函數(shù)最值問題解法探討畢業(yè)論文

1、 本本 科科 畢畢 業(yè)業(yè) 論論 文文 題 目 函數(shù)最值問題解法探討 院 別 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專 業(yè) 信息與計(jì)算科學(xué) 指導(dǎo)教師 評(píng)閱教師 班 級(jí) 2008級(jí)4班 姓 名 學(xué) 號(hào) 2012年5月12日 目目 錄錄 摘 要 abstract 1 引 言 1 2 求函數(shù)最值的幾種解法探 討 1 2.1 判別式 法 1 2.2 配方 法 2 2.3 均值不等式 法 3 2.4 換元 法 3 2.5 三角函數(shù) 法 4 2.6 單調(diào)性法 4 2.7 導(dǎo)數(shù) 法 5 3 求解函數(shù)最值時(shí)應(yīng)注意的一些問 題6 3.1 注意定義 域 6 3.2 注意值 域 6 3.3 注意參變數(shù)的約束條 件 7 3.4 注意對(duì)判

2、別式的運(yùn) 用 7 3.5 注意均值不等式的運(yùn) 用 8 4 函數(shù)最值在實(shí)際問題中的應(yīng) 用 9 結(jié)束 語(yǔ) 12 參考文 獻(xiàn) 13 摘 要：函數(shù)最值問題是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的重要研究?jī)?nèi)容.它不僅僅只在教學(xué)中解決 一些數(shù)學(xué)問題，而且經(jīng)常運(yùn)用于解決實(shí)際問題.在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)管理和經(jīng)濟(jì)核算中， 常常遇到一些解決在滿足一定條件下怎樣使產(chǎn)出最多、效益最高但投入最小等之類的問 題.生活中也時(shí)常會(huì)見到求用料最省、效率最高、利潤(rùn)最大等問題.而這些生活和經(jīng)濟(jì)問 題一般都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的函數(shù)類問題來分析研究，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最大（?。┲?的問題，即為函數(shù)的最值探討，這尤其對(duì)研究實(shí)際問題的人們來說尤為重要.而函數(shù)最 值問題的

3、解法包括一元函數(shù)和多元函數(shù)，同時(shí)也有初等與高等解法之分.本文主要通過 從初等解法方面對(duì)一元函數(shù)最值問題進(jìn)行研究，探討各種不同的求解方法，闡述函數(shù)最 值問題研究的重要性，得到求解函數(shù)最值的幾種方法及求解時(shí)應(yīng)注意的一些問題. 關(guān)鍵詞：函數(shù)；最值；高等解法；初等解法；微分 abstract: the most value problem is mathematical functions in the field of important research content. it not only in the teaching solving mathematical problems, and

4、often used in solving practical problems. in the industrial and agricultural production, economic management and economic accounting, often encountered some solutions to meet certain conditions in how to produce the greatest, benefit highest but investment issues like the minimum. life also often se

5、e for the most provinces, the highest efficiency and materials, such as maximum profit. and these life and economic problems generally can be transformed into the function in the mathematics problem for analysis and study, and then into the biggest (small) for function of the values of the problem i

6、s one of the most value function, this paper this especially for research of practical problems people is especially important. and the most value problem of solution function including a yuan function and multiple function, at the same time also have elementary and higher solution of the points. th

7、is paper mainly through elementary method to a from of most value of a circular function to research function, this paper discusses the solution of all kinds of different methods, including the most value function of importance, and get the most value solve the function of several methods and solvin

8、g some problems that should be paid attention to. key words: functions; the most value; higher solution; elementary method; differential 1 引言 函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容，貫穿于整個(gè)中學(xué)階段，而函數(shù)最值問題是函數(shù)的重要 組成部分處理函數(shù)最值的過程就是實(shí)現(xiàn)未知向已知、新問題向舊問題以及復(fù)雜問題向 簡(jiǎn)單問題的轉(zhuǎn)化，雖然解決問題的具體過程不盡相同，但就其思維方式來講，通常是將 待解決的問題通過一次又一次的轉(zhuǎn)化，直至劃歸為一類很容易解決或已解決的問題，從 而獲得原問

9、題的解答1 函數(shù)最值問題是一類特殊的數(shù)學(xué)問題，它在生產(chǎn)、科學(xué)研究和日常生活中有著廣泛 的應(yīng)用，而且在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中也占據(jù)著比較重要的位置，是近幾年數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的常見 題型也是歷年高考重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)之一由于其綜合性強(qiáng)，解法靈活，故而解決這類 問題，要掌握各數(shù)學(xué)分支知識(shí)，并能綜合運(yùn)用各種所學(xué)知識(shí)技巧，靈活選擇合適的解題 方法2 函數(shù)最值的定義： 一般地，函數(shù)的最值分為最小值和最大值:設(shè)函數(shù)在處的函數(shù)值是 yf x 0 x 0 f x 如果對(duì)于定義域內(nèi)任意，不等式都成立，那么叫做函數(shù)x 0 f xf x 0 f x 的最小值，記作； yf x min0 yf x 如果對(duì)于定義域內(nèi)任意，不等式都成立，

10、那么叫做函數(shù)x 0 f xf x 0 f x 的最大值，記作. yf x max0 yf x 函數(shù)的最值一般有兩種特殊情況： （1）如果函數(shù)在上單調(diào)增加(減少)， 則是在上的最小值 0 ()f x , a b( )f a( )f x , a b (最大值)，是在上的最大值(最小值).( )f b( )f x , a b （2）如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)極大(小)值，而沒有極小(大)值， 0 ()f x( , )a b 則此極大(小)值就是函數(shù)在區(qū)間上的最大(小)值. , a b 2 求函數(shù)最值的幾種解法探討 2.1 判別式法 對(duì)于某些特殊形式的函數(shù)的最值問題，經(jīng)過適當(dāng)變形后，使函數(shù)出現(xiàn)在

11、一個(gè)有( )f x 實(shí)根的一元二次方程的系數(shù)中，然后利用一元二次方程有實(shí)根的充要條件來求出0 的最值3.( )f x 例例. . 求函數(shù)的最值. 2 (0)yaxbxc a=+ 解：解：因?yàn)?，所以?2 (0)yaxbxc a=+ 2 ()0axbxcy+-= 而，所以有xr 22 4 ()0440ba cybacayd=-+ 2 44ayacb- 2 min 2 max 4 0y 4 4 0 4 acb a a acb ay a - - 2 min 4 y 4 acb a - 當(dāng)時(shí)，.0a 0d= 成立.因此，在利用求出的的取值范圍：或且中，不能0dyaybyb()ya ab 隨意斷定或 ，

12、還必須求出與、對(duì)應(yīng)的的值，并將其 minmax ,ya yb= minmax ,yb ya=abx 代入原來的函數(shù)中進(jìn)行驗(yàn)算，只有當(dāng)、的對(duì)應(yīng)值存在,并滿足所求得的不等式時(shí)，xy0d 才能確定為原來函數(shù)的最值. 2.2 配方法 如果給定函數(shù)是二次函數(shù)或變形后可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題，一般可用此法求解. 例例. . 求在區(qū)間內(nèi)的最值. 2 ( )23 4 xx f xa 1,0 解：解：配方得, 22 24 ( )23 43(2) 33 xxx f x a 因?yàn)?所以，從而當(dāng)即，取得最大值；當(dāng) 1,0 x 1 21 2 x 2 2 3 x 2 2 log 3 x ( )f x 4 3 即時(shí)取得最小值

13、1.21 x 0 x ( )f x 2.3 均值不等式法 設(shè)是n個(gè)正數(shù)，則有，其中等號(hào)成立的條件是 12n aaa， ， 12 12 + n n n aaa a aa n . 12 = n aaa 運(yùn)用均值不等式求最值，必須具備三個(gè)必要條件，即一正二定三等，缺一不可.“正” 是指各項(xiàng)均為正數(shù)，這是前提條件；“定”是指各項(xiàng)的和或積為定值；“等”是等號(hào)成 立的條件4. 例例. . 設(shè)，求的最大值.0 q psin(1+cos) 22 qq 解：解：由，有.0 0 2 q 又因?yàn)閟in(1+cos) 22 qq 2 =2sincos 22 qq 222 = 2 2sincoscos 222 qqq

14、3 222 2sin+cos+cos 222 2 3 qqq 4 3 = 9 其中當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立，即時(shí)成立，故 22 2sin=cos 22 qq =2cot2arcq 的最大值為.sin(1+cos ) 2 q q 4 3 9 2.4 換元法 用換元法求函數(shù)最值，就是根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的特點(diǎn)，把某一部分看做一個(gè)整體或用 一個(gè)新變?cè)獊泶妫_(dá)到化繁難為簡(jiǎn)易，化陌生為熟悉，從而使原問題得解. 例例. . 求函數(shù)的最值. 2 =2+ 4y xx- 解：解：因?yàn)椋唇o定函數(shù)的定義域?yàn)椋? 2 4022xx- - 2,2- 于是令 ，.2sinxq=, 2 2 p p q- 則給定函數(shù)可變形為: 2

15、2sin24(2sin )yqq=-+- 2sin2cos2qq=+- 2sinsin()2 2 p qq=+- 2 2sincos()2 44 pp q= -+- 2 2cos()2 4 p q=- 2 2sin()2 24 pp q=- 2 2sin()2 4 p q=+- 而. 3 , 224444 2 pppppp p qq- -+ - 又因在是增函數(shù)，所以其最值在端點(diǎn)處取得.sin() 4 p q+, 4 2 p p - 2.5 三角函數(shù)法 如果給定函數(shù)，經(jīng)變形后能化成：或（、是 sin()yaxbq=+cos()yaxbq=+ ab 常數(shù)）的形式，則由或 sin()1xq+cos(

16、)1xq+ 可知：當(dāng)或時(shí)，（設(shè)） 2 2 xk p pq=+- 2xkpq=-max yab=+ 0a 當(dāng)或時(shí)，（設(shè)） 2 2 xk p pq=- (21)xkpq=+- max yab=-+ 0a 例例. . 求函數(shù)的最大值.sin cossincosyxxxx=+ 解：解：因?yàn)?sin cossincosyxxxx=+ 1 sin2sinsin() 22 xxx p =+- 1 sin22sincos() 244 xx pp =+- 1 sin22cos() 24 xx p =+- 當(dāng)時(shí)，；22() 24 xkxkkz pp pp=+=+ max (sin2 )1x= 當(dāng)時(shí)，,() 4 x

17、kkz p p=+cos()cos()cos1 444 xkk ppp pp-=+-= 即，所以，當(dāng)時(shí)，. max cos()1 4 x p -= 4 xk p p=+ max 1 2 2 y=+ 2.6 單調(diào)性法 當(dāng)自變量的取值范圍為一區(qū)間時(shí)，有時(shí)也用單調(diào)性法來求函數(shù)的最值在確定函數(shù) 在指定區(qū)間上的最值時(shí)，首先要考慮函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的單調(diào)情況若函數(shù)在整個(gè)區(qū)間 上是單調(diào)的，則該函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)上取得最值若函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上不是單調(diào)的，則把 該區(qū)間分成各個(gè)小區(qū)間，使得函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間上是單調(diào)的，再求出各個(gè)小區(qū)間上的最 值，從而可以得到整個(gè)區(qū)間上的最值5 例例. . 設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，對(duì)任意、均有關(guān)系，

18、若( )f xxyr()( )( )f xyf xf yx 時(shí)，且求在上的最大值和最小值.0( )0f x (1)2f ( )f x3,3 解：解：先確定在上的單調(diào)性，設(shè)任意、且，則( )f x3,3 1 x 2 3,3x 12 xx . 21 0 xx 所以有 212121 ()()()()()0f xf xf xfxf xx 即. 21 ()()f xf x 所以，在上是減函數(shù).( )f x3,3 因此，的最大值是;( )f x( 3)(3)(2 1)fff (1)(1)(1)6fff 的最小值是.( )f x(3)3 (1)6ff 2.7 導(dǎo)數(shù)法 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，則在上的最大值

19、和最小( )f xab，()ab，( )f xab， 值為在內(nèi)的各極值與，中的最大值與最小值( )f x()ab，( )f a( )f b 要求三次及三次以上的函數(shù)的最值，以及利用其他方法很難求的函數(shù)式的最值，通 常都用該方法導(dǎo)數(shù)法往往就是最簡(jiǎn)便的方法，應(yīng)該引起足夠重視 例例. . 求函數(shù)，的最大值和最小值 32 ( )362f xxxx=-+- 1 1x- ， 解：解：求導(dǎo)得. 2 ( )366fxxx =-+ 令，方程無(wú)解.( )0fx = 因?yàn)?，所以函?shù)在上時(shí)增函數(shù). 22 ( )3663(1)30fxxxx =-+ =-+ ( )f x 1 1x- ， 故 當(dāng)時(shí)，;1x =- min(

20、 ) ( 1)12fxf=-=- 當(dāng)時(shí)，.1x = max( ) (1)2fxf= 綜上可知，函數(shù)最值問題內(nèi)涵豐富，解法靈活.沒有通用的方法和固定模式，在解題 時(shí)要因題而異，而且上述介紹的幾種求解方法也并非彼此孤立，而是相互聯(lián)系、相互滲 透的，有時(shí)一個(gè)問題需要多法并舉，互為補(bǔ)充，有時(shí)一個(gè)題目又會(huì)有多種解法，函數(shù)的 最值解題方法是靈活多樣性的，除了以上講的，還有很多種方法，如：消元法、數(shù)形結(jié) 合法、復(fù)數(shù)法、幾何法、待定系數(shù)法、萬(wàn)能公式法等等.因此，解題的關(guān)鍵在分析和思考， 因題而異地選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，減少解題時(shí)間 3 求解函數(shù)最值時(shí)應(yīng)注意的一些問題 3.1 注意定義域 遇到求最值問題的時(shí)候，我

21、們切記在求解的過程當(dāng)中，要注意觀察定義域的變化情 況， 在最初解題之時(shí)，應(yīng)當(dāng)先把函數(shù)的定義域確定；在解題過程中，當(dāng)函數(shù)變形時(shí)注意定義 域是否發(fā)生改變，如果又引入新變量也要確定這個(gè)變量的取值范圍，以免在后面的求解 過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤；在解題結(jié)束時(shí)，必須檢驗(yàn)所求得的使函數(shù)取得最值的自變量是否包含 在定義域的范圍內(nèi) 例例. . 求函數(shù)的最值. 1 2 x y x - = - 錯(cuò)解：錯(cuò)解：將兩邊同時(shí)平方并去分母得. 1 2 x y x - = - 2222 (41)410y xyxy-+-= 因?yàn)椋裕?jiǎn)得.xr 2222 (41)4(41)0yyyd=- 2 41y 所以，故，. 11 22 y-

22、min 1 2 y=- max 1 2 y= 分析：分析：這個(gè)答案致錯(cuò)原因是兩邊平方及去分母，使函數(shù)的定義域擴(kuò)大了. 正解：正解：將兩邊平方并去分母，得. 1 2 x y x - = - 2222 (41)410y xyxy-+-= 因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得.xr 2222 (41)4(41)0yyyd=- 2 41y 所以，注意到原函數(shù)的定義域是，則有，于是必有 11 22 y-1x 10 x-20 x-0y 原函數(shù)最小值.最大值由前面分析可知即為. min 0y= 1 2 3.5 注意均值不等式的運(yùn)用 注意當(dāng)且僅當(dāng)這些正數(shù)相等時(shí)，它們的積(和)才能取大(小)值. 1 例例. . 求函數(shù)的最小值.

23、 2 3 (0)yxx x =+ 錯(cuò)解：錯(cuò)解：因?yàn)?，所以，于? x 2 0 x 1 0 x 2 0 x 222 3 3121 2 3yxxx xxxx x =+=+a a 3 3 2= 所以的最小值是.y 3 3 2 分析：分析：上面解法錯(cuò)誤，是沒有注意到當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)才能取得最小值， 2 12 x xx =y 但顯然不等于，所以不能取. 1 x 2 x y 3 3 2 對(duì)均值不等式中等號(hào)成立的條件生搬硬套 2 例例. . 已知，且，求的最小值，并求的最小值時(shí)的，, ,x y zr+ 123 1 xyz +=xyzxyzx ，的值.yz 錯(cuò)解：錯(cuò)解：因?yàn)?，所以? ,x y zr+ 123

24、 r xyz + + 3 3 3 1231 2 36 1330 xyzx y zxyz =+=a a 從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)，又 3 3 1 3 6 xyz 3 3 3 6xyz 162xyz xyz= ，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值 162. 123 1 xyz +=6xyz=xyz 分析：分析：上面解法錯(cuò)誤，是對(duì)均值不等式中等號(hào)成立的條件沒有理解而直接套用的結(jié) 果，事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，不等于 162.正確的解法是：在，6xyz= 3 6216xyz =162xyz 即中，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)成立，3 1231 2 3 3 xyzx y z +a a 1231 3xyz +=3x =6y =9z

25、 = 所以當(dāng)，時(shí)，有最小值 162.3x =6y =9z =xyz 連續(xù)進(jìn)行幾次不等式變形，并且各次不等式中的等號(hào)不能同時(shí)成立而造成的錯(cuò)誤 3 例例. . 已知，且，求的最小值., x yr+ 14 1 xy +=xy+ 錯(cuò)解：錯(cuò)解：因?yàn)?，所以，則，所以, x yr+ 2 1 41 14 0 2x yxy a 即當(dāng)時(shí)取最小值，求得，符合題意.所以最小值為 9. 4 1 1 x x -= - 3x =6y = 4 函數(shù)最值在實(shí)際問題中的應(yīng)用 例例 1.1. 某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方形無(wú)蓋儲(chǔ)水池，其容積為 4800，深為，如果池 3 m 3 3m 底每平方米的造價(jià)為 150 元，池壁每平方米的造價(jià)為

26、120 元,怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最 低？最低總造價(jià)是多少？ 分析：分析：從題中分析可以得出，水池高度已知，進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為求池壁的長(zhǎng)和寬的問 題，從而確定取什么值使總造價(jià)最低.即涉及到兩個(gè)變量，因?yàn)槌乇诘拈L(zhǎng)和寬不可能為負(fù) 數(shù)，由此我們可以想到利用均值不等式來求解. 解：解：設(shè)底面的長(zhǎng)為,寬為，水池的總造價(jià)為元.xmymz 根據(jù)題意有：，由容積為 4800 4800 150120(2 32 3 )240000 720() 3 zxyxy=+ =+ ，可得，因此，.由均值不等式與不等式的性質(zhì)，可得： 3 m34800 xy =1600 xy = 240000 720()240000 720 2xy

27、xy+ 即 .240000 720 2 16000z +297600= 當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以，將水池的地面設(shè)計(jì)成邊長(zhǎng)為 40的正方xy=40 xy=m 體時(shí)總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是 297600 元. 例例 2.2. 某工廠 2003 年的純收入為 500 萬(wàn)元，因設(shè)備老化等原因，工廠的生產(chǎn)能力將 逐年下降.如果不對(duì)技術(shù)進(jìn)行改造,從今年起預(yù)計(jì)每年將比上一年減少純收入 20 萬(wàn)元, 所 以今年年初該工廠為了進(jìn)行技術(shù)改造，一次性投入資金 600 萬(wàn)元，預(yù)計(jì)在未扣除技術(shù)改 造資金的情況下，第年（第一年從今年算起）的利潤(rùn)為萬(wàn)元（為正整數(shù)）.n 1 500(1) 2n +n 設(shè)從第一年起的前年，如果

28、該工廠不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純收入為萬(wàn)元，進(jìn)行技術(shù)n n a 改造后的累計(jì)純收入為萬(wàn)元（須扣除技術(shù)改造資金） ，則從今年起該工廠至少經(jīng)過多少 n b 年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純收入超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純收入？ 分析：分析：首先根據(jù)題意寫出、的表達(dá)式，可知它們都為數(shù)學(xué)上一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)列求和 n a n b 問題.繼而對(duì)它們作差就建立起一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，即轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的函數(shù)最值問題,再利 用合適的方法進(jìn)行求解即可. 解：解：依題設(shè)有(50020)(50040)+(50020 ) n an=-+-+- 2 49010nn=- . 2 111 500(1)(1)(1) 600 222 n n b =+-

29、 500 500100 2n n=- 則 2 500 (500100)(49010) 2 nn n bannn-=- 2 500 1010100 2n nn=+- . 50 10 (1)10 2n n n=+- 因?yàn)楹瘮?shù)在上位增函數(shù)，所以 50 (1)10 2x yx x=+-(0,)+ 當(dāng)時(shí)，；13n 5050 (1)1012100 28 n n n+- 所以，僅當(dāng)時(shí)，.即至少要經(jīng)過 4 年，該企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純4n nn ba 利潤(rùn)超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn). 例例 3.3. 某公司為資助尚有 26.8 萬(wàn)元無(wú)息貸款尚未償還的化妝品商店，借出 20 萬(wàn)元將 該店鋪改造成經(jīng)營(yíng)狀況

30、良好的某體育用品專賣店，并約好用該店賺取的利潤(rùn)逐步對(duì)債務(wù) 進(jìn)行償還(全部債務(wù)均不算利息)已知該體育用品的進(jìn)價(jià)為 40 元/件；該店月銷量(百q 件)與售價(jià)(元/件)之間的關(guān)系可用右圖(圖一)p 的一條折線表示；員工的月工資為 600 元/人，該 店還需交納的其他費(fèi)用為 13200 元/月 (1)若售價(jià)為 52 元/件時(shí)，該店正好收支平p 衡，求該店的員工有多少； (2)若該店只招聘了 40 名員工，則該店最快 可在幾年后把所有債務(wù)還清，此時(shí)每件體育用品 的價(jià)格定為多少元？ 分析：分析：由題中給出的圖可以看出，我們可以 把它看做是在閉區(qū)間上的一個(gè)分段函數(shù)問題，從而轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用函數(shù)圖象所表

31、 示的幾何意義，借助于幾何圖形的直觀性來求分段函數(shù)最值問題 解：解：(1)設(shè)該店的月利潤(rùn)為元，有職工名.則sm(40) 10060013200sq pm=- p q 1 60 24 405881 圖一 又由圖可知： 2140 (4058) 82 (5881) pp q pp - + = -+ 所以， ( 2140)(40) 10060013200 (4058) (80)(40) 10060013200 (5881) ppmp s ppmp - +- = -+- 由此知，當(dāng) 時(shí)，即，解得52p =0s =( 2140)(40) 100600132000ppm-+-= ，即此時(shí)該店有 50 名職工.50m = (2)若該店只安排 40 名職工，則月利潤(rùn) ( 2140)(40) 100