圓錐曲線與方程

1、圓錐曲線與方程重點(diǎn)：圓錐曲線的定義的應(yīng)用及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系難點(diǎn)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系主要內(nèi)容：圓錐曲線的統(tǒng)一定義：橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱圓錐曲線。平面內(nèi)，到一定點(diǎn)的距離與它到一條定直線(不經(jīng)過(guò)定點(diǎn))的距離之比是常數(shù) e的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線、常數(shù)叫做離心率。 e ( 0,1 )時(shí)軌跡是橢圓； e=1時(shí)軌跡是拋物線； e ( 1, +8)時(shí)軌跡是雙曲線。圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)一、橢圓：定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn) F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌 跡叫橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫焦點(diǎn).(2)標(biāo)準(zhǔn)方程2 2當(dāng)焦點(diǎn)在,L軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

2、：，其中:.-.;2 2丄+丄二1當(dāng)焦點(diǎn)在.軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中:-=/-：= 1(3)橢圓的的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：范圍：*權(quán)3酣，OR勿3,焦、丿(如) ，頂點(diǎn) -、1 J長(zhǎng)軸長(zhǎng)=二， 短軸長(zhǎng)=_，焦距=二,二、雙曲線(1) 定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F仆2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn).(2) 標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)焦點(diǎn)在.1軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中1;2 a丄-仝二1當(dāng)焦點(diǎn)在；軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中:.蘭上二(3) 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)范圍:血S或空礎(chǔ)，眶R；焦點(diǎn),頂點(diǎn)11，實(shí)軸長(zhǎng)=二，虛軸長(zhǎng)=，焦距=_：；離心率是

3、丄，準(zhǔn)線方程是一；_.bV x漸近線：Lr .三、拋物線(1) 定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) F和一條定直線I的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線I叫做拋物線的準(zhǔn)線.(2) 標(biāo)準(zhǔn)方程四種形式：z ，J。2拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程:的幾何性質(zhì)范圍：創(chuàng)空0,帥詢，對(duì)稱性：關(guān)于x軸對(duì)稱頂點(diǎn)：坐標(biāo)原點(diǎn)離心率：J -丨.四、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系2 2土 + 丄=11. 直線Ax+By+O 0和橢圓的位置關(guān)系：將直線方程代入橢圓后化簡(jiǎn)為一元二次方程，其判別式為(1) 若厶 0,則直線和橢圓相交，有兩個(gè)交點(diǎn)(或兩個(gè)公共點(diǎn))；(2) 若4= 0,則直線和橢圓相切，有一個(gè)切點(diǎn)(或一個(gè)公共點(diǎn)); 若

4、 0，則直線和雙曲線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)(或兩個(gè)公共點(diǎn))；(2) 若4= 0,則直線和雙曲線相切，有一個(gè)切點(diǎn)； 若 0)的位置關(guān)系：將直線方程代入拋物線方程后化簡(jiǎn)后方程： 若為一元一次方程，則直線和拋物線的對(duì)稱軸平行，直線和拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，但不相切不是切點(diǎn)； 若為一元二次方程，則(1) 若厶 0,則直線和拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)(或兩個(gè)公共點(diǎn))；(2) 若4= 0,則直線和拋物線相切，有一個(gè)切點(diǎn)；(3) 若 0,則直線和拋物線相離，無(wú)公共點(diǎn)。注意：如說(shuō)直線和拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)，則要考慮兩種情況：一個(gè)切點(diǎn)和一個(gè)交點(diǎn)4 直線被圓錐曲線截得的弦長(zhǎng)公式：當(dāng)直線的斜率k存在時(shí)，直線y= kx+b與圓錐曲線相

5、交于兩點(diǎn),弦長(zhǎng)公式:當(dāng)k存在且不為零時(shí)，弦長(zhǎng)公式還可以寫成:| AB|二 J1+H | xL- |= J(1 +F(珂 + X一4兩勺曲線的方程和方程的曲線的關(guān)系一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線(看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程 心) = 0 的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1) 曲線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程 畑)=0的解；(2) 以方程 心丿)二0 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線 C上.那么，方程 心丿)二0 叫做曲線的方程；曲線 叫做方程1 的曲線一、曲線的方程1. 定義：在直角坐標(biāo)系中，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，把曲線看成滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡，用曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)(x, y)所滿足

6、的方程表示曲線，通過(guò)研究方程的性質(zhì)間接地來(lái)研究曲線的性質(zhì)這就是坐標(biāo)法2. 坐標(biāo)法求曲線方程的步驟：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中涉及的幾何因素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；第二步：通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問(wèn)題；第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論通過(guò)坐標(biāo)法，把點(diǎn)和坐標(biāo)、曲線和方程聯(lián)系起來(lái)，實(shí)現(xiàn)了形和數(shù)的統(tǒng)一用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題時(shí)， 先用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何對(duì)象， 然后對(duì)坐標(biāo)和方程進(jìn)行代 數(shù)討論；最后再把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何結(jié)論這就是用坐標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”。(1) 用待定系數(shù)法求圓錐曲線方程 數(shù)形結(jié)合：先定型，再定量，注意區(qū)分解析條件與純幾何條件，如果位置不確定時(shí)，考 慮是否兩解在圖形上標(biāo)出已知條件，檢查軸上的點(diǎn)、垂直于軸的直線的位置是否準(zhǔn)確； 方程思想：n個(gè)未知數(shù)，列夠n個(gè)獨(dú)立的方程，并注意韋達(dá)定理的使用：(2) 注意“點(diǎn)在線上”條件的使用.(2) 求軌跡方程基本方法：定義法、直接代入法、參數(shù)法(利用已知參數(shù)方程法或自設(shè)參數(shù)).注意：注意限制； 求軌跡方程與求軌跡的區(qū)別。求軌跡是要求先求軌跡方程再描述該軌跡方程所表示的曲線類型及相應(yīng)的幾何特征； n個(gè)未知數(shù)，列夠n-1個(gè)獨(dú)立方程，特別注意考慮是否可利用定義直接列出方程.(3) 求取值范圍或最值 函數(shù)方法