高一數(shù)學(xué)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1、平 面 向 量 的 坐 標(biāo) 運(yùn) 算 一、【教材的地位和作用】本節(jié)內(nèi)容在教材中有著承上啟下的作用，它是在學(xué)生對(duì)平面向量的基本定理有了充分的認(rèn)識(shí)和正確的應(yīng)用后產(chǎn)生的，同時(shí)也為下一節(jié)定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式的推導(dǎo)奠定了基礎(chǔ)；向量用坐標(biāo)表示后，對(duì)立體幾何教材的改革也有著深遠(yuǎn)的意義，可使空間結(jié)構(gòu)系統(tǒng)地代數(shù)化，把空間形式的研究從“定性”推到“定量”的深度。引入坐標(biāo)運(yùn)算之后使學(xué)生形成了完整的知識(shí)體系（向量的幾何表示和向量的坐標(biāo)表示），為用“數(shù)”的運(yùn)算解決“形”的問題搭起了橋梁。二、【學(xué)習(xí)目標(biāo)】根據(jù)教學(xué)大綱的要求以及學(xué)生的實(shí)際知識(shí)水平，以期達(dá)到以下的目的：1.知識(shí)方面：理解平面向量的坐標(biāo)表示的意義；能熟

2、練地運(yùn)用坐標(biāo)形式進(jìn)行運(yùn)算。2.能力方面：數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化的思想三、【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】理解平面向量坐標(biāo)化的意義是教學(xué)的難點(diǎn)；平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算則是重點(diǎn)。我主要是采用啟發(fā)引導(dǎo)式，并輔助適量的題組練習(xí)來幫助學(xué)生突破難點(diǎn)，強(qiáng)化重點(diǎn)。四、【教法和學(xué)法】本節(jié)課嘗試一種全新的教學(xué)模式，以建構(gòu)主義理論為指導(dǎo)，教師在本節(jié)課中起的根本作用就是“為學(xué)生的學(xué)習(xí)創(chuàng)造一種良好的學(xué)習(xí)環(huán)境”，結(jié)合本節(jié)課是新授課的特點(diǎn)，我主要從以下幾個(gè)方面做準(zhǔn)備：（1）提供新知識(shí)產(chǎn)生的鋪墊知識(shí)（2）模擬新知識(shí)產(chǎn)生過程中的細(xì)節(jié)和狀態(tài)，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)（3）創(chuàng)設(shè)新知識(shí)思維發(fā)展的前景（4）通過“學(xué)習(xí)論壇時(shí)間”組織學(xué)生的合作學(xué)習(xí)、討論學(xué)習(xí)、交

3、流學(xué)習(xí)（5）通過“老師信箱時(shí)間”指導(dǎo)解答學(xué)生的疑難問題（6）通過“深化拓展區(qū)”培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和發(fā)現(xiàn)能力。整個(gè)過程學(xué)生始終處于交互式的學(xué)習(xí)環(huán)境中，讓學(xué)生用自己的活動(dòng)對(duì)已有的數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)起自己的理解；讓學(xué)生有了親身參與的可能并且這種主動(dòng)參與就為學(xué)生的主動(dòng)性、積極性的發(fā)揮創(chuàng)造了很好的條件，真正實(shí)現(xiàn)了“學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體”這一理念。 五、【學(xué)習(xí)過程】1.提供新知識(shí)產(chǎn)生的理論基礎(chǔ)課堂教學(xué)論認(rèn)為：要使教學(xué)過程最優(yōu)化，首先要把已學(xué)的材料與學(xué)生已有的信息聯(lián)系起來，使學(xué)生在學(xué)習(xí)新的材料時(shí)有適當(dāng)?shù)闹R(shí)冗余。在本節(jié)之前，學(xué)生接觸到的是向量的幾何表示；向量共線的充要條件和平面向量的基本定理為引入向量的坐標(biāo)運(yùn)算奠定了

4、理論基礎(chǔ)。尤其是平面向量的基本定理，在新授課之前，我以為應(yīng)再次跟學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)調(diào)，揭示其本質(zhì)：即平面內(nèi)的任一向量都可以表示為不共線的向量的線形組合。對(duì)于基底的理解，指出“基底不唯一，關(guān)鍵是不共線”。這樣就使得新課的導(dǎo)入顯得自然而不突兀，學(xué)生也很容易聯(lián)想到基底選擇的特殊性，從而引出坐標(biāo)表示。2.新課引入哲學(xué)家卡爾.波普爾曾指出“科學(xué)與知識(shí)的增長永遠(yuǎn)始于問題，終于問題愈來愈深化的問題，愈來愈能啟發(fā)新問題的問題”，這對(duì)數(shù)學(xué)亦不例外。因此，在新課的引入中首先提出問題“在直角坐標(biāo)系內(nèi)，平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)都可以用一對(duì)實(shí)數(shù)（即它的坐標(biāo)）來表示。同樣，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量是否也可以用一對(duì)實(shí)數(shù)來表示?”

5、，問題的給出旨在啟發(fā)學(xué)生的思維。而學(xué)生思維是否到位，是否可以達(dá)到自己建構(gòu)新知識(shí)的目的，取決于老師的引導(dǎo)是否得當(dāng)。 3.創(chuàng)建新知識(shí)以學(xué)生為主體絕不意味著老師可以袖手旁觀，在創(chuàng)設(shè)問題情景后學(xué)生已進(jìn)入激活狀態(tài)，即想說但又不知道怎么說的狀態(tài)，這時(shí)需老師適當(dāng)加以點(diǎn)撥。指出：選擇在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)與坐標(biāo)軸的正方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底，任做一個(gè)向量。由平面向量基本定理知，有并且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x , y ，使我們把 ( x , y ) 叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作 其中x叫做在 x 軸上的坐標(biāo)，也叫做的第一分量；y叫做在y軸上的坐標(biāo)，也叫做第二分量。指導(dǎo)學(xué)生回答, 以及的坐標(biāo)。至此，完成向量的坐標(biāo)表示的

6、新知識(shí)的建構(gòu)過程。整個(gè)過程決非把老師的認(rèn)識(shí)強(qiáng)加給學(xué)生，而是把學(xué)生放在認(rèn)知的主體地位，學(xué)生通過觀察幻燈片的演示和老師的提示，思維得到了發(fā)展，觀察、歸納能力得到了提高，對(duì)新授知識(shí)的理解更加清晰和深刻。4.突破難點(diǎn)、突出重點(diǎn)本節(jié)的學(xué)習(xí)中最難理解的就是向量與實(shí)數(shù)對(duì)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。為了突破該難點(diǎn)，我認(rèn)為可以如此操作。通過動(dòng)畫設(shè)計(jì)，并結(jié)合向量相等的概念，指出任一向量總可以通過平移，使起點(diǎn)與原點(diǎn)重合。則向量的坐標(biāo)就是點(diǎn)a的坐標(biāo)；反過來，點(diǎn)a的坐標(biāo)也就是向量的坐標(biāo)。揭示向量坐標(biāo)表示的實(shí)質(zhì)：相等的向量其坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量。由此，向量與實(shí)數(shù)對(duì)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系就不難理解了。向量 (x , y

7、 ) 向量 點(diǎn)a ( x , y )重點(diǎn)為向量的坐標(biāo)運(yùn)算。在理解了向量的坐標(biāo)表示的實(shí)質(zhì)后，學(xué)生很容易想到，向量的坐標(biāo)運(yùn)算其實(shí)也就是數(shù)量的代數(shù)運(yùn)算。其運(yùn)算法則，可以在“學(xué)習(xí)論壇時(shí)間”引導(dǎo)學(xué)生分組討論自己推得。老師在學(xué)生推導(dǎo)的基礎(chǔ)上進(jìn)行指導(dǎo)和嚴(yán)格的歸納。如此一來，訓(xùn)練了學(xué)生獨(dú)立思維、自主學(xué)習(xí)、交流互助的良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。（1）兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差：（其中）（2）一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)： 如果，則；（3）實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)： 若，則；5.簡單應(yīng)用在理解了向量坐標(biāo)表示的實(shí)質(zhì)意義后，通過學(xué)生的談

8、論和老師的指導(dǎo)，學(xué)生對(duì)本節(jié)的新知識(shí)有了系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，都有躍躍欲試的心理，迫切希望在例題的應(yīng)用中一顯身手；另一方面，新的知識(shí)是在問題解決中不斷發(fā)展的，而問題的解決又依賴于新知識(shí)作為理論基礎(chǔ)，這種過程循環(huán)往復(fù)，既完善了新的知識(shí)又提高了學(xué)生的能力。所以，教師應(yīng)抓住學(xué)生的心理，結(jié)合典型例題，充分展示新授知識(shí)所涉及到的各種題型。例一的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了解法發(fā)散和問題變換的思想。由一個(gè)典型例題的解答促使知識(shí)的系統(tǒng)化。比如例一的三種解法既滲透了向量的幾何表示又展現(xiàn)了向量的坐標(biāo)表示，這樣結(jié)合一個(gè)例題就把各個(gè)知識(shí)點(diǎn)連成一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，形成一個(gè)體系，使新舊知識(shí)系統(tǒng)化，完善了認(rèn)知結(jié)構(gòu)；完成了例一的解答后，再由這個(gè)問題牽出一個(gè)問題鏈

9、，引導(dǎo)學(xué)生從不同的問題中領(lǐng)悟新舊知識(shí)的本質(zhì)屬性。 例一 如圖，用基底、分別表示向量、，并求它們的坐標(biāo)；方法一：=2+3，=（2，3）同理=（-2，3），=（-2，-3），=（2，-3）方法二：a（2，2），b（4，5）=（4，5）-（2，2）=（4-2，5-2）=（2，3）同理=（-2，3），=（-2，-3），=（2，-3）方法三：=（2，2），=（4，5）=-=（4，5）-（2，2）=（4-2，5-2）=（2，3）同理=（-2，3），=（-2，-3），=（2，-3）（2，2）=（2，3） 問題（問題變換）：（1）若點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，那么的坐標(biāo)是嗎?（2）求出的坐標(biāo)后，可以根據(jù)圖形的什么特征

10、，求出、的坐標(biāo)？ 說明 ：還可根據(jù)對(duì)稱性分別求出、的坐標(biāo)；例二和例三的設(shè)計(jì)，是對(duì)新知識(shí)鞏固和熟練的過程。可以讓學(xué)生相互交流，交換批改，在為對(duì)方糾錯(cuò)的過程中也是對(duì)自己的一種反思，認(rèn)識(shí)到錯(cuò)誤的癥結(jié)所在，有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和批判性；老師則是對(duì)普遍存在的問題集中處理，集體指導(dǎo)。 例二 已知=（x+y+1，2x-y），=（x-y，x+2y-2），若2=3，求x、y的值；分析：本題檢測向量相等的概念，利用條件2=3，建立關(guān)于x、y的方程組，解方程組就可求x、y的值；解：2=2（x+y+1，2x-y）=（2x+2y+2，4x-2y），3=3（x-y，x+2y-2）=（3x-3y，3x+6y-6）， 例三 已知平行四邊形abcd的三個(gè)頂點(diǎn)a、b、c的坐標(biāo)分別為（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求頂點(diǎn)d的坐標(biāo)；分析：本題檢測如何用向量的終點(diǎn)和始點(diǎn)坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，并利用相等向量的坐標(biāo)相同，建立等量關(guān)系求d點(diǎn)的坐標(biāo)；解：設(shè)d點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）=（-1，3）-（-2，1）=（1，2）=（3，4）-（x，y）=（3-x，4-y）由=得1=3-x，2=4-y，所以x=2，y=2，即d點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2） 6.深化拓展對(duì)于學(xué)有余力的同學(xué)，我提供了一個(gè)課外思考題。已知：點(diǎn)a（2，3）、b（5，4）、c（7，10），若，試求為何值時(shí)，點(diǎn)p在一、三象限角平分線