數(shù)學(xué)建模_B題 艾滋病療法的評(píng)價(jià)及療效的預(yù)測(cè)(答案)_第1頁(yè)
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1、艾滋病療法的評(píng)價(jià)及療效的預(yù)測(cè)【摘要】本問(wèn)題要求我們利用艾滋病服藥治療期間測(cè)試所得的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)繼續(xù)治療的效果并評(píng)價(jià)各種療法的優(yōu)劣。對(duì)三個(gè)問(wèn)題我們都運(yùn)用回歸分析方法和方差分析方法來(lái)建立統(tǒng)計(jì)模型。就問(wèn)題一,首先對(duì)所有數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,建立了一元多項(xiàng)式回歸模型,將多項(xiàng)式回歸模型轉(zhuǎn)化為多元線性回歸模型運(yùn)用Matlab軟件求解,通過(guò)最小二乘法參數(shù)估計(jì)和統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn),得到關(guān)于與測(cè)試時(shí)刻的比較準(zhǔn)確的函數(shù)關(guān)系及其回歸曲線,由此預(yù)測(cè)出藥物治療的效果,最終得出在藥物治療的第25.0000周停止用藥最為合適的結(jié)論。然后提出分類的思想,即按不同病人在服藥前期的CD4濃度大小不同將數(shù)據(jù)分成三組,對(duì)每組數(shù)據(jù)同樣按前面的思路建立回歸模

2、型并求解,確定最佳治療終止時(shí)間依次為第25.1295周,第24.0000周,第25.0000周。分類前后的預(yù)測(cè)結(jié)果大致相符。問(wèn)題二在增多了病人年齡因素的基礎(chǔ)上對(duì)四種療法的優(yōu)劣進(jìn)行了評(píng)價(jià)。首先,對(duì)每組治療方案建立4種多元回歸子模型進(jìn)行定性分析,利用Matlab統(tǒng)計(jì)工具箱來(lái)處理,擬合出交互式圖形,并分析剩余標(biāo)準(zhǔn)差,篩選出每組治療方案最佳模型。然后分析CD4濃度曲線,對(duì)4種療法的優(yōu)劣進(jìn)行了排序,選擇療法四為最終方案,它的最佳終止服藥時(shí)間為第17.8854周。然后用方差分析進(jìn)行定量評(píng)價(jià)。定性和定量評(píng)價(jià)的結(jié)果相符。問(wèn)題三在問(wèn)題二基礎(chǔ)上增加了對(duì)治療費(fèi)用的考慮,建立多元回歸模型,同樣利用Matlab統(tǒng)計(jì)工具

3、箱來(lái)處理。然后提出“療效性價(jià)比”這一概念并建立模型,以單位費(fèi)用的治療的效果來(lái)評(píng)價(jià)4種治療效果,在交互式圖形中分別取治療費(fèi)用為0和200美元的兩個(gè)時(shí)刻作為觀測(cè)點(diǎn),分析4種療法的療效性價(jià)比,最后得到第1,2,3,4種療法依次較優(yōu),即療法四為最優(yōu)方案,在預(yù)測(cè)繼續(xù)治療的效果不佳的情況下,確定最佳終止時(shí)間為第17.8854周,終止治療時(shí)共花費(fèi)453.2464美元。關(guān)鍵詞:回歸分析 治療效果預(yù)測(cè) 方差分析 療效性價(jià)比 一、問(wèn)題的重述艾滋病是當(dāng)前人類社會(huì)最嚴(yán)重的瘟疫之一,是由艾滋病病毒(英文簡(jiǎn)稱HIV)引起的,這種病毒破壞人的免疫系統(tǒng),使人體喪失抵抗各種疾病的能力,從而嚴(yán)重危害人的生命。人類免疫系統(tǒng)的CD4

4、細(xì)胞在抵御HIV的入侵中起著重要作用,當(dāng)CD4被HIV感染而裂解時(shí),其數(shù)量會(huì)急劇減少,HIV將迅速增加,導(dǎo)致AIDS發(fā)作。艾滋病治療的目的,是盡量減少人體內(nèi)HIV的數(shù)量,同時(shí)產(chǎn)生更多的CD4,至少要有效地降低CD4減少的速度,以提高人體免疫能力?,F(xiàn)在得到了美國(guó)艾滋病醫(yī)療試驗(yàn)機(jī)構(gòu)ACTG公布的同時(shí)服用3種藥物療法和另外一組4種療法的相關(guān)數(shù)據(jù)。要求:1)、預(yù)測(cè)繼續(xù)治療的效果,或者確定最佳治療終止時(shí)間。2)、評(píng)價(jià)4種療法的優(yōu)劣(僅以CD4為標(biāo)準(zhǔn)),并對(duì)較優(yōu)的療法預(yù)測(cè)繼續(xù)治療的效果,或者確定最佳治療終止時(shí)間。3)、如果病人需要考慮4種療法的費(fèi)用,找出對(duì)2)中的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)(或者提前終止)有什么改變。二、

5、模型的假設(shè)1、 附件1、2數(shù)據(jù)所反映的規(guī)律基本符合AIDS病人藥物治療過(guò)程的病況規(guī)律,即能客觀的反映現(xiàn)實(shí)情況。2、 在測(cè)試和預(yù)測(cè)期間AIDS病人不會(huì)死亡。3、 病人在服藥測(cè)試初始CD4濃度相等。4、 問(wèn)題三第一種療法中第奇數(shù)個(gè)月(如第1個(gè)月)服用400mg didanosine (0.85美元/天),第偶數(shù)個(gè)月(如第2個(gè)月)服用600mg zidovudine(1.60美元/天)。5、 問(wèn)題三治療費(fèi)用只由治療藥品費(fèi)用組成。6、 每月按30天計(jì)算。三、符號(hào)說(shuō)明符號(hào)表示意義病人的CD4濃度(0.2個(gè)/ml)病人的HIV濃度(單位不詳)第類病人的CD4濃度(0.2個(gè)/ml),第類病人的HIV濃度(單

6、位不詳),測(cè)試CD4和HIV濃度的時(shí)刻(單位:周)問(wèn)題二、三中第種療法的時(shí)刻(單位:周),對(duì)數(shù)處理后第種療法病人體內(nèi)CD4濃度,第種療法的AIDS病人年齡,第種療法的擬合曲線的斜率的絕對(duì)值,第種療法的費(fèi)用(單位:美元),停止治療時(shí)為奇數(shù)月份時(shí)總的治療費(fèi)用停止治療時(shí)為偶數(shù)月份總的治療費(fèi)用采用第種療法時(shí)費(fèi)用增量,費(fèi)用增量為時(shí)CD4的濃度增量療效性價(jià)比,四、問(wèn)題的分析、模型的建立及求解4.1問(wèn)題一的分析及模型建立:4.1.1 問(wèn)題一的提出和數(shù)據(jù)分析已知:同時(shí)服用3種藥物(zidovudine,lamivudine,indinavir)的300多名病人每隔幾周測(cè)試的CD4和HIV的濃度(每毫升血液里的

7、數(shù)量)。要求:預(yù)測(cè)繼續(xù)治療的效果,或者確定最佳治療終止時(shí)間(繼續(xù)治療指在測(cè)試終止后繼續(xù)服藥,如果認(rèn)為繼續(xù)服藥效果不好,則可選擇提前終止治療)。分析:題目的附件1給出的CD4和HIV濃度是300多名病人每隔幾周測(cè)試的,每個(gè)病人測(cè)試3到6次不等,加起來(lái)共有1665組數(shù)據(jù)。根據(jù)題目要求,我們應(yīng)當(dāng)尋找出藥物治療過(guò)程中CD4和HIV濃度隨治療時(shí)間變化而變化的規(guī)律圖線,以此來(lái)判斷和預(yù)測(cè)。首先,以測(cè)試時(shí)刻(周)為橫軸,分別以CD4、HIV的濃度為縱軸,作出濃度關(guān)于時(shí)刻的散點(diǎn)圖進(jìn)行觀測(cè),由于數(shù)據(jù)點(diǎn)太多,測(cè)試時(shí)刻相對(duì)較集中且每個(gè)病人測(cè)試次數(shù)只有幾次,從散點(diǎn)圖上不容易看出它們之間的規(guī)律。于是,再用回歸分析法擬合出

8、濃度和時(shí)刻的關(guān)系曲線并做統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。仔細(xì)觀察分析數(shù)據(jù)我們發(fā)現(xiàn),不同的病人在初始時(shí)刻CD4濃度(或HIV濃度)有所不同,即每個(gè)病人的病程是不一樣的,于是我們提出按服藥前(第0周或者第1周)CD4濃度的不同將病人分為三類,如表1所示:表1 以CD4濃度為標(biāo)準(zhǔn)分類第類病人CD4濃度(0.2個(gè)/ml)07575150150然后對(duì)每一類數(shù)據(jù)各自分析討論,同樣用回歸分析法擬合出濃度和時(shí)刻的關(guān)系曲線并做統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。以上兩種方法同時(shí)用來(lái)解決問(wèn)題一(即預(yù)測(cè)繼續(xù)治療的效果,確定最佳治療終止時(shí)間),再比較兩種方法的優(yōu)劣。4.1.2 模型的建立及求解(一)模型一:分類前的回歸模型首先,記病人的CD4濃度(0.2個(gè)/ml)

9、為,HIV濃度(單位不詳)為(為了便于在同一個(gè)圖像上作出CD4和HIV濃度與時(shí)刻的回歸曲線,在數(shù)據(jù)時(shí)均將HIV濃度數(shù)據(jù)擴(kuò)大了50倍),為測(cè)試CD4和HIV濃度的時(shí)刻(單位:周),由附件1初步分析,隨著服藥時(shí)間的增加,CD4濃度先是增加,但是隨著時(shí)間增加過(guò)多后反而減少,而HIV濃度先是減少然后又增加,所以不應(yīng)擬合線性函數(shù),可能是二次函數(shù)比較合適。建立如下CD4濃度的回歸模型: () ()其中為回歸系數(shù), 是相互獨(dú)立的、期望為0、方差為、正態(tài)分布的隨機(jī)變量,即,稱(隨機(jī))誤差。1) 利用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì),確定系數(shù),得到預(yù)測(cè)方程;2) 給定顯著水平,對(duì)回歸系數(shù)進(jìn)行相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)及檢驗(yàn),確定回歸分

10、析的效果,直到回歸分析的效果好。用Matlab軟件命令regress求解,將回歸系數(shù)的估計(jì)值如表2所示,并代入()、()式得到CD4濃度和HIV濃度的預(yù)測(cè)方程為 () ()表2 模型一CD4和HIV濃度的計(jì)算結(jié)果回歸系數(shù)回歸系數(shù)估計(jì)值回歸系數(shù)置信區(qū)間CD4濃度HIV濃度CD4濃度CD4濃度97.7277439.771589.3095 106.1458429.4523 450.09076.6004-16.26175.2526 7.9481-17.9164 -14.6071-0.11140.3289-0.1452 -0.07760.2874 0.3705CD4濃度0. 1113 98.1 0 99

11、90.4HIV濃度0.2401 247.3568 0 1.5001由預(yù)測(cè)方程()()及圖1上的回歸曲線可以看出是開(kāi)口向下的拋物線而是開(kāi)口向上的拋物線,這符合AIDS患者用藥后體內(nèi)CD4濃度和HIV濃度隨時(shí)間變化的規(guī)律。回歸系數(shù)的置信區(qū)間比較短,而且都沒(méi)有包含零點(diǎn),表明回歸模型有效。圖1 HIV濃度50和CD4濃度的回歸曲線回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) 檢驗(yàn)水平為1) 相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法:相關(guān)系數(shù)是反映隨機(jī)變量與呈線性程度的一個(gè)度量指標(biāo),其取值范圍,當(dāng)接近于1時(shí),變量與呈密切線性相關(guān),當(dāng)接近于0時(shí),變量X與Y非線性相關(guān)。本模型CD4濃度和HIV濃度的計(jì)算結(jié)果中分別為0.1113和0.2401,都明顯偏小,可見(jiàn)

12、HIV和CD4濃度與檢測(cè)時(shí)刻呈非線性相關(guān),與我們的模型假設(shè)是相符的。2) F檢驗(yàn)法:若則回歸效果好。用Matlab求得3.8474,由表二可看出,的值都明顯大于3.8474,表明回歸方程的效果顯著。問(wèn)題結(jié)果及分析由圖1得到曲線中CD4濃度最大值所對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為29.2317(周),HIV濃度最小值所對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為25.0000(周),也就是病人服藥治療期間,在第25.0000周體內(nèi)HIV濃度降到最低,繼續(xù)服藥則HIV濃度又會(huì)反彈上升;同時(shí)CD4濃度還在上升,到了第29.2317周才上升到最大值,之后呈下降趨勢(shì)。由于艾滋病治療的目的,是盡量減少人體內(nèi)HIV的數(shù)量,提高CD4的數(shù)量也是為了增加HIV,

13、為了防止HIV濃度上升導(dǎo)致病情的惡化,在HIV濃度降到最低且尚未反彈時(shí)就應(yīng)當(dāng)停止服藥。由此可以確定最佳治療終止時(shí)間也就是HIV濃度降到最低的時(shí)間。模型一得到的最佳治療終止時(shí)間為第25.0000周。(二)模型二:分類后的回歸模型將不同病人在初始時(shí)刻CD4濃度的不同進(jìn)行分類后得出的數(shù)據(jù)分為三組,分別得到, , 組矩陣。對(duì)每組矩陣數(shù)據(jù)再建立關(guān)于HIV、CD4濃度與測(cè)試時(shí)間的二次函數(shù): () ()用Matlab軟件命令regress求解,將回歸系數(shù)的估計(jì)值代入()()式得到CD4濃度和HIV濃度的預(yù)測(cè)方程表3 回歸模型表濃度類型數(shù)據(jù)類型預(yù)測(cè)方程CD4濃度0.199798.9443.8535351.50

14、.159943.53.8626734.10.155026.0383.8748083.6HIV濃度0.2029100.913.853163870.296396.2293.8621285.90.367082.3193.87410527= 0 療法二療法一。綜上可知,四種療法的優(yōu)劣依次如下(表9)(編號(hào)由優(yōu)至劣如1號(hào)為最好,4號(hào)為最差):表9 四種療法優(yōu)劣比較結(jié)果優(yōu)劣序號(hào)療法名稱最佳治療終止時(shí)間1.療法四第17.8854周2.療法三3.療法二4.療法一即選擇療法四:600 mg zidovudine加400 mg didanosine,再加400 mg nevirapine為最終方案,它的最佳終止時(shí)

15、間為第17.8854周。(四)方差分析以上的回歸分析是定性的判斷四種療法的優(yōu)劣,下面我們來(lái)定量的討論和檢驗(yàn)四種不同的療法對(duì)CD4濃度的影響,我們采用單因素方差分析方法處理。由于附件2是將1300多名病人隨機(jī)地分為4組,因此在此可以假設(shè)所有病人的CD4的初始濃度是相等的。由以上的回歸模型得出四種中的前三種的CD4濃度幾乎都是隨治療時(shí)間的增長(zhǎng)而降低,只有第四種療法的第17周附近出現(xiàn)了轉(zhuǎn)折,因此對(duì)所有病人取具有代表性的第14至19周的CD4濃度作為觀測(cè)值,再將所得觀測(cè)值分別按對(duì)應(yīng)的療法分組,最后在Matlab里用命令anova1(X,group)對(duì)各療法的優(yōu)劣進(jìn)行單因素方差分析并比較出優(yōu)劣順序。M文

16、件見(jiàn)附錄data203.m,結(jié)果如下4:并且得到兩個(gè)圖形界面(圖9、圖10):圖一方差分析表中有6列:第1列顯示誤差的來(lái)源;第2列顯示每一個(gè)誤差來(lái)源的平方和(SS);第3列顯示與每個(gè)話中有誤差來(lái)源相關(guān)的自由度(df);第4列顯示均值平方和(MS),它是誤差來(lái)源平方和自由度的比值,即SS/df;第5列顯示F統(tǒng)計(jì)量,它是均值平方和的比值;第6列顯示p值,p值是F的函數(shù)(fcdf);當(dāng)F增加時(shí)P值減小。圖9 單因素方差分析表圖10 box圖顯示X的每組數(shù)據(jù)的箱形圖。箱形圖中心線上較大的差異對(duì)應(yīng)于較大的F值和較小的P值。圖10 box 圖因?yàn)?,所以認(rèn)為不同的療法對(duì)病人CD4濃度的提高有顯著影響。各水

17、平的效應(yīng)值如下:2.81122.9883-0.17712.85972.9883-0.12863.01472.98830.02643.25662.98830.2683計(jì)算結(jié)果表明,效應(yīng)值最大。說(shuō)明第四種療法對(duì)病人CD4濃度的提高值最大,因此第四種療法為最優(yōu)療法。4.3問(wèn)題三的分析及模型建立:4.3.1 問(wèn)題三的提出和數(shù)據(jù)分析已知:艾滋病藥品的主要供給商對(duì)不發(fā)達(dá)國(guó)家提供的各種藥品價(jià)格不盡相同。具體如下:600mg zidovudine 1.60美元/天,400mg didanosine 0.85美元/天,2.25 mg zalcitabine 1.85美元/天,400 mg nevirapine

18、1.20美元/天。要求:若病人需考慮4種療法的費(fèi)用,對(duì)(2)中的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)(或者提前終止)將產(chǎn)生什么改變。分析:在(2)中我們?cè)谟懻摨煼ǖ膬?yōu)劣及預(yù)測(cè)較優(yōu)療法繼續(xù)治療的效果時(shí),只以CD4的濃度作為參考標(biāo)準(zhǔn),在此應(yīng)綜合考慮治療費(fèi)用和CD4的濃度大小值,首先列出治療費(fèi)用與治療時(shí)間的函數(shù)關(guān)系,然后采用多元回歸模型來(lái)擬合出CD4的濃度與病人的年齡和治療費(fèi)用的交互式圖形,再建立一個(gè)療效性價(jià)比模型來(lái)進(jìn)行分析。在此提出一個(gè)療效性價(jià)比的概念,定義:療效性價(jià)比CD4降低的濃度 / 所花治療費(fèi)用為簡(jiǎn)化分析,我們采用比較在花費(fèi)相同費(fèi)用時(shí)四種療法CD4濃度的降低程度來(lái),判斷四種療法的優(yōu)劣并做預(yù)測(cè)。4.3.2 模型的建立

19、及求解(一)建立模型:將第種療法的治療費(fèi)用記為,第種療法的療效性價(jià)比記為,采用第種療法時(shí)費(fèi)用增量為時(shí)CD4的濃度增量記為,治療時(shí)間記為。在采用第一種療法時(shí),記停止治療時(shí)為奇數(shù)月份時(shí)總的治療費(fèi)用為,記停止治療時(shí)為偶數(shù)月份總的治療費(fèi)用為。記:,。第一步:根據(jù)病人日用藥量、藥品使用方案及藥品價(jià)格確定治療費(fèi)用與治療時(shí)間的線性關(guān)系如下:為使治療費(fèi)用盡可能少,假設(shè)采用第一種療法時(shí)第一個(gè)月服用的是每400mg 0.85美元的didanosine,第二個(gè)月服用的是每600mg 1.60美元的zidovudine 。1.) 2)3)4)第二步:為簡(jiǎn)化計(jì)算,將CD4的濃度處理為,并記做。我們以病人的年齡和病人的治

20、療費(fèi)用作為自變量,以CD4的濃度作為因變量,利用多元回歸分析擬合出CD4的濃度與病人的年齡和病人的治療費(fèi)用的交互式圖形,輸出每種治療方案的四個(gè)模型輸出的回歸系數(shù)和剩余標(biāo)準(zhǔn)差,選取最小的一個(gè)方程,如有兩項(xiàng)最小,則取方程較為簡(jiǎn)單的一個(gè),得到每種治療方案的最終模型。(具體做法同問(wèn)題二的處理)。各種療法的模型如下1:治療方案一選取purequadratic模型:治療方案二選取quadratic模型:治療方案三選取linear模型: 治療方案四選取quadratic模型:四種治療方案對(duì)應(yīng)的最終模型的交互式畫(huà)面如下:圖11 治療方案一的交互式畫(huà)面(左:費(fèi)用為0美元時(shí);右:費(fèi)用為200美元時(shí))圖12 治療方

21、案二的交互式畫(huà)面(左:費(fèi)用為0美元時(shí);右:費(fèi)用為200美元時(shí))圖13 治療方案三的交互式畫(huà)面(左:費(fèi)用為0美元時(shí);右:費(fèi)用為200美元時(shí)) 圖14 治療方案四的交互式畫(huà)面(左:費(fèi)用為0美元時(shí);右:費(fèi)用為200美元時(shí))圖15 治療方案三、四CD4濃度達(dá)最大值的交互式畫(huà)面(左:方案三;右:方案四)第三步:根據(jù)療效性價(jià)比的定義,建立一個(gè)關(guān)于四種不同療法的療效性價(jià)比模型:花費(fèi)同樣多的治療費(fèi)用,療效性價(jià)比越高,單位費(fèi)用的治療的效果越明顯,則治療效果越理想,越明顯。以此作為判斷四種療法優(yōu)劣的依據(jù)。第四步:判斷治療效果首先分析四種療法的交互式畫(huà)面的左邊,當(dāng)治療費(fèi)用固定時(shí),病人年齡與病人體內(nèi)CD4濃度的變化曲

22、線均呈增長(zhǎng)的總趨勢(shì),說(shuō)明在經(jīng)過(guò)同一治療時(shí)間后病人體內(nèi)的CD4濃度會(huì)隨病人年齡的增長(zhǎng)而增加。然后分析四種療法的交互式畫(huà)面的右邊,前兩種療法的圖形均呈下降趨勢(shì),第三、四種療法的圖形呈拋物線狀,故當(dāng)選擇第三、四種療法時(shí),應(yīng)在CD4濃度尚未達(dá)到最高或者達(dá)到最高的時(shí)刻停止治療。第三、四種療法CD4濃度達(dá)到最高值時(shí)費(fèi)用分別為:126.6599和453.24美元,故至少應(yīng)在費(fèi)用達(dá)到453.24美元時(shí)停止治療。在治療費(fèi)用在0453.24美元上分析:1 讀圖分析:療效性價(jià)比的正負(fù);2 分別取治療費(fèi)用為0和200美元的兩個(gè)時(shí)刻(讀圖9圖12),記錄CD4的濃度,并計(jì)算這個(gè)區(qū)間內(nèi)的療效性價(jià)比。表10 取0、200美

23、元分析療效性價(jià)比方案名稱療效性價(jià)比的正負(fù)(讀圖判斷)費(fèi)用為0美元時(shí)刻CD4濃度費(fèi)用為200美元時(shí)刻CD4濃度療效性價(jià)比()方案一負(fù)2.9712.6306-17.020方案二負(fù)2.9882.926-3.100方案三先正后負(fù)2.9692.9790.500方案四先正后負(fù)2.8483.0150.835注:療效性價(jià)比的正負(fù)要求圖形上每一點(diǎn)都滿足,而不是只有某兩點(diǎn)符合。圖16 取0、200美元分析療效性價(jià)比的直方圖注:圖表中每種的第一、二個(gè)柱狀圖表示的分別為治療費(fèi)用為0、200美元時(shí)CD4的濃度(無(wú)單位),第三個(gè)柱狀圖表示的是此時(shí)的療效性價(jià)比()。分析:讀直方圖可知,治療方案三、四優(yōu)于方案一、二。而對(duì)于前

24、兩種治療方案,很明顯方案一的療效性價(jià)比要比方案二的小的多。故第二種方案優(yōu)于第一種方案。在圖上,療效一和療法二療效性價(jià)比為負(fù),說(shuō)明采用這兩種治療方案治療,不但沒(méi)有使CD4的濃度升高,反倒使其降低,藥物治療起了負(fù)作用,或者帶來(lái)負(fù)面影響。以下在第三、四種療法CD4濃度達(dá)到最高值時(shí)分別做療效性價(jià)比分析。表11 取最值點(diǎn)分析療效性價(jià)比方案名稱費(fèi)用為0美元時(shí)刻CD4濃度費(fèi)用為126.6599美元時(shí)刻CD4濃度療效性價(jià)比()費(fèi)用為453.24美元時(shí)刻CD4濃度療效性價(jià)比()方案三2.9692.98471.240方案四2.8483.14286.504由于在兩種療法的各自的最值點(diǎn)處療效性價(jià)比6.5041.240

25、,故第四種方案優(yōu)于第三種方案。第五步:四種方案的優(yōu)劣比較結(jié)果及相關(guān)信息,如表12所示。表12 方案優(yōu)劣表方案優(yōu)劣順序方案名稱最優(yōu)方案終止治療時(shí)間(周次)最優(yōu)方案終止治療時(shí)共花費(fèi)治療費(fèi)用(美元)1.方案四17.8854453.24642.方案三3.方案二4.方案一選擇療法四:600 mg zidovudine加400 mg didanosine,再加400 mg nevirapine為最終方案,最佳終止時(shí)間為第17.8854周,終止治療時(shí)共花費(fèi)453.2464美元。五、模型的評(píng)價(jià)5.1 模型的優(yōu)點(diǎn):1分析附件1 CD4和HIV濃度數(shù)據(jù)的時(shí)候,先從整體數(shù)據(jù)入手,對(duì)所有數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)一處理,然后再細(xì)化,

26、將數(shù)據(jù)進(jìn)行分類處理,由兩種方法分別預(yù)測(cè)最佳治療終止時(shí)間。這種逐步處理方法簡(jiǎn)潔易懂,給出不同的解法,使我們的評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)具有很強(qiáng)的可比性和可讀性。2評(píng)價(jià)問(wèn)題二4種療法的優(yōu)劣時(shí),建立了回歸模型并用Matlab統(tǒng)計(jì)工具箱處理,定性的作出評(píng)價(jià),同時(shí)我們還運(yùn)用方差分析作了定量評(píng)價(jià),兩種評(píng)價(jià)得出的結(jié)果是一致的。3問(wèn)題二三中利用Matlab統(tǒng)計(jì)工具箱命令來(lái)處理,建立了多個(gè)多元回歸子模型,在交互式畫(huà)面上選擇變量,這樣逐步篩選,使模型達(dá)到最優(yōu),提高了精確度。4. 在問(wèn)題三的解答中,我們提出了一個(gè)“性價(jià)比”的概念,建立“療效性價(jià)比”模型,使抽象問(wèn)題具體化、量化,既有效的完美的結(jié)合了CD4的濃度和治療費(fèi)用,又便于計(jì)算和

27、比較。5.2 模型的缺點(diǎn):由于所給兩組都數(shù)據(jù)非常龐大,考慮到時(shí)間問(wèn)題,為了避免復(fù)雜而繁瑣的工作量,在作回歸分析時(shí),我們都沒(méi)有對(duì)殘差圖中的一些異常點(diǎn)進(jìn)行剔除處理。但是回歸分析得到的結(jié)果都經(jīng)過(guò)了各種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn),因而總的回歸效果還是很好的。六、模型的改進(jìn)和推廣1對(duì)問(wèn)題作回歸分析并建立回歸模型時(shí),若進(jìn)行殘差分析,作出殘差及其置信區(qū)間分析圖,對(duì)原始數(shù)據(jù)中的異常數(shù)據(jù)剔除處理后再計(jì)算,模型會(huì)有一定的改進(jìn)。2我們?cè)诟郊?中隨機(jī)抽取一些病人數(shù)據(jù)分成幾組,作出CD4濃度(或HIV濃度)與測(cè)試時(shí)刻的關(guān)系折線圖,可以看到,折線圖大致有兩種不同的走勢(shì),一種是CD4濃度隨著時(shí)間的增加而呈現(xiàn)上升的趨勢(shì),最后濃度穩(wěn)定在最高點(diǎn),

28、另一種是CD4濃度隨著時(shí)間的增加先是上升,過(guò)一段時(shí)間后轉(zhuǎn)而下降。這說(shuō)明不同的病人進(jìn)行藥物治療后大致有兩種不同的效果,一種是服藥后病情都在好轉(zhuǎn),另一種是服藥后前一段時(shí)間有效果,隨后又變壞。若對(duì)問(wèn)題一繼續(xù)作深入討論,可以對(duì)附件1 CD4和HIV濃度數(shù)據(jù)作更合理的調(diào)整分類,分類依據(jù)是藥物治療后CD4濃度變化趨勢(shì),將這兩類病人用聚類分析的方法分離出來(lái),得到兩組相對(duì)比較類似的數(shù)據(jù),再分別進(jìn)行回歸分析處理后,各自會(huì)預(yù)測(cè)出的治療效果應(yīng)該會(huì)不同。前一種預(yù)測(cè)應(yīng)該是建議繼續(xù)治療,即在測(cè)試終止后繼續(xù)服藥,后一種預(yù)測(cè)應(yīng)該是在測(cè)試期間當(dāng)病人的CD4濃度值上升到最大時(shí)即終止服藥。這種預(yù)測(cè)結(jié)論更加貼近現(xiàn)實(shí)。由于時(shí)間緊迫,我

29、們沒(méi)有具體進(jìn)行操作,在此只作為模型的推廣大致討論了一下。 參考文獻(xiàn)1 姜啟源,邢文訓(xùn),謝金星,楊頂輝 大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),北京:清華大學(xué)出版社,20002 馬知恩 等著,傳染病動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究,北京:科學(xué)出版社,20043 傅鸝,龔劬,劉瓊蓀,何中市編著,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),北京:科學(xué)出版社,20004 (美)埃維森(Gudmund R.Iversen)等著;吳喜之 等譯,統(tǒng)計(jì)學(xué),北京: 高等教育出版社,20005 盛驟,謝式千,潘承毅,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì), 北京:高等教育出版社 ,20016 盛驟 等編,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(第三版),北京:高等教育出版社,2001 7 蘇金明等編,MATLAB工具箱應(yīng)用2

30、006年9月17日八、 附錄8.1程序代碼:8.1.1 問(wèn)題一的程序代碼注:程序中data1為附件1數(shù)據(jù)的矩陣表示,由于篇幅過(guò)大,在此略去n=size(data1);ra,ir=sort(data1(:,2);W=ra,ir;k=1;for i=1:n(1) % if (data1(i,2)75&data1(i,3)=150 if (data1(i,2)150 % if (data1(i,2)=0&data1(i,3)=75 s(k)=i; k=k+1; endends;M=data1(s,:);j=0;for i=2:n(1) if data1(i,1)-data1(i-1,1)=1 j=j

31、+1; endendn2=size(M);k=1;for i=1:n2(1) for j=1:n(1) if data1(j,1)=M(i,1) ss(k)=j; k=k+1; end endendss;data2=(data1(ss,:);x1=data2(:,2);x2=x1.2;y=data2(:,3); x=x1,x2;X=ones(size(x1),1),x1,x2;%stepwise(x,y);b1,bint1,r1,rint1,s1=regress(y,X);%regress of cd4 after sortxx=-10:80;yy=b1(1)+b1(2)*xx+b1(3)*x

32、x.2;yyn=max(yy);xxn=(sqrt(b1(2)2-4*b1(3)*(b1(1)-yyn)-b1(2)/(2*b1(3);plot(xx,yy)max(yy)%plot(data2(:,2),data2(:,3),.); hold onx3=data2(:,4);x4=data2(:,4).2;y2=data2(:,5)*50; %enlarge y2 to 50*y2 so it %will be clearer when ploted with yy; xs=x3,x4;Xs=ones(size(x3),1),x3,x4;%stepwise(x,y);b2,bint2,r2,

33、rint2,s2=regress(y2,Xs);%regress of hiv after sortxx=-10:80;yy=b2(1)+b2(2)*xx+b2(3)*xx.2;yyn=min(yy);xxn2=(sqrt(b2(2)2-4*b2(3)*(b2(1)-yyn)-b2(2)/(2*b2(3);plot(xx,yy)min(yy)gridtext(60,320,leftarrow HIV);text(60,105,leftarrow CD4);title(HIV and CD4);xlabel(date(week);ylabel(HIV*50 or CD4);hold offxt1

34、=data2(:,3);xt2=xt1.2;xt3=1./(xt1+1);yt=data2(:,5);xt=xt1,xt2;Xt=ones(size(xt1),1),xt1,xt2,xt3;%stepwise(xt,yt);b3,bint3,r3,rint3,s3=regress(yt,Xt);xx=0.0000001:300;yyt=b3(1)+b3(2)*xx+b3(3)*xx.2+b3(4)./(xx+1); figure(2); plot(xx,yyt)hold onplot(data2(:,3),data2(:,5),.)hold offxxn %date when cd4 reac

35、h max(cd4)xxn2 %date when hiv reach min(hiv)figure(3); bx1=data1(:,2);bx2=bx1.2;by=data1(:,3);bX=ones(size(bx1),1),bx1,bx2;bx=bx1,bx2;%stepwise(bx,by)b4,bint4,r4,rint4,s4=regress(by,bX);%regress of cd4 with no sortxx=-10:80;yy1=b4(1)+b4(2)*xx+b4(3)*xx.2; bx1=data1(:,4);bx2=bx1.2;by=data1(:,5)*50;bX=

36、ones(size(bx1),1),bx1,bx2;bx=bx1,bx2;%stepwise(bx,by)b5,bint5,r5,rint5,s5=regress(by,bX);%regress of hiv with no sortyy2=b5(1)+b5(2)*xx+b5(3)*xx.2;%plot(xx,yy1,xx,yy2,bx1,by,.)plot(xx,yy1,xx,yy2)gridtext(60,320,leftarrow HIV);text(61,103,leftarrow CD4);title(HIV and CD4);xlabel(date(week);ylabel(HIV

37、*50 or CD4);yyn=max(yy1)xxn3=(sqrt(b4(2)2-4*b4(3)*(b4(1)-yyn)-b4(2)/(2*b4(3);yyn=min(yy2)xxn4=(sqrt(b5(2)2-4*b5(3)*(b5(1)-yyn)-b5(2)/(2*b5(3);xxn3xxn48.1.2 問(wèn)題二回歸分析的程序代碼size(data201);ra,ir=sort(data201(:,2);D=ra,ir;for k=1:4j(k)=0;for i=1:5036 if D(i,1)=k j(k)=j(k)+1; endendendX1=data201(D(1:j(1),2),

38、:); X2=data201(D(j(1)+1:j(1)+j(2),2),:); X3=data201(D(j(1)+j(2)+1:j(1)+j(2)+j(3),2),:); X4=data201(D(j(1)+j(2)+j(3)+1:j(1)+j(2)+j(3)+j(4),2),:); data1=X4;n=size(data1);ra,ir=sort(data1(:,2);W=ra,ir;k=1;for i=1:n(1) %if (data1(i,4)3&data1(i,5)4.5 if (data1(i,4)=1)&data1(i,5)3 %if (data1(i,4)4.5 s(k)=

39、i; k=k+1; endends;M=data1(s,:);j=0;for i=2:n(1) if data1(i,1)-data1(i-1,1)=1 j=j+1; endendn2=size(M);k=1;for i=1:n2(1) for j=1:n(1) if data1(j,1)=M(i,1) ss(k)=j; k=k+1; end endendss;data2=(data1(ss,:);x1=data1(:,3);x2=x1.2;x3=data1(:,4);x4=x3.2;x5=x1.*x3;y=data1(:,5);xx=x1,x2,x3,x4,x5;x=x1,x3;rstool

40、(x,y,purequadratic);8.1.3 問(wèn)題二方差分析的程序代碼n=size(data201);k=1;for i=1:n(1) if data201(i,4)=22&data201(i,4)=26 data20(k,:)=data201(i,:); k=k+1; endenddata20;n2=size(data20); %for j=1:4 k=1;for i=1:n2(1) if data20(i,2)=1 data21(k,:)=data20(i,:); k=k+1; endendX1=data21; clear data21; k=1;for i=1:n2(1) if data20(i,2)=2 data21(k,:)=data20(i,:); k=k+1; endendX2=data21; clear data21; k=1;for i=1

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