應(yīng)用時間序列分析模擬試題

1、時間序列分析課程考試卷填空題（每小題 2 分，共計20分）1. ARMA(p, q)模型 xt01xt 1p xt p中模型參數(shù)為 p，q。2. 設(shè)時間序列 Xt，則其一階差分為 xtxtxt 1 。3. 設(shè) ARMA (2, 1) ：Xt 0.5X t 1 0.4X t 20.3 t 1則所對應(yīng)的特征方程為2 0.5 0.40。4. 對于一階自回歸模型 AR（1）: Xt 10 Xt 1t，其特征根為，平穩(wěn)域注：平穩(wěn)性判別：1）特征根判別法：特征根的絕對值小于1；該題中特征根等于 ，故平穩(wěn)條件為1 。（系數(shù)多項式的根在單位園外）2）平穩(wěn)域判別法： AR （1）模型：5.6.7.8.AR （2

2、）模型：1, 2 |1,且11ARMA(2,1):Xt 0.5Xt 1 aX t 21,a 0.5 1時，模型平穩(wěn)。注： AR 模型平穩(wěn)（系數(shù)多項式的根在單位園外） 位園外）：對于一階自回歸模型 MA（1）:0.1t1，當(dāng)注：；MA模型可逆（系數(shù)多項式的根在單1,k0.3Xt0.3 t1，其自相關(guān)函數(shù)為1.090,k,k 1q1,kki1q1 i2i10,k1,1對于二階自回歸模型AR（2） : Xt0.5Xt 10.2Xt 2 t 則模型所滿足的 Yule-Walker方程是11115841212221228021222122注： 1.k12.由于 AR 模型的故對于AR2)進(jìn)而0.59.

3、設(shè)時間序列Xt則預(yù)測方差為k2k1k1k2k1k2kki11,11,5,8,k 1 0.2為來自 ARMA(p,q) 模型：Xt1X t 1 LlVaret l Gi2i01tdxtEtEx10. 對于時間序列 Xt ，如果_ Exs t0,Var0,2,E0,s t，則 Xt I d 。dxtEt注： ARIMA （ p，d，q）Exs t0,Var0, s2,E t0,s t11. 設(shè)時間序列 Xt 為來自GARCH（p ， q）模型，則其模型結(jié)構(gòu)可寫為xtf t,xt 1,xtht etphtiht2 jji1j1得分二、（10 分）設(shè)時間序列 Xt 來自 ARMA 2,1 過程，滿足2

4、B 0.5B2Xt1 0.4B其中t 是白噪聲序列，并且Et0,Var t1）判斷 ARMA 2,1模型的平穩(wěn)性。5 分）2）2特征函數(shù)為 xxx 0.5 0 ，特征根為也可用平穩(wěn)域法見一（ 4）利用遞推法計算前三個格林函數(shù) G0,G1,G2。（5 分）G0Gk1kj Gk jj1G0G11G0 1 1( 0.4) 1.4G21G1 2G02 1.4 0.5 00.9求格林函數(shù)也可以用算子1 0.4B1 B 0.5B21 0.4B 1B 0.5B2 1 B0.5B2 21 0.4B 10.5B221 1.4B 0.9B2得分1i2 ，在單位圓內(nèi)，平穩(wěn)1619 歲失業(yè)女性的月度數(shù) 據(jù)經(jīng)過一階差分

5、后平穩(wěn)（ N 500），經(jīng)過計算樣本其樣本自相關(guān)系數(shù)20分）某國 1961年 1月 2002年 8月的k12345678910? k-0.470.06-0.070.040.000.04-0.040.06-0.050.01 ?k 及樣本偏相關(guān)系數(shù) ?kk 的前 10 個數(shù)值如下表10 分）0，1，1）2）對所識別的模型參數(shù)和白噪聲方差2給出其矩估計。10 分）于 ARIMA0，1121，1 1 4?12 ?11 1 4 0.472 0.470.7415?kk-0.47-0.21-0.18-0.10-0.050.02-0.01-0.060.010.00求1） 利用所學(xué)知識，對 Xt 所屬的模型進(jìn)行

6、初步的模型識別。樣本自相關(guān)系數(shù) 1 階截尾，樣本偏相關(guān)系數(shù)拖尾， ARIMA?2得分四、（ 20 分）設(shè) Xt 服從 ARMA（1, 1） 模型：11 ?2 0.645110.00250.002664其中 X100 0.3, 100 0.01。（1）給出未來3 期的預(yù)測值；（ 10 分）X?100 10.8X100 0.6100 0.234X?100 20.8X?100 10.8 0.234 0.1872X?100 30.8 X?100 20.8 0.1872 0.14976（2）給出未來3 期的預(yù)測值的95%的預(yù)測區(qū)間（ u0.97510.6B2Xtt10.2B 0.16B2 tt10.8B

7、 tG0 1 ；G1 0.2 ； G；2 0.16Var et l lGi2 2由于i01.96 ）。（ 10 分）Vare100 1 0.0025 Vare100 2 0.0026Vare100 3Xt 0.8Xt 1t 0.6 t 195%的預(yù)測區(qū)間 x?100 l u0.975 Var e100 l101 ( 0.136,0.332)102(0.087， 0.287)103-0.049,0.251）。得分五、( 10分)設(shè)時間序列 Xt服從 AR(1)模型：XtXt 1t，其中 t為白噪聲序列，E t 0,Var t 2 ，x1,x2(x1 x2) 為來自上述模型的樣本觀測值，試求模型參

8、數(shù)22 的極大似然估計。2B2Gi2 1i0Gi Gi 1i0ln112121211ln12x12x22 x1 x2似然方程組nx2 2 21 ln22x1x22 2 x1x21221x22 2x1x21 2 2?2所以2x1x2x12 xx122 x12 x22得分六、( 20 分)證明下列兩題：1) 設(shè)時間序列 xt 來自 ARMA 1,1 過程，滿足xt0.5xt 1t 0.25 t 1 ,其中 t WN 0, 證明其自相關(guān)系數(shù)為xt1 0.25B0.5Bt10.25BG0Gk2k,kGjGj02kGjGj0122 j 21,k 0.270.51B2122jk2B2222k 112k10

9、 分)B22B2231122j22k 111k42k 4 1 0.2571k16 2k 11241122j21424 1 0.25131217321k,k2)I(0)Yt I( 0)，且Xt 和Yt不相關(guān)，即 cov (Xr ,Ys) 0, r,s。試證明對于任意非零實數(shù) a與b，有 Zt aXt bYt I(0) 。( 10分)證明：因為 X t I( 0 )， Yt I( 0 )，所以；E X t2EYt2； E XtX；EX t,sXtk,sk ,t,s,tk,s kT；Y t,sYtk,sk ,t,s,tk,s kTZ t aX t bX tE Z t E aX t bX t a t

10、b tE Z t2E a2X t2b2Yt2 2abX tYta2E X t2b2EYt22ab E X t2 E Yt2Zt t,s EaXtbYta t b t aXsbYs a s b s2a Xt t,sb2Yt t,sabCov X t ,YsabCov X s,Yt22Yt t,sa Xt t,sb2所以 Z t,sZtk,sk ,t,s,t k,s kT七、 填空題(每小題 2 分，共計 20 分)1.Xt2.3.4.5.6.7.8.m N, tXt 為嚴(yán)平穩(wěn)。xtAR(p) 模型為 _ tARMA(p, q)模型 型參數(shù)為 p， q。設(shè)時間序列 Xtt1,tmTm,Z,x x1

11、, ,xm Rm,Ft xFtx ，序xt1xt1 xt 1，則其一階差分為pxt p_，其中自回歸參數(shù)為p xt p01p_。xtxtxt 1一階自回歸模型 AR(1) 所對應(yīng)的特征方程為對于一階自回歸模型對于一階自回歸模型注：AR(1) ，其特征根為 _ _ ，平穩(wěn)域是MA(1) ，其自相關(guān)函數(shù)為1,qk1,k 01 2 ,k0,k 2其中模k i k 1i1q1i2i10,1k對于二階自回歸模型 AR(2): Xt1Xt 12 Xt 2t , 其模型所滿足的 Yule-Walker 方程是112k1112122 k112211=122121 1 212 21121 210 222222k

12、2k1k1k2k2注：1. kk1k2kk9.10.2. 由于 AR 模型的故對于AR設(shè)時X t1Xt 1 LVaret l 設(shè)時間序列 Xtxtht2)有i11,112k 1 2pXtXtt1t1來自qtqARMA(p,q) 模 型則預(yù)測方差得分lGi2i0為來自f t,xt 1,xt 2, ht etpiht ii1j1GARCH(p ， q)模型，則其模型結(jié)構(gòu)可寫為八、( 20 分)Xt 是二階移動平均模型 MA(2) ，即滿足 X t tt-2其中t 是白噪聲序列，并且 E t 0,Var1) 當(dāng) 1 =0.8 時，試求 Xt 的自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。E Xt Xt kE t t

13、2 t k t k 2122,k0,其他2,k 01,k 01 2 ,k 2；0,其他1,k 00.4878,k 20,其他2)當(dāng) 1 =0.8 時，計算樣本均值 (X 1 X2 X3 X4) 4的方差。VarX1 X 2 X34X41 Var 116110321得分九、( 20 分)設(shè) X t 的長度為 10 的樣本值為0.8，0.2， 0.9，0.74， 0.82，1)0.92，0.78，0.86，0.72，0.84，試求樣本均值 x 。0.7582)樣本的自協(xié)方差函數(shù)值 ?1, ?2 和自相關(guān)函數(shù)值 ?1, ?2 。?knkxt x xt k x t1nk0.038276-0.01083

14、0.005914-0.282990.154509(3) 對 AR(2) 模型參數(shù)給出其矩估計，并且寫出模型的表達(dá)式。 由 Yule-Walker 方程111 ?21 ?10.18649? ?2?2 ?12 ?1?21 0.0809081 ?1?2 ? 0.83803xt0.838030.18649xt 1 0.080908xt 2 t得分十、( 20 分)設(shè) Xt 服從 ARMA(1, 1) 模型：Xt0.8Xt 1t 0.6 t 1其中 X100 0.3, 100 0.01 。1) 給出未來 3 期的預(yù)測值；2) 給出未來 3 期的預(yù)測值的 95%的預(yù)測區(qū)間。得分20分）設(shè)平穩(wěn)時間序列 Xt

15、 服從 AR（1）模型： Xt1Xt 1t，其中 t 為白噪聲， E t 0,Var t22，證明：Var(Xt)1122Xtt1B2B2t1 B t2241Gi2 1 22i0122VarXt 2Gi22i01十二、 單項選擇題（每小題 4 分，共計 20 分）（a）dXt=XtX t k（c）d Xt= d1 d 1XtXt 113. 記 B是延遲算子，則下列錯誤的是（a）B0 1（c）B Xt Yt=Xt 1 Yt 112. Xt 的 d階差分為14.關(guān)于差分方程 Xt4Xt 1 4Xt 2 ，其通解形式為（b）dXt=d 1Xtd1Xt kd）dXt=d1Xt-1d1Xt 2（b）B

16、c Xt=c BXtc Xt 1（d）d=XtXt d1 B d Xt15.a) c12t c22tb）c1 c2t 2tc) c1 c22td) c2t列哪些不是MA模型的統(tǒng)計性質(zhì)a) E Xtb) VarXt1c) t,E Xt ,E t 0d) 1,K , q 016. 上面左圖為自相關(guān)系數(shù)，右圖為偏自相關(guān)系數(shù)，由此給出初步的模型識別（a）MA （1）（ b）ARMA （1, 1）c）AR （2）d）ARMA （2, 1）得分十三、 填空題（每小題 2 分，共計 20 分）1. 在下列表中填上選擇的的模型類別AR （p）， MA （q），ARMA2. 時間序列模型建立后， 將要對模型進(jìn)行

17、顯著性檢驗， 那么檢驗的對象為 _殘差序列 ，檢驗的假設(shè)是 _殘差序列是白噪聲 。3. 時間序列模型參數(shù)的顯著性檢驗的目的是 _模型的有效性 （提取的信息是否充分） 。4. 根據(jù)下表，利用 AIC 和 BIC 準(zhǔn)則評判兩個模型的相對優(yōu)劣，你認(rèn)為_ _模型優(yōu)于 _ MA（2）模型。5. 時間序列預(yù)處理常進(jìn)行兩種檢驗，即為 檢驗和 檢驗。得分十四、 （ 10 分）設(shè) t 為正態(tài)白噪聲序列， E t 0,Var t時間序列 Xt 來自Xt 0.8Xt 1問模型是否平穩(wěn)？為什么？得分五、 （20分）設(shè) Xt 服從 ARMA（1, 1） 模型：Xt 0.8X t 1 t 0.6 t 1其中 X100 0.3, 100 0.01。3） 給出未來 3期的預(yù)測值； （10 分）給出未來 3 期的預(yù)測值的 95%的預(yù)測區(qū)間u0.975 1.96 ）。（ 10 分）得分4）六、 （ 20 分）下列樣本的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)是基于零均值的 平穩(wěn)序列樣本量為 500 計算得到的（樣本方差為 2.997）ACF: 0 :340; 0:321; 0:370; 0:106; 0:139; 0:171; 0:081; 0