15導(dǎo)數(shù)與積分x

1、10高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)講義導(dǎo)數(shù)概念與運(yùn)算知識(shí)清單1 導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x0處有增量 x，那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量.y =f (x0+ x ) f(x o ),比值叫做函數(shù)y=f ( x )在x o到x o + x之間的平均變化率，即Z竺=f(xo f(xo)。如果當(dāng)x 0時(shí)，衛(wèi)有極限，我們就說(shuō)函數(shù) y=f(x)在點(diǎn)X。處可二xlxlx導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做f ( x)在點(diǎn)Xo處的導(dǎo)數(shù)，記作f ( Xo )或yl X兇。y v f (Xo X)- f (Xo)即 f (Xo) = lim =lim -。心T Ax ZAx說(shuō)明：(1) 函數(shù)f (x)在點(diǎn)Xo處可導(dǎo)，是指 X o時(shí)，

2、衛(wèi) 有極限。如果 衛(wèi)不存在極限，就說(shuō)LXLX函數(shù)在點(diǎn)xo處不可導(dǎo)，或說(shuō)無(wú)導(dǎo)數(shù)。(2) x是自變量x在xo處的改變量，= O時(shí)，而Ay是函數(shù)值的改變量，可以是零。 由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù) y=f (x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)的步驟(可由學(xué)生來(lái)歸納)：(1) 求函數(shù)的增量 y =f (xo + x) f (xo)；(2) 求平均變化率衛(wèi)=竺 X)-f(Xo)；ZZ(3) 取極限，得導(dǎo)數(shù)f (x o)= l|m。#。2. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f (x)在點(diǎn)p (xo，f (xo)處的切線 的斜率。也就是說(shuō)，曲線y=f (x)在點(diǎn)p (Xo，f (Xo)處的

3、切線的斜率是f(Xo)。相應(yīng) 地，切線方程為 y yo=f/ (Xo) (xXo)。3. 幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： C =o； xn =nxn；(sinx) =cosx;(cosx) =-sinx; 1 1(ex)=ex;(aX)=aX| na; In x 二一； logax = logae.xx4. 兩個(gè)函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則法則1:兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)，即：(u v) = U士v.法則2:兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)，加上第一個(gè) 函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即：(uv)uv uv.若C為常數(shù),則(Cu)二Cu Cu0 CuCu

4、.即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)：(Cu) Cu.法則3:兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積， 再除以分母的平方：u = u，v；uv，(廠0)。lv丿v形如y=f ；(x ) 1的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解一一求導(dǎo)一一回代。法則：yz I x = y7 I u uz | x10級(jí)高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)講義一一導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 知識(shí)清單1 單調(diào)區(qū)間：一般地，設(shè)函數(shù) y = f (x)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo),如果f(x)0，則f(x)為增函數(shù);如果f (x) :：: 0，則f (x)為減函數(shù);如果在某區(qū)間內(nèi)恒有f(x)=0,則f (x)為常數(shù);2 極點(diǎn)與

5、極值：曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為 0,極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0;曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率 為正，右側(cè)為負(fù)；曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正；3. 最值：一般地，在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在a，b上必有最大值與最小值。 求函數(shù)？ (x)在(a，b)內(nèi)的極值； 求函數(shù)？ (x)在區(qū)間端點(diǎn)的值？(a)、？(b); 將函數(shù)？ (x)的各極值與？(a)、？(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4. 定積分(1) 概念：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù)，用分點(diǎn)a = X0xivXi ixvXn= b把區(qū)間a，nb等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間x i,Xi上取任一點(diǎn)E (i =

6、 1,2,n)作和式I n= f ( Ei = 1i) x (其中 x為小區(qū)間長(zhǎng)度)，把門-即厶x T 0時(shí)，和式In的極限叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分，記作:ba f(x)dx ,bn即 f (x)dx = lim、 f (*a n_jpc. d 、i =1E i) x。這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間 被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式。 基本的積分公式：0dx = C;xmdx =丄xm 1 + C ( mE Q m- 1); m +11-dx= ln x + C; xex dx = ex + C;xaxdx = P C;ln acosxdx = s

7、in x + C;sin xdx = cosx + C (表中C均為常數(shù))。(2) 定積分的性質(zhì)bb kf (x)dx = k f (x)dx (k 為常數(shù));aabbb .f(x)_g(x)dx f(x)dx_. g(x)dx ;a, b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做aaabcb f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx (其中 a0) 圍成的曲邊梯的面積S=bf(x)dx。(不妨設(shè) f i(x) f2(X)0),及直線 x = a, x = b ( a1，求a的取值范圍。9. f(x) =x3 -3x2 2在區(qū)間1-1,11上的最大值是()和y=x?在它們交點(diǎn)處的兩條切線與x

8、軸所圍成的三角形面積x(A) 2(B)0(C)2(D)410. 設(shè)函數(shù) f(x)= 2x33(a1)x2 1,其中 a_1.(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(n)討論f(x)的極值。11. 設(shè)函數(shù)f (x) x3 3x 2分別在為、x2處取得極小值、極大值.xoy平面上點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分 別為(xfX)、(X2,f(X2),該平面上動(dòng)點(diǎn) P滿足PA?PB=4,點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于直線y=2(x 4)的 對(duì)稱點(diǎn).求(I) 求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；(II) 求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程.12. 請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為 3m的 正六棱錐(如右圖所示)。試問(wèn)當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中

9、心O1的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最 大？13. 計(jì)算下列定積分的值32(1) 丄(4x-x2)dx2 5(2) 1 (x -1)5dx ;(3) : (x sin x)dx;(4) cos2 xdx;214. (1) 一物體按規(guī)律x = bt3作直線運(yùn)動(dòng)，式中x為時(shí)間t內(nèi)通過(guò)的距離，媒質(zhì)的阻力正比 于速度的平方.試求物體由x=0運(yùn)動(dòng)到x二a時(shí)，阻力所作的功。(2)拋物線y=ax2 + bx在第一象限內(nèi)與直線x + y=4相切.此拋物線與x軸所圍成的圖 形的面積記為S.求使S達(dá)到最大值的a、b值，并求Smax.典型例題一導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算EG :如果質(zhì)點(diǎn)A按規(guī)律s=2t3運(yùn)動(dòng)，則在t=3 s時(shí)的瞬

10、時(shí)速度為()A. 6m/sB. 18m/sC. 54m/sD. 81m/s變式：定義在D上的函數(shù)f(x)，如果滿足：-xD， 常數(shù)M V,都有| f (x) | M成立，則稱f(x)是D上的有界函數(shù)，其中 M稱為函數(shù)的上界.【文】(1)若已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為S(t) at，要使在卜0 , ：)上的每一時(shí)刻的瞬時(shí)t +1速度是以M=1為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【理】(2)若已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為 S(t)、2t T - at，要使在t 0 , ：)上的每一時(shí)刻的 瞬時(shí)速度是以M=1為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.EG :已知f(x)1,則1啊陛兇型的值是()11A. -B. 2

11、C. -D. 244變式1：設(shè)3=4,則L叫f 3弓f 3為()A . 1B. 2C. 3(D. 4f Xo變式2:設(shè)f x在xo可導(dǎo)，則limo f滄X : x _3 x等于A 2f XoB. f XoC. 3f Xoox0 ： f/(2) ： (3) ： f一f(2) o f /(3) ： f 一 f(2) ： f/(2) 0：f/(3) f (2) ： f(3)-f(2) 0 ： f 一 f(2) f/ (2) 0. 且g(3)=0.則不等式f(x)g(x) V 0的解集是A . (-3,0) U (3,+%)B. (-3,0) U (0, 3)C. ( 8 ,- 3) U (3,+ s

12、)D. ( 8 ,- 3) U (0, 3)EG :已知函數(shù)y=xl nx.求這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；(2)求這個(gè)函數(shù)在點(diǎn)x = 1處的切線的方程.變式1:已知函數(shù)y二ex.(1) 求這個(gè)函數(shù)在點(diǎn)x=e處的切線的方程；(2) 過(guò)原點(diǎn)作曲線y= ex的切線，求切線的方程.2變式2：函數(shù)y= ax + 1的圖象與直線y= x相切，則a=()111A. - B. - C. - D. 1 842EG判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間：(1)f (x) =x3 3x;(2) f (x) x2-2x-3; f (x)二 si nx - x,x (0,二)；32 f(x) =2x 3x -24x1.變式1：函數(shù)f

13、(x) = X的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是A. -1,0 1 B. 2,81 C. 1,21 D. 0,2 1變式2：已知函數(shù)y =x3x2 ax -53(1)若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-3，1)，貝U a的是若函數(shù)在1J上是單調(diào)增函數(shù)，則a的取值范圍是 .變式3：設(shè)t = 0，點(diǎn)P( t，0)是函數(shù)f(x) = x3 ax與g(x)=bx2的圖象的一個(gè)公共點(diǎn), 兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處有相同的切線.(I)用 t 表示 a, b, c；(U)若函數(shù)y = f (x) _g(x)在(一1, 3)上單調(diào)遞減，求t的取值范圍.1EG 求函數(shù)f (x) =x3-4x+4的極值.3求函數(shù)f (x) =1 x34x -

14、 4在0,3 上的最大值與最小值.3變式1:函數(shù)f (x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a,b)，導(dǎo)函數(shù)(X)在(a, b)內(nèi)的圖象如圖所示，貝U函 數(shù)f (x)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)有極小值點(diǎn)()A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)變式2:已知函數(shù)f(x)二ax3 bx2 cx在點(diǎn)x0處取得極 大值5，其導(dǎo)函數(shù)八f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)，(2,0)， 如圖所示.求：(I) X。的值；(U) a,b,c 的值.變式3:若函數(shù)f (x)二ax3 - bx 4，當(dāng)x = 2時(shí)，函數(shù)(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)f(x)二k有3個(gè)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.變式4:已知函數(shù)f (x) = x3 -干2

15、 -2x c，對(duì)x一 1,2，不等式f (x)c2恒成立,求c的取值范圍。EG :利用函數(shù)的單調(diào)性，證明：In x：x：ex,x 0- 1變式1:證明：1In x 1乞x , x -1x +1變式2:(理科)設(shè)函數(shù)f(x)=(1+x)2 ln( 1+x)2.若關(guān)于x的方程f(x)=x2+x+a在0, 2上恰好有 兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.EG 函數(shù)f (x) x3 3x R ,若f mx2廣f 1 -mx 0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍 (兀、變式1:設(shè)函數(shù)f (x) = x3 +3x(x w R ,若f (msin日)+f(1-m)A0 0蘭日蘭一恒成立，求實(shí)數(shù)m的 2 丿取值范圍.

16、變式2:如圖,曲線段OMB是函數(shù)f(x) = x2(0沁乞6)的圖象，BA_x軸于點(diǎn)A,曲線段OMB上點(diǎn)M(t,t2)處的切線PQ交x軸于點(diǎn)P交線段AB于點(diǎn)Q,(1)若t已知,求切線PQ的方程求QAP的面積的最大值變式3:用長(zhǎng)為90cm寬為48cm的長(zhǎng)方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的容器，先在四角分別截去一個(gè)小 正方形，然后把四邊翻折900角，再焊接而成，問(wèn)該容器的高為多少時(shí)，容器的容積最大？最 大的容積是多少？ 變式4:某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本c(x) =1200 2 x3 (萬(wàn)元)，已知產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)75品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為50萬(wàn)元，產(chǎn)量定為多少時(shí)總利潤(rùn)最大？EG :計(jì)

17、算下列定積分：(理科定積分、微積分)(ifx;1 x)dx; 0 sin xdx;2 兀2 Ji(4) sin xdx; (5) sin xdx 變式1計(jì)算：；(1)已知曲線S:y=3x x3及點(diǎn)P(2, -2),則過(guò)點(diǎn)P可向S引切線的條數(shù)為()(A)0(B)1(C)2(D)3 C設(shè)S上的切點(diǎn)(X0,y。)求導(dǎo)數(shù)得斜率，過(guò)點(diǎn)P可求得：(X。 1)(X0-2)2 =0. 函數(shù)y二xcosx-sin x在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)().二 3 二3二 5 二(A)( ,3 )(B)(二2)(C)(3 ,5 )(D)(2；3二)2 22 2 y =2x3 3x2+a的極大值為6，那么a等于()(A)6(

18、 B)0(C)5(D)1 函數(shù)f (x) = x3 3x+1在閉區(qū)間-3，0上的最大值、最小值分別是()(A)1， 1(B)3，-17(C)1， 17(D)9，19 設(shè)11為曲線y1=si nx在點(diǎn)(0，0)處的切線，12為曲線y2=cosx在點(diǎn)(一,0)處的切線，貝U I 12與I 2的夾角為. 設(shè)函數(shù)f ( x)=x3+ax2+bx 1，若當(dāng)x=1時(shí)，有極值為1，則函數(shù)g(x)=x3+ax2+bx的單調(diào)遞減區(qū)間為 C0S2x dx ；( 2)2.4-x2dx10 cosx +sin x、0變式2：求將拋物線y2二x和直線x =1圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的體積.1變式3:在曲線y

19、 =x2 x _0上某一點(diǎn)A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍的面積為一12 試求：(1)切點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)在切點(diǎn)A的切線方程.實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練(x)的圖象可能19. ( 07湖北)已知函數(shù)y = f(x)的圖象在點(diǎn) M(1, f(1)處的切線方程是y，則2f f (1)= 10. (07湖南)函數(shù)f(x)=12x-x3在區(qū)間-3,3上的最小值是 11 . ( 07浙江)曲線y =x3 -2x2 -4x 2在點(diǎn)(1, - 3)處的切線方程是 9 .已知函數(shù)f (x) - -x3 ax2 b(a, b ：二 R)(I)若函數(shù)f (x)圖像上任意一點(diǎn)處的切線的斜率小于1,求證：3 ： a ： . 3 ；(

20、U)若0,11,函數(shù)y = f (x)圖像上任意一點(diǎn)處的切線的斜率為k，試討論k 1的充要條件。12. (07 安徽)設(shè)函數(shù) f (x) =-cos2x-4tsin 上 cos?+4t 2+t2-3t+4,x R,其中 t 1,將 f (x)的2 2最小值記為g(t).(I)求g(t)的表達(dá)式；(n)詩(shī)論g(t)在區(qū)間(-1,1 )內(nèi)的單調(diào)性并求極值 實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練B1 . ( 07福建)已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x ,有f (_ X)- - f( x) g(- X)二g(,x且x 0時(shí)， f ( x) 0 g (x) ,0則 x ：0 時(shí)( )A.f (x)0, g (x)0B.f (x)0,g (x) ：0C.f (x) g(x)，那么下列情形不可能出現(xiàn)的是()A. 0是f (x)的極大值，也是g(x)的極大值 B. 0是f(x)的極小值，也是g(x)的極小值 C. 0是f (x)的極大值，但不是g(x)的極值e2B. 4e2C. 2e2D. e223. (07海南)曲線y=ex在點(diǎn)(2, e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為()A. -e2B. 2e2C. e2D.424. (07江蘇)已知二次函數(shù)f (xH ax2 bx c的導(dǎo)數(shù)為f(x) , f (0) 0，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都