數(shù)學(xué)建模 微分方程模型[講課適用]

1、2 2 傳染病模型傳染病模型 3 3 戰(zhàn)爭(zhēng)模型戰(zhàn)爭(zhēng)模型 4 4 最優(yōu)捕魚問題最優(yōu)捕魚問題 1 1 微分方程模型微分方程模型 微微 分分 方方 程程 模模 型型 1優(yōu)選課堂 1 1 微分方程模型微分方程模型 一、微分方程模型的建模步驟微分方程模型的建模步驟 在自然科學(xué)以及工程、經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)、體育、生物、在自然科學(xué)以及工程、經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)、體育、生物、 社會(huì)等學(xué)科中的許多系統(tǒng)，有時(shí)很難找到該系統(tǒng)有關(guān)社會(huì)等學(xué)科中的許多系統(tǒng)，有時(shí)很難找到該系統(tǒng)有關(guān) 變量之間的直接關(guān)系變量之間的直接關(guān)系函數(shù)表達(dá)式，但卻容易找到函數(shù)表達(dá)式，但卻容易找到 這些變量和它們的微小增量或變化率之間的關(guān)系式，這些變量和它們的微小增量或變

2、化率之間的關(guān)系式， 這時(shí)往往采用微分關(guān)系式來描述該系統(tǒng)這時(shí)往往采用微分關(guān)系式來描述該系統(tǒng)即建立微即建立微 分方程模型分方程模型 。我們以一個(gè)例子來說明建立微分方程模我們以一個(gè)例子來說明建立微分方程模 型的基本步驟。型的基本步驟。 2優(yōu)選課堂 例例1 1 某人的食量是某人的食量是1046710467（焦（焦/ /天），其中天），其中5038 5038 （焦（焦/ /天）用于基本的新陳代謝（即自動(dòng)消耗）。天）用于基本的新陳代謝（即自動(dòng)消耗）。 在健身訓(xùn)練中，他所消耗的熱量大約是在健身訓(xùn)練中，他所消耗的熱量大約是69 69 （焦（焦/ /公斤公斤 天）乘以他的體重（公斤）。假設(shè)天）乘以他的體重（公斤

3、）。假設(shè) 以脂肪形式貯藏的熱量以脂肪形式貯藏的熱量100%100%地有效，而地有效，而1 1公斤脂公斤脂 肪含熱量肪含熱量4186841868（焦）。（焦）。 試研究此人的體重隨時(shí)間變化的規(guī)律。試研究此人的體重隨時(shí)間變化的規(guī)律。 3優(yōu)選課堂 模型分析模型分析 在問題中并未出現(xiàn)在問題中并未出現(xiàn)“變化率變化率”、“導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)”這樣的關(guān)鍵這樣的關(guān)鍵 詞，但要尋找的是體重（記為詞，但要尋找的是體重（記為WW）關(guān)于時(shí)間）關(guān)于時(shí)間t t的的 函數(shù)。如果我們把體重函數(shù)。如果我們把體重WW看作是時(shí)間看作是時(shí)間t t的連續(xù)可的連續(xù)可 微函數(shù)，我們就能找到一個(gè)含有微函數(shù)，我們就能找到一個(gè)含有 的微分方程。的微分方程

4、。 dt dw 4優(yōu)選課堂 模型假設(shè)模型假設(shè) 1. 1.以以W(t)W(t)表示表示t t時(shí)刻某人的體重，并設(shè)一天開始時(shí)時(shí)刻某人的體重，并設(shè)一天開始時(shí) 人的體重為人的體重為WW0 0。 2 2體重的變化是一個(gè)漸變的過程。因此可認(rèn)為體重的變化是一個(gè)漸變的過程。因此可認(rèn)為 W(t)W(t)是關(guān)于連續(xù)是關(guān)于連續(xù)t t而且充分光滑的。而且充分光滑的。 3 3體重的變化等于輸入與輸出之差，其中輸入體重的變化等于輸入與輸出之差，其中輸入 是指扣除了基本新陳代謝之后的凈食量吸收；是指扣除了基本新陳代謝之后的凈食量吸收； 輸出就是進(jìn)行健身訓(xùn)練時(shí)的消耗。輸出就是進(jìn)行健身訓(xùn)練時(shí)的消耗。 5優(yōu)選課堂 模型建立模型建

5、立 問題中所涉及的時(shí)間僅僅是問題中所涉及的時(shí)間僅僅是“每天每天”，由此，由此， 對(duì)于對(duì)于“每天每天”體重的變化體重的變化= =輸入輸入- -輸出。由于考輸出。由于考 慮的是體重隨時(shí)間的變化情況，因此，可得慮的是體重隨時(shí)間的變化情況，因此，可得 體重的變化體重的變化/ /天天= =輸入輸入/ /天天輸出輸出/ /天。代入具天。代入具 體的數(shù)值，得體的數(shù)值，得 輸入輸入/ /天天 = 10467= 10467（焦（焦/ /天）天）50385038（焦（焦/ /天）天） =5429=5429（焦（焦/ /天），天）， 輸出輸出/ /天天 = 69= 69（焦（焦/ /公斤公斤 天）天）（公斤）（公斤

6、） = 69= 69（焦（焦/ /天）。天）。 6優(yōu)選課堂 體重的變化體重的變化/ /天天= =W/W/t t（公斤（公斤/ /天），天）， 當(dāng)當(dāng)t t0 0時(shí)，它等于時(shí)，它等于dW/dtdW/dt。 考慮單位的匹配，考慮單位的匹配， 利用利用 “公斤公斤/ /天天= =（焦（焦/ /每天）每天）/41868/41868（焦（焦/ /公斤）公斤）”, , 可建立如下微分方程模型可建立如下微分方程模型 00 | 10000 161296 41868 695429 ww ww dt dw t 7優(yōu)選課堂 模型求解模型求解 用變量分離法求解，模型方程等價(jià)于用變量分離法求解，模型方程等價(jià)于 積分得積分

7、得 0 10000161296 WW dt W dW ot 10000 16 0) 161296(161296 t eWW 10000 16 0 )161296(161296 t eWW 8優(yōu)選課堂 從而求得模型解從而求得模型解 就描述了此人的體重隨時(shí)間變化的規(guī)律。就描述了此人的體重隨時(shí)間變化的規(guī)律。 10000 16 0 ) 16 161296 ( 16 1296 t e W W 9優(yōu)選課堂 現(xiàn)在我們?cè)賮砜紤]一下：此人的體重會(huì)達(dá)到平衡嗎現(xiàn)在我們?cè)賮砜紤]一下：此人的體重會(huì)達(dá)到平衡嗎? ? 顯然由顯然由WW的表達(dá)式，當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式，當(dāng)t t時(shí)，體重有穩(wěn)定值時(shí)，體重有穩(wěn)定值W W 81 81 。 我們

8、也可以直接由模型方程來回答這個(gè)問題。我們也可以直接由模型方程來回答這個(gè)問題。 在平衡狀態(tài)下，在平衡狀態(tài)下， WW是不發(fā)生變化的。所以是不發(fā)生變化的。所以 這就非常直接地給出了這就非常直接地給出了WW平衡 平衡=81 =81。 所以，如果我們需要知道的僅僅是這個(gè)平所以，如果我們需要知道的僅僅是這個(gè)平 衡值，就不必去求解微分方程了！衡值，就不必去求解微分方程了！ 0 dt dW 10優(yōu)選課堂 至此，問題已基本上得以解決。至此，問題已基本上得以解決。 一般地，建立微分方程模型，其方法可歸納為：一般地，建立微分方程模型，其方法可歸納為： (1) (1) 根據(jù)規(guī)律列方程。利用數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、根據(jù)規(guī)律列

9、方程。利用數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、 化學(xué)等學(xué)科中的定理或許多經(jīng)過實(shí)踐或?qū)嶒?yàn)檢化學(xué)等學(xué)科中的定理或許多經(jīng)過實(shí)踐或?qū)嶒?yàn)檢 驗(yàn)的規(guī)律和定律，如牛頓運(yùn)動(dòng)定律、物質(zhì)放射驗(yàn)的規(guī)律和定律，如牛頓運(yùn)動(dòng)定律、物質(zhì)放射 性的規(guī)律、曲線的切線性質(zhì)等建立問題的微分性的規(guī)律、曲線的切線性質(zhì)等建立問題的微分 方程模型。方程模型。 11優(yōu)選課堂 (3) (3) 模擬近似法。在生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科的實(shí)際問題中，模擬近似法。在生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科的實(shí)際問題中， 許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其 復(fù)雜的，常常用模擬近似的方法來建立微分方程模型、復(fù)雜的，常常用模擬近似的方法來建立微分方

10、程模型、 建模時(shí)在不同的假設(shè)下去模擬實(shí)際的現(xiàn)象，這個(gè)過程建模時(shí)在不同的假設(shè)下去模擬實(shí)際的現(xiàn)象，這個(gè)過程 是近似的，用模擬近似法所建立的微分方程從數(shù)學(xué)上是近似的，用模擬近似法所建立的微分方程從數(shù)學(xué)上 去求解或分析解的性質(zhì)，再去同實(shí)際情況對(duì)比，看這去求解或分析解的性質(zhì)，再去同實(shí)際情況對(duì)比，看這 個(gè)微分方程模型能否刻劃、模擬、近似某些實(shí)際現(xiàn)象。個(gè)微分方程模型能否刻劃、模擬、近似某些實(shí)際現(xiàn)象。 本章將結(jié)合例子討論幾個(gè)不同領(lǐng)域中微分方程模型的本章將結(jié)合例子討論幾個(gè)不同領(lǐng)域中微分方程模型的 建模方法。建模方法。 12優(yōu)選課堂 2 2 傳染病模型傳染病模型 問題問題 描述傳染病的傳播過程描述傳染病的傳播過程

11、 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律 預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時(shí)刻預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時(shí)刻 預(yù)防傳染病蔓延的手段預(yù)防傳染病蔓延的手段 按照傳播過程的一般規(guī)律，按照傳播過程的一般規(guī)律， 用機(jī)理分析方法建立模型用機(jī)理分析方法建立模型 13優(yōu)選課堂 已感染人數(shù)已感染人數(shù) (病人病人) i(t) 每個(gè)病人每天有效接觸每個(gè)病人每天有效接觸 (足以使人致病足以使人致病)人數(shù)為人數(shù)為 模型模型1 1 假設(shè)假設(shè) ttititti)()()( 若有效接觸的是病人，若有效接觸的是病人， 則不能使病人數(shù)增加則不能使病人數(shù)增加 必須區(qū)分已感染者必須區(qū)分已感染者(病病 人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人

12、) 建模建模 0 )0(ii i dt di it t eiti 0 )( ? 14優(yōu)選課堂 si dt di 1)()(tits 模型模型2 2區(qū)分已感染者區(qū)分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人) 假設(shè)假設(shè) 1）總?cè)藬?shù)）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康不變，病人和健康 人的人的 比例分別為比例分別為)(),(tsti 2）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù) 為為 , 且且使接觸的健康人致病使接觸的健康人致病 建模建模ttNitstittiN)()()()( 0 )0( )1( ii ii dt di 日日 接觸率接觸率 SI 模型模型 15優(yōu)選課堂 t e i t

13、i 1 1 1 1 )( 0 0 )0( )1( ii ii dt di 模型模型2 1/2 tm i i0 1 0 t 1 1 ln 0 1 i t m tm傳染病高潮到來時(shí)刻傳染病高潮到來時(shí)刻 (日接觸率日接觸率) tm 1it Logistic 模型 病人可以治愈！病人可以治愈！ ? t=tm, di/dt 最大最大 16優(yōu)選課堂 模型模型3 傳染病無(wú)免疫性傳染病無(wú)免疫性病人治愈成病人治愈成 為健康人，健康人可再次被感染為健康人，健康人可再次被感染 增加假設(shè)增加假設(shè) SIS 模型模型 3）病人每天治愈的比例為）病人每天治愈的比例為 日日治愈率治愈率 ttNittitNstittiN)()

14、()()()( 建模建模 / 日接觸率日接觸率 1/ 感染期感染期 一個(gè)感染期內(nèi)一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的每個(gè)病人的 有效接觸人數(shù)，稱為有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)接觸數(shù)。 0 )0( )1( ii iii dt di 17優(yōu)選課堂 1,0 1, 1 1 )( i ) 1 1 ( ii dt di 模型模型3 i0 i0 接觸數(shù)接觸數(shù) =1 閾值閾值 / 1)(ti 形曲線增長(zhǎng)按Sti )( 感染期內(nèi)感染期內(nèi)有效接觸感染的健有效接觸感染的健 康者人數(shù)不超過病人數(shù)康者人數(shù)不超過病人數(shù) 小 0 1 i 1-1/ i0 iii dt di )1 ( 模型模型2(SI模型模型)如何看作模型如何看作模型3(SI

15、S模型模型)的特例的特例 i di/dt 0 1 1 0t i 1 1-1/ i 0t 1 di/dt 0 18優(yōu)選課堂 模型模型4 傳染病有免疫性傳染病有免疫性病人治愈病人治愈 后即移出感染系統(tǒng)，稱后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者移出者 SIR模型模型 假設(shè)假設(shè) 1）總?cè)藬?shù)）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移不變，病人、健康人和移 出者的比例分別為出者的比例分別為)(),(),(trtsti 2）病人的日接觸率）病人的日接觸率 , 日日治愈率治愈率 , 接觸數(shù)接觸數(shù) = / 建模建模 1)()()(trtits 需建立需建立 的兩個(gè)方程的兩個(gè)方程)(),(),(trtsti 19優(yōu)選課堂 ttNitt

16、itNstittiN)()()()()( 模型模型4 SIR模型模型 很小）通常 000 )0(1rrsi 無(wú)法求出無(wú)法求出 的解析解的解析解 )(),(tsti 在相平面在相平面 上上 研究解的性質(zhì)研究解的性質(zhì) is ttitNststtsN)()()()( 00 )0(,)0(ssii si dt ds isi dt di 20優(yōu)選課堂 0 0 1 1 ii sds di ss 0 00 ln 1 )()( s s sissi 模型模型4 00 )0(,)0(ssii si dt ds isi dt di / 消去消去dt SIR模型模型 1,0,0),(isisisD 相軌線相軌線 的定

17、義域的定義域)(si 相軌線相軌線 1 1 s i 0 D 在在D內(nèi)作相軌線內(nèi)作相軌線 的圖形，進(jìn)行分析的圖形，進(jìn)行分析 )(si 21優(yōu)選課堂 s i 1 01 D 模型模型4SIR模型模型相軌線相軌線 及其分析及其分析)(si 00 )0(,)0(ssii si dt ds isi dt di 0 0 1 1 ii sds di ss 0 00 ln 1 )()( s s sissi 0ln 1 0 00 s s siss 滿足 m iis,/1 傳染病蔓延傳染病蔓延 傳染病不蔓延傳染病不蔓延 s(t)單調(diào)減單調(diào)減相軌線的方向相軌線的方向 0, it P1 s0 /1 im s P1: s

18、01/ i(t)先升后降至先升后降至0 P2: s01/ i(t)單調(diào)降至單調(diào)降至0 1/ 閾值閾值 P3 P4 P2 S0 22優(yōu)選課堂 ss ss 0 0 lnln 模型模型4SIR模型模型預(yù)防傳染病蔓延的手段預(yù)防傳染病蔓延的手段 (日接觸率日接觸率) 衛(wèi)生水平衛(wèi)生水平 (日日治愈率治愈率) 醫(yī)療水平醫(yī)療水平 傳染病不蔓延的條件傳染病不蔓延的條件s01/ 的估計(jì)的估計(jì) 0ln 1 0 00 s s sis 0 i忽略 降低降低 s0 提高提高 r0 1 000 ris 提高閾值提高閾值 1/ 降低降低 (= / ) , 群體免疫群體免疫 23優(yōu)選課堂 模型模型4SIR模型模型 被傳染人數(shù)的

19、估計(jì)被傳染人數(shù)的估計(jì) 0ln 1 0 00 s s sis 記被傳染人數(shù)比例記被傳染人數(shù)比例 ssx 0 0) 2 1 1 ( 2 00 s x s x 0)1ln( 1 0 s x x ) 1 (2 00 ssx 2x xs0 i 0 s/1 P1 0 s s i0 0, s0 1 小小, s0 1 提高閾值提高閾值1/降低降低 被傳染人數(shù)比例被傳染人數(shù)比例 x s0 - 1/ = 24優(yōu)選課堂 戰(zhàn)爭(zhēng)分類：正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)，游擊戰(zhàn)爭(zhēng)，混合戰(zhàn)爭(zhēng)戰(zhàn)爭(zhēng)分類：正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)，游擊戰(zhàn)爭(zhēng)，混合戰(zhàn)爭(zhēng) 只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強(qiáng)弱只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強(qiáng)弱 兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)

20、斗減員而減少，因增援而增加 戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān)戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān) 建模思路和方法為用數(shù)學(xué)模型討論社會(huì)建模思路和方法為用數(shù)學(xué)模型討論社會(huì) 領(lǐng)域的實(shí)際問題提供了可借鑒的示例領(lǐng)域的實(shí)際問題提供了可借鑒的示例 第一次世界大戰(zhàn)第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預(yù)測(cè)戰(zhàn)役結(jié)局的模型提出預(yù)測(cè)戰(zhàn)役結(jié)局的模型 3 3 戰(zhàn)爭(zhēng)模型戰(zhàn)爭(zhēng)模型 25優(yōu)選課堂 0),(),()( 0),(),()( tvyyxgty tuxyxftx 一般模型一般模型 每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力 每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比 甲乙雙

21、方的增援率為甲乙雙方的增援率為u(t), v(t) f, g 取決于戰(zhàn)爭(zhēng)類型取決于戰(zhàn)爭(zhēng)類型 x(t) 甲方兵力，甲方兵力，y(t) 乙方兵力乙方兵力 模型模型 假設(shè)假設(shè) 模型模型 26優(yōu)選課堂 )( )( tvybxy tuxayx 正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型 甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力 雙方均以正規(guī)部隊(duì)作戰(zhàn)雙方均以正規(guī)部隊(duì)作戰(zhàn) xx prbbxg, 忽略非戰(zhàn)斗減員忽略非戰(zhàn)斗減員 假設(shè)沒有增援假設(shè)沒有增援 00 )0(,)0(yyxx bxy ayx f(x, y)= ay, a 乙方每個(gè)士兵的殺傷率乙方每個(gè)士兵的殺傷率 a=ry py, r

22、y 射擊率，射擊率， py 命中率命中率 27優(yōu)選課堂 )(ty )(tx 0 ak 0k 0k bk 0k 正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型 為判斷戰(zhàn)爭(zhēng)的結(jié)局，不求為判斷戰(zhàn)爭(zhēng)的結(jié)局，不求x(t), y(t) 而在相平面上討論而在相平面上討論 x 與與 y 的關(guān)系的關(guān)系 00 )0(,)0(yyxx bxy ayx ay bx dx dy 2 0 2 0 bxayk kbxay 22 000yxk時(shí) 平方律平方律 模型模型 甲方勝 0k 平局0k yy xx pr pr a b x y 2 0 0 乙方勝乙方勝 28優(yōu)選課堂 游擊戰(zhàn)爭(zhēng)模型游擊戰(zhàn)爭(zhēng)模型雙方都用游擊部隊(duì)作戰(zhàn)雙方都用游擊部隊(duì)作戰(zhàn) 甲方戰(zhàn)斗減

23、員率還隨著甲方兵力的增加而增加甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加 忽略非戰(zhàn)斗減員忽略非戰(zhàn)斗減員 假設(shè)沒有增援假設(shè)沒有增援 yrxxxx ssrprddxyyxg/,),( 00 )0(,)0(yyxx dxyy cxyx f(x, y)= cxy, c 乙方每個(gè)士兵的殺傷率乙方每個(gè)士兵的殺傷率 c = ry py ry射擊率射擊率 py 命中率命中率 py=sry /sx sx 甲方活動(dòng)面積甲方活動(dòng)面積 sry 乙方射擊有效面積乙方射擊有效面積 29優(yōu)選課堂 )(ty cm 0 dm)(tx 0m 0m 0m 游擊戰(zhàn)爭(zhēng)模型游擊戰(zhàn)爭(zhēng)模型 00 )0(,)0(yyxx dxyy cxyx 0

24、0 dxcym mdxcy 乙方勝 時(shí) 000yxm yryy xrxx ssr ssr c d x y 0 0 線線 性性 律律 模模 型型 甲方勝 0m 平局 0m c d dx dy 30優(yōu)選課堂 )(ty )(tx 0 乙方勝, 0n 平局, 0n 甲方勝, 0n 00 )0(,)0(yyxx bxy cxyx 混合戰(zhàn)爭(zhēng)模型混合戰(zhàn)爭(zhēng)模型 甲方為游擊部隊(duì)，乙方為正規(guī)部隊(duì)甲方為游擊部隊(duì)，乙方為正規(guī)部隊(duì) 0 2 0 2 2 2 bxcyn nbxcy 0 2 0 0 2 cx b x y 乙方勝 0n 100)/( 2 00 xy 0 2 0 0 2 xsr spr x y ryy xxx

25、乙方必須乙方必須10倍于甲方的兵力倍于甲方的兵力 設(shè)設(shè) x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2) 31優(yōu)選課堂 再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與 非再生資源（礦業(yè)等）非再生資源（礦業(yè)等） 再生資源應(yīng)適度開發(fā)再生資源應(yīng)適度開發(fā)在持續(xù)穩(wěn)在持續(xù)穩(wěn) 產(chǎn)前提下實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。產(chǎn)前提下實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。 問題問題 及及 分析分析 在在捕撈量穩(wěn)定捕撈量穩(wěn)定的條件下，如何控的條件下，如何控 制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。 如果使捕撈量等于自然增長(zhǎng)量，如果使捕撈量等于自然增長(zhǎng)量，漁漁 場(chǎng)魚量將保持不

26、變場(chǎng)魚量將保持不變，則捕撈量穩(wěn)定。，則捕撈量穩(wěn)定。 背景背景 4 最優(yōu)捕魚問題 32優(yōu)選課堂 Ex N x rxxFtx)1()()( )1()()( N x rxxftx )()()(xhxfxF記 產(chǎn)量模型產(chǎn)量模型 假設(shè)假設(shè) 無(wú)捕撈時(shí)魚的自然增長(zhǎng)服從無(wú)捕撈時(shí)魚的自然增長(zhǎng)服從 Logistic規(guī)律規(guī)律 單位時(shí)間捕撈量與漁場(chǎng)魚量成正比單位時(shí)間捕撈量與漁場(chǎng)魚量成正比 建模建模 捕撈情況下捕撈情況下 漁場(chǎng)魚量滿足漁場(chǎng)魚量滿足 不需要求解不需要求解x(t), 只需知道只需知道x(t)穩(wěn)定的條件穩(wěn)定的條件 r固有增長(zhǎng)率固有增長(zhǎng)率, N最大魚量最大魚量 h(x)=Ex, E捕撈強(qiáng)度捕撈強(qiáng)度 x(t) 漁

27、場(chǎng)魚量漁場(chǎng)魚量 33優(yōu)選課堂 一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 ) 1 ()(xFx 一階非線性（自治）方程一階非線性（自治）方程 F(x)=0的根的根x0 微分方程的微分方程的平衡點(diǎn)平衡點(diǎn) 0 0 0 xxx xx 設(shè)設(shè)x(t)是方程的解，若從是方程的解，若從x0 某鄰域的任一初值出發(fā)，某鄰域的任一初值出發(fā)， 都有都有,)(lim 0 xtx t 稱稱x0是方程是方程(1)的的穩(wěn)定平衡點(diǎn)穩(wěn)定平衡點(diǎn) 不求不求x(t), 判斷判斷x0穩(wěn)定性的方法穩(wěn)定性的方法直接法直接法 )2()( 00 xxxFx(1)的近似線性方程的近似線性方程 )1 (),2(0)( 00 對(duì)穩(wěn)定xxF )1 (),2(0)( 00 對(duì)不穩(wěn)定xxF 34優(yōu)選課堂 0)(xF 0),1 ( 10 x r E Nx ErxFrExF)(,)( 10 產(chǎn)量模型產(chǎn)量模型 Ex N x rxxFtx)1 ()() ( 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn) 穩(wěn)定性判斷穩(wěn)定性判斷 0)(, 0)( 10 xFxFrE 0)(, 0)( 10 xFxFrE x0 穩(wěn)定穩(wěn)定, 可得到穩(wěn)定產(chǎn)量可得到穩(wěn)定