(fā)。（2）對(duì)有尖正、反，開、尖等實(shí)際問題通?？苫癁橛闷媾紨?shù)尖系討論。嶇J昭1、什么叫奇數(shù)？什么叫偶數(shù)?）數(shù)奇數(shù)土偶數(shù)二（）數(shù)偶數(shù)土偶數(shù)二（）數(shù)）數(shù)奇數(shù)x偶數(shù)二（）數(shù)偶數(shù)x偶數(shù)二（）數(shù)2、奇數(shù)土奇數(shù)二（3、奇數(shù)X奇數(shù)二（1 . 1 +2+3+4 + 2004的結(jié)果是奇數(shù)還是偶數(shù)?2. 65個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加，和是奇數(shù)還是偶數(shù)？3 次宴會(huì)上，客人們相互握手，每?jī)扇酥g都握一次手，問握手總次數(shù)是奇數(shù)還 是偶數(shù)？4 老師拿出10張卡片，上面分別寫著 2、4、6、8、

9、10、12、14、16、18、20 十個(gè)數(shù)，要求大家很快地從中找出3張卡片，使3張卡片上數(shù)字的和是23,你能做 到嗎？為什么？5 有3只杯子全部口朝下蓋在桌上，每次翻動(dòng)其中兩只，能不能經(jīng)過若干次翻動(dòng)后，使杯口全部朝上？6 - “六 一”節(jié)這天，海安實(shí)小五年級(jí)學(xué)生參加智力競(jìng)賽，競(jìng)賽題共 20道。評(píng) 分標(biāo)準(zhǔn)是：基礎(chǔ)分15分，答對(duì)一道加5分，不答加1分，答錯(cuò)一道倒扣1分。如果 有101名同學(xué)參加競(jìng)賽，則所有參賽同學(xué)所得分?jǐn)?shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？7免子繁殖率很高，按月繁殖的只數(shù)可以排成一串?dāng)?shù)列，它的規(guī)律是：頭兩個(gè) 數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)的和，也就是1、1、2、3、5、813、21 這

10、叫兔子數(shù)列，想一想，這串?dāng)?shù)的前30個(gè)數(shù)中有多少個(gè) 奇數(shù)？1 . （）三個(gè)連續(xù)奇數(shù)第一部分必做題中間一個(gè)數(shù)是a，其余兩個(gè)數(shù)是（）和（）2（）選擇奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)+奇數(shù)+奇數(shù)=(）奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)+偶數(shù)+偶數(shù)二(）奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)X偶數(shù)一偶數(shù) (）奇數(shù)偶數(shù)偶數(shù)X偶數(shù)一偶數(shù)(）;6E3越奇數(shù):):8mAW數(shù)從1開始算起24個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是（），24個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是（）一定是奇數(shù)一定是偶數(shù)可能是奇數(shù)也可能是偶數(shù)3. （）一本作業(yè)本120張紙，依次將它的每一張編號(hào)。（從第一頁(yè)一直編到第240頁(yè)）從這本作業(yè)本上撕下20張，并將每一張的頁(yè)碼相加，加得的和 可m為整數(shù)，2計(jì)1是（能是1997嗎？4. （）一個(gè)數(shù)分別與另外

11、兩個(gè)相鄰偶數(shù)相乘，所得的兩個(gè)積相差150,這個(gè)數(shù)是多少？5. （）有一列數(shù)：1、3、4、7、門、18、29這列數(shù)排列的規(guī)律是第三個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)的和，問在前50個(gè)數(shù)中，有多少個(gè)奇數(shù)？6有5個(gè)杯子全部口朝上放在桌上，每次翻動(dòng)其中四個(gè)，能不能經(jīng)過若干次翻動(dòng) 后，使杯口全部朝下？7. ()有10只杯子全部口朝下放在盤子里，你能否每次翻動(dòng)4只杯子，經(jīng)過若 干次翻動(dòng)后將杯子全部翻成口朝上？第二部分選做題8. ()車棚里有自行車和三輪車，如果車子數(shù)和輪子數(shù)都是奇數(shù)，那么自行車和三輪車的輛數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？9. ()某班同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每張?jiān)嚲砩嫌性囶}50道。評(píng)分方法是：答 對(duì)一道給3分，不答給1分，答錯(cuò)倒扣1分。請(qǐng)說明該班同學(xué)得分的總和一定是 偶數(shù)？10（）禮堂里有10盞電燈，每盞燈由一根燈繩控制，拉一下亮，再拉一下熄。10個(gè)學(xué)生依次進(jìn)入禮堂，第1個(gè)學(xué)生把1的倍數(shù)的燈繩拉一下，燈全亮了，第二個(gè)學(xué)生把2的倍數(shù)的燈繩拉一下，第3個(gè)把3的倍數(shù)的燈繩拉一下第10個(gè)學(xué)生把10的倍數(shù)的燈繩拉一下。最后，禮堂里哪些燈是亮的？門（）少年宮藝術(shù)班共有25名同學(xué)，教室座位恰好排成5行，每行5 個(gè)座位，把每一個(gè)座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的鄰位。問：讓這25 個(gè)學(xué)生都離開原座位坐到原座位的鄰位，是否可行？12（）在黑板上寫（2，4，6） 3個(gè)數(shù)，把其中的任一個(gè)封掉后，改寫 成其余兩數(shù)的