行列式知識(shí)點(diǎn)匯總

1、行列式矩陣ka11ka21卅k*n1*21*11IIII*n1*12*22HI*n2IIIIHIIIIH*1n*2nIII*nnII， I kA I =k*11k*21IHk*n1k*12k*22IIIk*n2IIIIIIHIIIIk*1nk*11k*2nk*nn= knlAk*21k*m*12*22川*n2IIIIIIIII121n1k*12 川 k*22 l|lIII III k*n2 IIIk*1n k*2nHIk* nn J*11*12III*1n*11*12III*1nj*111*12III*1n*21 + b21*22 + b22III*2n + b2n*21*22III1*2n4

2、 -4-b21b22IIIb2nIIIIIIIIIIH ?.IIIIIIIII1 IIIJ出IIIIIIIII*n1*n2III*nn,*n1*n2HIV*nn1*n1*n2III*nnA*11+ b11*12 + b12III*1n +b1n *11*12III*1n ”bnb12IIIbm*21+ b21*22 + b22III*2n +b2n |_*21*22III*2nb21b22IIIb2nA =+IHIIIIIIIIIIIIIIIIIIHIIIIIIIIIIHIL*m1+ bm1*m2 + bm2卅*mn +bmn / *m1*m2III*mn bm1bm2HIbmn Jn階行列式

3、中，共有 n!項(xiàng)，其中正、負(fù)各一半，右負(fù)項(xiàng)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，必有n - 4伴隨矩陣M ij為aij的余子式，Ay = (-1廠M耳為aij的代數(shù)余子式;k=i r a A JA k =ajk Aji -0 k = i jn元n階非齊次線性線性方程組:即AX = B當(dāng)|A|式0有且僅有唯一解 Xj = A j / Aa11x1川-ainXn=b1*21X i*22X2a2nXnllllllllllllllllll二 b2其中an1Xian2X2HI - annXnbn*11*12bjl!*21*22b2川IIIIIIIII*n1*n2bnH!aina2nIIIIannAj*11*12III*1n廣An

4、A21IIIAn1*21*22III*2nnAA12A22IIIA n2IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII、*n1*n2III*nn丿;A 1nA2nIIIA nn丿A -(Aj為的代數(shù)余子式)nr(A) = n(1) aN=aa JAE -A可逆、A -1 A A =11IA r(A *) = 1r(A) = n 10r(A) v n-1f* b*n A =rd -b=A-1=12Jc d丿l-c * 丿*d-bs-c * 丿(5) A=耳1 X1*21 Xian1X1n元n階齊次線性線性方程組:ai2X2 川 ainXn a22X2 III a2nXn lllllllllll

5、lllllll*.2X2川 annXn=0=0=0(1 )齊次線性方程組有非零解的充分必要條件：A =0(2)如果 A式0，齊次線性方程組只有唯一的零解(AA*n-1(kA) = k A(A* )T =(AT)*(A B)唄A01B0J代 ia0bJa|=|a2(AB )* = BA*(A)*=|An-2A轉(zhuǎn)置矩陣及對(duì)稱矩陣1范德蒙行列式a1f卡 *n-1a1*2川n 4*2III*nn-1 *n=(*j - 4 ) 1vj _n(AB)T=BTAT , A為對(duì)稱矩陣= A =A ; A為反對(duì)稱矩陣= aT=-A=階數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，| A = 0A和B均為對(duì)稱矩陣， AB為對(duì)稱矩陣的充要條件：A

6、B=BAA為正交矩陣時(shí)=A*也為正交矩陣；A為對(duì)稱矩陣時(shí)= A*也為對(duì)稱矩陣；Tn 1A為反對(duì)稱矩陣時(shí) =(A ) =(-1) A =A階數(shù)n為奇數(shù)，A為對(duì)稱矩陣；n為偶數(shù)時(shí)，A為反對(duì)稱矩陣 A0 = E ； AO (k - 1)時(shí)不一定有 A =0矩陣A=（a j）n n可逆的充分必要條件：A 0 （A為非奇異矩陣）（可逆矩陣一定是方陣）（AB）-1二B-1A-1（2）（KA）-1=Ka-1(3) A可逆(AT)-1=(A-1)T分塊矩陣A-1A-1A-1A-1-1 -1-A BDD-1oD-1(-1)mn |a|bfoACA-1A-1A-1-D-1CA-1Q1 。丿0、D-1/A1A- 1

7、1、/ -、A2-1A-12印A =”n A =r，a2At J、A；丿準(zhǔn)對(duì)角矩陣1a2Z10 0x1 0 0Z10 0X-1 0 0X5 0 0r1 0 0A0 1 0=0 1 00 0 1=0 0 150 k 0=0-0kK 0 1；l-k 011 1 0；3 1 0丿n= r(AB)蘭minr(A),r(B) (5) A,B 均為 n 階方陣 n r(AB) r(A) +r(B) n(6) A為m漢n矩陣，B為n矩陣，當(dāng)AB = 0時(shí)，r(A) + r(B)蘭n n為A的列數(shù)(7) r(A) +r(B) r(A+B)，當(dāng) A+B=kE = r(A) + r(B) n由 r(AB) W m

8、in1；(3)若 A 可逆二 r(AB)=r(B)，若 B 可逆二 r(AB)=r(A)AB型bnbi2川 ds b21b22山b2snnnAB =(W ,C2 ,川叫)=(bi1%,為 02,川為 bisW)II!IllIIIIIIimimimbMS2 川 bns 丿表示AB的列向量組可由 A的列向量組線性表示二r(AB) r(A)AB 0表示B的列向量是齊次線性方程組 AX - 0的解AB =0 ( A 和 B 均非零矩陣)二 r(A) +r(B)蘭 n 二 r(A) c n，r(B) c n=A的列秩nA的列向量線性相關(guān)，B的行秩nB的行向量線性相關(guān)等價(jià)A三B(1)向量組與它的極大無(wú)關(guān)組

9、等價(jià)；(2 )向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組之間等價(jià)；(3)兩個(gè)等價(jià)的線性無(wú)關(guān)的向量組所含的向量的個(gè)數(shù)相冋向量組C( 102川0s可由向量組優(yōu)2,川戸線性表示，則何化川皿)蘭汕1見川P)向量組3 12川卩t可由向量組4 102川尹$線性表示，則(九叭,山,片)蘭(02川s) 今r(A) = r(B)斗AmBAB =0= AB =人(忙沖2,11沖n )=(人為人駡,川人札)=(0,01丨,0)= A0孑 叭是方程組AX =O的解二(匕見川卩n r(A)A和B為任意兩個(gè)非零矩陣，AB 0= A的列向量線性相關(guān)，B的仃向量線性相關(guān)A為mn矩陣，B為n匯m矩陣，當(dāng)AB=E=A的行向量線性無(wú)關(guān)，B的列向量

10、線性無(wú)關(guān)線性方程組AX = B 有解二 r(A)=r(A)(1) r(A)=r(A)= r =n 唯一解；(2) r(A)=r(A)= r n無(wú)窮多個(gè)解；(3) r(A)式 r(A) 無(wú)解AX =B，其中設(shè) A=(G102 川,叫)，X=(X1,X2,IH,Xs)T，B = (012,IH,0s)方程組有解二(1) r(A)=r(A|B)等同化川化尸(化川“ s|匕臭山邑)(2)P idJIlBs可由a iS川,5線性表示(Xi/川,Xs類似系數(shù)ki,k2|,ks)齊次線性方程組AX =0(1) r(A)= r = n 僅有零解；(2) r(A)= r n無(wú)窮多個(gè)解(包括零解)n如果方程的個(gè)數(shù)

11、 未知量的個(gè)數(shù)，即 A的行數(shù) 列數(shù)二AX = 0必有非零解A是mS矩陣,AX = 0有非零解二r(A)= r n 二A的列向量線性相關(guān)A列向量組線性無(wú)關(guān)二AX =0只有零解；A行向量組線性無(wú)關(guān) n A 列向量組線性無(wú)關(guān)二 A X = 0只有零解r(A)=r(A T )=r(AA T)，若 AAT 列向量=r(A)二 AA TX =0只有零解設(shè)厲i%,川Qs線性無(wú)關(guān)，%芒2,川,化可以由Ct i02川型s線性表示，且(Bi#2川,Bs)=(眄彈2川0s)A n Pi2lls線性無(wú)關(guān)的充要條件是|A0如果口 Z2川0S是AX =0的基礎(chǔ)解系，要使 為*2，川占s也是AX =0的基礎(chǔ)解系U ,02川

12、，0s線性無(wú)關(guān)，且 Pi,02ll,0s 可由。iSHWs 線性表示，即 r(ai,CC2,lii，as)= r(ot i,a 2,111 Qs 為嚴(yán)2川，B s)向量目可以表為向量組00 2“ 0 s的線性表示法唯一的充分必要條件：G仆。2,11 ,Gs線性無(wú)關(guān)向量組a i,0(2，川,Gs線性無(wú)關(guān)，而向量組 ,0(2川0s,B線性相關(guān)二 向量B可以表為向量組Oti, a 2川，G s線性組合如果ni?12ILns為AX =0的解向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，則稱*1,口2，川4s為該方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系只有當(dāng)齊次線性方程組 AX =0存在非零解時(shí)，才會(huì)存在基礎(chǔ)解系A(chǔ)X = 0中系數(shù)矩陣A的秩r(

13、A)= r 1, 2川2n可以表示任一個(gè)n維向量二1,2,|l（Cn與；1, ；2,川，；n等價(jià) =，1,2,|l（,n線性無(wú)關(guān)充分必要條件：:j,2,|l（,可表示任一個(gè)n維向量 向量可以表為向量組：1/-2L-s的線性組合的充分必要條件：s元非齊次線性方程組有解向量組1,2l（,s的極大無(wú)關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)，為該向量的秩，記 r（1,2l（ Cs）向量組1,2l（,s線性無(wú)關(guān)=r（1,2l（ ,s） =SJ1,2,lH,s：r（ 12,s） = r12川s）（兩個(gè)向量組等價(jià)，則兩個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)相等）惻 0川叫I =0= a = 0; H ka| = klUT Ct非零向量

14、化為單位向量或標(biāo)準(zhǔn)化向量的方法:10(II |施密特正交化方法向量組1,2l|,s線性相關(guān)二s元齊次線性方程組有解； 向量組：12L ：s線性無(wú)關(guān)二 s元齊次線性方程組僅有零解 在Rn中向量組 冷，2l（,s的線性相關(guān)的充分必要條件：2,川/ s中至少有一個(gè)向量可以表為其他向量的線性組合設(shè)是Rn中的一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組，令a TB a TP：3132 3- 3: T ：1 X T ：21 1 2 2兩個(gè)向量線性相關(guān)的充要條件：對(duì)應(yīng)元素成比例向量組：-1/-2 JU : s的線性無(wú)關(guān)rj = （a1j,a2jLanj）T ，若將該向量組的每一個(gè)向丄 T |.;.二s1s 一 - s 一 ： T

15、：111* T |- 二s 二2:T ：2 -2 2：ss-1:丁 s-1 s-1- 1 , -21（, -s是一個(gè)正交向量組，且Rn中的幾個(gè)向量：宀,，：“滿足：（1 ） 1,2川n中任意兩個(gè)向量都正交（2 4- j即:at=1=稱二12，二n為Rn的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基A 十121( ? n)，r t、a1+/n AtA =+1 1 T21Tntt1a a 2T:-22Tana25時(shí)T2an1,2,川n為標(biāo)準(zhǔn)正交基，A為正交矩陣量都增加m個(gè)分量，得到向量組： 行）Rn中的任意n+1個(gè)向量一定線性相關(guān)矩陣特征值和特征向量相似矩陣與矩陣可對(duì)角化設(shè)A為n階矩陣，如果對(duì)于數(shù) 妬，存在非零列向量Rn，使得

16、Aa =，則稱 打?yàn)锳的一個(gè)特征值，口為A的屬于特征值 人0的特征向量相似設(shè)A、B為n階矩陣，如果存在一個(gè) n階可逆矩陣P,使得P AP=B=矩陣A與B相似，記AL B 性質(zhì)：（1）（反身性）aL A （2）（傳遞性）aL B，bL C = aL C設(shè)A=(a j)為n階矩陣，貝U 0為A的特征值，：為A的屬于特征值0的特征向量的充 分必要條件：(1) -0為特征方程 卜E-A| 0根；(2) :為齊次線性方程組(，0E-A)X=O非零解 (1 )設(shè)o是A的一個(gè)特征值=是A2的一個(gè)特征值Xo對(duì)應(yīng)的特征向量與其他特征值胡是Am的一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量也相同1/打是A-1的一個(gè)特征值注：Am的特

17、征向量不一定是 A的A |/珀是A*的一個(gè)特征值丿特征向量(2) 設(shè)A是n階矩陣=A與AT有相同的特征值二.特征向量不一定相同AL B= AtL BT,AmLI Bm ； IA =|B，r(A) =r(B) ； 當(dāng) A 可逆時(shí),ABL BAu A(AB)A= BAA-1L B-1 相似矩陣都可逆或都不可逆 ； A，B具有相同特征值卩E-A=pE-B A、B有相同特征值,A和B不一定相似 f (A) J f (B) , |f(A)| =|f (B)(其中：f (A)為 n 階方陣 A 的多項(xiàng)式)AL B，CL D二(1) A是實(shí)對(duì)稱矩陣,B為對(duì)角矩陣，若aL B= A = B ；( 2 ) aL

18、 B,且B是實(shí)對(duì)稱矩陣=A與B有相同秩和特征值，且A也是實(shí)對(duì)稱矩陣(2) A經(jīng)過(guò)行的初等變換變?yōu)锽,則A的行向量組與B的行向量組等價(jià)B= PAA經(jīng)過(guò)列的初等變換變?yōu)锽,則A的列向量組與 B的列向量組等價(jià)B= AQ; A和B行列向量組都等價(jià) = A三B(3)相似矩陣的特征向量是不一樣的若為A的特征向量，A L B=B的特征向量是P J：(4)n階矩陣A可逆的充分必要條件：它的任一特征值不等于零設(shè)A是n階矩陣，dll m是A的m個(gè)不同的特征值，1,|1(：韋分別是A的屬于ilm的特征向量=川：韋線性無(wú)關(guān)特征值和特征向量求矩陣:A1，2，川，S 乂11，22，1山人)=A =(1, 22，川，人)12,lH,n n矩陣A的所有特征值之和等于 、aiii勻1+2 V m =a11 a22 V ann ；矩陣a的所有特征值之積等于|a|M2IMm = a|(若A不可逆=0是A的特征向量)(n階矩陣A可逆的充分必要條件：它的任一特征值不等于零)(1)實(shí)對(duì)稱矩陣A的屬于不冋特征值的特征向量相互正交；實(shí)對(duì)成矩陣對(duì)角化方法：(2)實(shí)對(duì)稱矩陣必可對(duì)角化，即aL a(1)求特征方程| AE A=0的根扎1,幾2川，兀n ；(3) n階實(shí)對(duì)稱矩陣A，則存在正交矩陣 Q,(2)每個(gè)特征值 九i，解齊次線性方程組 仇iE-A)X-0的基礎(chǔ)解系；使得Q-1AQ成為對(duì)角矩陣二Q-