整理9廣義積分習(xí)題課

1、第九章 廣義積分習(xí)題課1、基本概念 無窮限廣義積分和無界函數(shù)廣義積分?jǐn)可⑿缘亩x、絕對收斂、條件收斂。2、斂散性判別法Cauchy 收斂準(zhǔn)則、比較判別法、 Cauchy 判別法、Abel 判別法、Dirichlet 判別法。3、廣義積分的計(jì)算4、廣義積分與數(shù)項(xiàng)級數(shù)的關(guān)系5、廣義積分?jǐn)可⑿缘呐袆e原則和程序 包括定義在的廣義積分的各種判別法都有特定的作用對象和原則，定義既 是定性的用于判斷簡單的具體廣義積分的斂散性，也是定量的用于計(jì) 算廣義積分， 其它判別法都是定性的， 只能用于判斷斂散性， Cauchy 判別法可 以用于抽象、半抽象及簡單的具體廣義積分的斂散性，比較判別法和 Cauchy 判別法

2、用于不變號函數(shù)的具體廣義積分和抽象廣義積分判別法， Abel 判別法和 Dirichlet 判別法處理的廣義積分結(jié)構(gòu)更復(fù)雜、更一般。對具體廣義積分?jǐn)可⑿耘袆e的程序：1、比較法。2、Cauchy 法。3、Abel 判別法和 Dirichlet 判別法4、臨界情況的定義法。5、發(fā)散性判別的 Cauchy 收斂準(zhǔn)則。注、對一個(gè)具體的廣義積分?jǐn)可⑿缘呐袆e，比較法和 Cauchy 法所起作用 基本相同。注、在判斷廣義積分?jǐn)可⑿詴r(shí)要求：1、根據(jù)具體題型結(jié)構(gòu)，分析特點(diǎn)，靈活選擇方法。2、處理問題的主要思想：簡化矛盾，集中統(tǒng)一，重點(diǎn)處理。3、重點(diǎn)要掌握的技巧：階的分析方法。二、典型例子下述一系列例子，都是要求

3、討論其斂散性。注意判別法使用的順序。例 1 判斷廣義積分 I0 xpdxxq 的斂散性。解、記 I 11 dx ， I0 xp xq ，I2q 時(shí)， p 1 時(shí)收斂， p1時(shí)發(fā)散。q ，不妨設(shè) p q ，則 I11 dx0 p q p ，故， p 0 時(shí)為常義積分，0 x (1 x )分析 從結(jié)構(gòu)看，主要是分析分母中兩個(gè)因子的作用。dx1 p q1 x x此時(shí)收斂p 0 時(shí)，由于對 I 1 ，先討論簡單情形。lim xp p 1 q p 1 x 0x p (1 xq p )因此， I 1與 p積分同時(shí)斂散，即 p 1 時(shí)收斂， p 1 時(shí)發(fā)散。因此，對I 1 ，此時(shí)廣義積分的斂散性完全由分母中

4、的低階項(xiàng)決定。上述結(jié)論也可以總結(jié)為： minp,q1 時(shí)收斂， maxp,q 1 時(shí)發(fā)散。 綜上：p 1 q或 q 1 p 時(shí)收斂，其余發(fā)散?；蛘邽椋簃inp,q10 。m2x分析 積分結(jié)構(gòu)中包含有正弦函數(shù)的因子，注意利用它的兩個(gè)特性：本身有界性用于獲得絕對收斂性的相關(guān)結(jié)論；積分片段的有界性用于獲得收斂性。注意驗(yàn)證積分片段有界性時(shí)的配因子方法。解：先分析絕對收斂性，由于sin(x 1)| m x |mx1， m， x故， m1 時(shí)，廣義積分絕對收斂。當(dāng) 0 m 1 時(shí)，利用配因子法驗(yàn)證積分片段的有界性，Asin(x1)dx|xA12 (1 x22xA| 2 sin(x12 )sin( xx11

5、1)d(x 1 xx1)dx|xA| 2 12dx M2x由 Dirichlet判別法，廣義積分收斂。由于11 cos2(x )x，m，x1 2 1 sin(x ) 2sin2 (x )xmx1x)x dx 收斂，2|xmx|而類似可以證明 2cos2(x11mdx 發(fā)散，因而，2x1|sin(x 1x)| m x dx x發(fā)散，故 0 m 1 時(shí)，廣義積分條件收斂。注、從解題過程中可知，利用定義可以證明m=0 時(shí)積分發(fā)散注、不能將積分分成如下兩部分sin(x 1)I 2xm x dx sinx 1 m cos dx m2 x xcosx 1m sin dx ，xx通過右端兩部分的收斂性得到I

6、 的收斂性，原因是只有當(dāng)右端兩項(xiàng)同時(shí)收斂時(shí)，才成立上述的分解結(jié)論例 3 討論 I分析 從結(jié)構(gòu)看，ln(1m x)dx 的斂散性。 x應(yīng)該分段處理，重點(diǎn)是討論ln (1x )的當(dāng) x 0 和時(shí)的性質(zhì)，進(jìn)行階的比較解、記I101ln(1xm x)dx，I20x1 ln(1xm x)dx。1x對I1，由于lim xm 1 ln(1 x) x 0xm1，故，當(dāng) m-1 1 ，即 m 0。xl分段處理，對第一部分的無界函數(shù)廣義積分，是非負(fù)函數(shù)的廣義積分，可以用比較判別法或 Cauchy 判別法，對第二部分的無窮限廣義積分，由于被積函數(shù)是變號函數(shù)，因此，應(yīng)該用Abel 判別法或 Dirichlet 判別法

7、。解：記 I 101esinxxsin2xdx， I20xsin xe sin 2x dx 1x對 I 1 ，當(dāng)1 1 ,i.e2 時(shí)，sinx1 e sin2x lim x 2e x 0 x故， I1 收斂由于此時(shí)被積函數(shù)不變號，故又絕對收斂。當(dāng)11 ,i.e2 時(shí)，sin x1 e sin2x lim x 0 xpsin xqdx的斂散性，其中 p、q非負(fù)。分析 從被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)可以發(fā)現(xiàn)，組成被積函數(shù)的兩個(gè)因子中，較難處理 2e x 0 x故， I1 發(fā)散對I 2，由于sinxe sin2x x故當(dāng)1時(shí)， I 2絕對）收斂。當(dāng)01 時(shí)，由于，對任意 A 1，Asin A2tetdtsin

8、xe sin 2xdx1sin12時(shí)，11 單調(diào)遞減趨于 0 ，由 Dirichlet 判別法， I 2 收斂。 x又，此時(shí)sin xexsin2xsin2xx1 sin2 2x exe 1 1 cos4x2 x x且111 dx 發(fā)散，xcos 4x dx收斂，因此，11xsin xe sin2xxdxe 發(fā)散。x因而，當(dāng) 01時(shí)， I 2條件收斂。綜上， 12時(shí)， I絕對收斂；01時(shí),I條件收斂 ；2時(shí)， I 發(fā)散。例 5 討論的是因子 sin x q ，因此，處理思想就是將其簡化，處理手段是變量代換。處理技巧是先易后難解、先考慮最簡情形： q0時(shí)的情形。1p記I1(p) 0xpdx， I

9、2(p)x pdx ，此時(shí)， I1( p) 、 I2(p) 分別是無界函數(shù)和無窮限廣義積分，因此， p1時(shí)， I1(p) 收斂； p1時(shí)， I1 (p) 發(fā)散；而對 I 2 ，p1時(shí) I2(p) 時(shí)收斂， p 1時(shí)I2(p)發(fā)散，故 q 0 時(shí)， I 發(fā)散。當(dāng)q0 時(shí)，令 t x q ，p 1 q ，則qp1q1 t q sin tdt q 0 1 t sin tdt01 t sin tdt1)對I2sin tdt ，由于 lim t sin1 t 1 ，故 I 1 與t 0 t 11, ie2時(shí)， I 1(絕對)收斂；t sin tdt ，由于 t sin t t ，故，10t 1dt 同時(shí)

10、斂散。因而，2時(shí)， I 1發(fā)散。1時(shí)， I2 絕對收斂；當(dāng)10時(shí)，由 Dirichlet 判別法， I2 (條件)收斂。當(dāng) 0 時(shí)，利用周期函數(shù)的積分性質(zhì)，則2nt sin tdt2n0 sintdt 2因而，由 Cauchy 收斂準(zhǔn)則， I2 發(fā)散。綜上： q 0 時(shí)，I 發(fā)散； q0 時(shí)， 1 p 1 0 時(shí)， I 絕對收斂； q0 p 1 1 時(shí)， I條件收斂； 1p 1 時(shí)， I 發(fā)散。qq注、本題的證明思想：過程：由易到難；矛盾集中，突出重點(diǎn)，抓住主要矛盾注、也可以用配因子法處理。下述的例子用階的分析法。1例 6 討論 I0 (1 sin x) x sin x x3! 1 dx 的斂

11、散性。0x分析首 先 將 積 分 分 段 處 理， 記 I11sinx 3(1 ) 3 1 dx ，xI 2 1 (111sin x) 3 1 dx。從被積函數(shù)結(jié)構(gòu)看，被積函數(shù)形式較為復(fù)雜，處理 x的方法一般是通過階的分析，估計(jì)其速度，從而估計(jì)斂散性，并進(jìn)一步驗(yàn)證。對 I1 ，分析奇點(diǎn)附近被積函數(shù)的階。由于3 sin x o(x3) ,x2x2o(x2)，3!1sinx - 3 因而， (1- ) 3 : x23 ，從而，判斷出被積函數(shù)在奇點(diǎn)處的奇性。對I2 ，對被積函數(shù)作階的分析， 由于 x充分大時(shí)sinx a ，它們都在 a, A上可積，證明：若 f (x) g(x) h(x) 且廣義積

12、分+ ?+?a f(x)dx、 h( x)dx都收斂，則 g(x)dx也收斂。分析 題目類似極限的兩邊夾定理，但是條件較弱，證明思路是通過條件尋找它們之間的關(guān)系，利用性質(zhì)或定義或比較法進(jìn)行判斷。證明：由所給的關(guān)系式，則0? g(x)f(x)? h(x) f (x)，由條件和廣義積分性質(zhì)，則+? (h(x)- f ( x)dx收斂，由比較判別法，則+?a (g(x)- f(x) dx收斂，由于 g(x)= g(x)- f (x)+ f (x)， 再次利用積分性質(zhì)，則 g(x)dx收斂。注、例 10 結(jié)論表明，對待考察的廣義積分的被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)墓烙?jì)，去掉一些次要因素的影響，由此得到收斂性，體現(xiàn)

13、了研究廣義積分收斂性的又一思想。注、盡管例 8 和例 10 體現(xiàn)的處理問題的思想類似， 但是，由于例 8 是等價(jià)的轉(zhuǎn)化，得到的是同斂散的結(jié)論，因此，例 8 的結(jié)論比例 10 要好。面的命題用于處理另一類廣義積分的斂散性。例 11設(shè) f(x)0 且單調(diào)遞減，證明 f (x)dx 與 f ( x)sin 2 xdx 同時(shí)斂散。aa證明：因?yàn)?f(x)0 且單調(diào)遞減，故 lim f (x) 存在。 x故，limxf (x) 0 ，則由 Dirichlet 判別法，f ( x)cos 2xdx收斂。由于22f ( x)sin 2 xdx f(x)dxf ( x)cos 2xdxf (x)dx與f (

14、x)sin 2 xdx同時(shí)斂散。limxf(x)b0 ，此時(shí)f (x)dx 發(fā)散。由極限定義，存在 Aa ，使得xA 時(shí)，f (x)故，取 n 充分大，使得2nA2f ( x)sin xdx2 A 2n18b ，4 A ，則故， f (x)sin 2 xdx 發(fā)散。因而，此時(shí)二者同時(shí)發(fā)散。面的例子用上述結(jié)論很容易處理。例 12 討論 I2 xpsinsixnxdx的斂散性。I2故，解、由于sin xxp sin x2sin x sin xp p px x (x sin x)sinx ， 已 p dx ， 已 x2p spin x dx 的斂散性，注意到 xp(xp sin x)I122 sin

15、 x sin x 2x2pxp(xp 1)I2sin2 x時(shí)斂散，知 p0 時(shí) 收 斂 ， p2sin xxp(xp sin x)2sin xxp(xp 1)0時(shí)發(fā)散2sin 2 xx2p22 xp(xp sin x)dx與 2 sixn2pxdx同時(shí)斂散，由例 11，又與即 p 1 時(shí)收斂， p 1 時(shí)發(fā)散。222 psinx dx當(dāng) p 1時(shí)收斂， p 1 時(shí)發(fā)散。2 x sinx 2 2注、這類題目的討論技巧性高，得到的結(jié)論也深刻。 事實(shí)上，和故， I為討論x12pdx同sinxp dx2 xp作對比可以發(fā)現(xiàn)，分母上增加因子 sinx ，深刻改變了其斂散性，使得收斂圍變 小。這也反映了廣

16、義積分?jǐn)可⑿缘膹?fù)雜性。注、例 12 也表明了因子 sinx 的復(fù)雜作用，當(dāng)它處在分子上時(shí)，可以充分 利用其本身有界和積分片段的有界性得到一些斂散性結(jié)論；但是，當(dāng)這個(gè)因子 處在分母上時(shí)，其變號且非單調(diào)的性質(zhì)起到了很大的作用，從而影響到了廣義 積分的斂散性。也可以通過與例 9 的結(jié)論對比發(fā)現(xiàn)這些差異，例 9 中，分母為 1 xq xq ，因子 1 不起作用，此例中，分母中的因子 sinx 起到了影響斂散性 的作用。例 13 若 f ( x)dx收斂， f(x)在a, )單調(diào)，則 f (x) o(1) (x)，a即 lim xf (x) = 0 。x? ?分析 要證明的結(jié)論表明，要研究的是被積函數(shù)的

17、極限行為( x) ，即要控制當(dāng) x 充分大時(shí)的 xf (x)，而從廣義積分的收斂性的條件能產(chǎn)生與被積 函數(shù)的無窮遠(yuǎn)處的行為有關(guān)的結(jié)論就是 Cauchy 收斂準(zhǔn)則，因此，建立二者的 橋梁為 Cauchy 收斂準(zhǔn)則。因此，證明的關(guān)鍵就是如何從 Cauchy 片段 A f (t )dt中分離出 xf(x)，因此，必須通過選擇與 x 有關(guān)的 A, A ?達(dá)到目 的，特別注意 f(x )可以由被積函數(shù)產(chǎn)生，即從積分號下把被積函數(shù)分離出來， 而系數(shù)顯然要通過積分限產(chǎn)生。證明：設(shè) f (x) 單調(diào)遞減，由 f ( x)dx收斂，則 f (x) 0。由Cauchy 收斂 a準(zhǔn)則，存在充分大 A0 0 ，使得對

18、任意 A2 A1 A0 ，成立A2A1 f (t)dt e，x對任意 x 2A0，取 A2 x ,A1 ，則0 2 1 2xx f (t)dt N ，使得 n? Mn+ 1 ，故f (x)dxMnf (x)dx f(x)dxaanf (x)dx af (x)dxM| n f (x)dx|(M n)故，f (x)dx A 。下面給出幾個(gè)廣義積分的計(jì)算題目關(guān)于廣義積分的計(jì)算，基本思路和方法是利用 N-L 公式、分部積分、極限 運(yùn)算。技巧是選擇合適的變量代換例 18 (Frullani 積分)證明：若 f (x) C0, ) 且對任意 A 0，廣義積 分f (x) dx收斂，則 I f(ax) f

19、(bx)dx f (0) ln bA x 0 x a分析 解題思想是將待計(jì)算的未知的積分轉(zhuǎn)化為已知的積分，手段是利用變量代換。事實(shí)上，已知的是積分形式 A f(xx)dx ，待計(jì)算的量是形式+? f (ax)- f (bx)dx，因此，可以利用極限將兩種形式，也將已知和未知的量聯(lián)系起來。證明：對任意的0，則同樣，f(bx)dxt bxxf (ax) dxtxf(t)dt。 btax f (t)dt； at因而，I lim0f (ax) f (bx)dxlim0ab f(xx)dx利用積分中值定理，lim0例 19 證明：b1f( ) a 1dxaxf (ax b)dxxf (0)ln baf

20、( t2 4ab )dt ，其中 a 0,b 0 ，積分有意義。分析 從證明的結(jié)論中可以發(fā)現(xiàn)所應(yīng)該采取的方法和手段，即應(yīng)該是選擇一個(gè)合適的變換，使得b axxt24ab ，從這一關(guān)系式中可以發(fā)現(xiàn)，變換不唯一。證明：令 ax bxt ，則ax且x1 (tt 2 4ab),2adx12abxt t2 4abdt ，故t2 4abt 2 4abf (ax b)dx x12af( t2 4ab)t tt2 2 4a4bab dt21a f ( t24ab)t2t4ab dt，t 2 4ab0 2 tt2 4abf ( t2 4ab)tt 4abdtt 2 4abf ( t24ab) t22 4ab t

21、dt，t 2 4ab由此可證明命題。b 注、也可以取 b-xax= t ，此時(shí) x=2a(t + t2 + 4ab) 。例 20 計(jì)算 Ilnx2 dx 。1 x2分析 這類題目是無法直接計(jì)算出來的，常用的技巧是分段，選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，在兩個(gè)積分段之間尋找連續(xù)解、由于1I01 ln x 011 (1 x2)(12 dx ，而二者都收斂，故， x2lnx2 dx 0 。1 x2例 21證明x ) dx ( 0) 與 無關(guān)。證明：12(1 x2 )(1)dx1t20 (1 t 2)(1)dt因而 I2 dx (1 x2)(1 x )1)dx2(1 x2 )(1 x0 1 2 dt0 1 t2故其

22、與無關(guān)。面討論廣義積分和無窮和的極限的關(guān)系。例 22設(shè) f (x) 在(0，1 單調(diào)， x=0 為其奇點(diǎn)，廣義積分1f(x)dx 收斂，證明：10 f (x)dx lim 1nnkf (k)。 n k 1 n分析與例 16 類似，將積分轉(zhuǎn)化為有限和，進(jìn)而考察相互的關(guān)系。證明 :設(shè) f(x) 在( 0，1單調(diào)遞增，則因而，利用kkn1 f (x)dxn(kn)nk1nknf(x)dx,10 f (x)dx 的收斂性，則10 f (x)dx 0 k 1nkkn 1 f (x)dx n1n nk1f(kn)nn 1 1 k 11 f(k) 1 f(1) k 1n n nn1k1nk1f (x)dx1

23、f (1)n11 f (x)dxn1f (1) ，n由此，命題得證。注、由此可得lim n n! nnlimnelnnnn!limnlnknln xdx即：nn n! e n 。例 23 設(shè)對任意 A0 ，f(x)R0, A 且 limxf (x) a ，證明：ltim0 t 0 etx f (x)dx a 。分析 題目中所給的定量條件只有 lim f (x) xa ，為了利用這個(gè)條件，仍然可以利用形式統(tǒng)一方法對結(jié)論進(jìn)行變形，從中可以看到要證明結(jié)論等價(jià)于txltim0 t 0 e tx (f (x) a)dx 0，為利用條件，只需分段處理即可，即分別研究A txt 0 e tx ( f(x)

24、a)dx 、t A e tx(f (x) a)dx tA e y( f(ty) a)dttA的極限行為。證明：因?yàn)?lim f (x) a ，故存在 M0,x使得 xM時(shí)， | f (x) a| 1 ；又f(x) R0,M 1 ，因而，f(x) 有界 C。注意到 t 0 e txdx1，故只需證明 ltim0 t0 e tx | f (x)a|dx 0 。由于對任意0 ，存在 A0 ，使得 xA 時(shí) | f (x)a| ，故txt 0 e tx | f (x)a|dx t e tx | f (x) a|dx te tx | f (x) a|dx(C a)t 0 e txdxA te txdx

25、(C a)(1 e tA)0 e xdxtA(C a)(1 e tA)由于 1 e tA 0 ,( t 0) ，故，存在 0, 0 t 時(shí)，|1 e tA| ，因而 Cat 0 e tx | f (x) a|dx 2故， lim t e tx | f(x) a|dx 0 。t 0 0面是一些判斷題。22 、判斷下列命題是否成立。1)、設(shè) f (x) 在任意區(qū)間 a, A上可積，若對任意的0、 B 0，存在 A0，AB使得對任意的 A A0 ，都成立f(x)dx ，則f (x)dx 收斂。Aa解：錯(cuò)。正確理解 Cauchy 收斂準(zhǔn)則 反例。如 1dx ，則 對任意的 B 0 都有 1xB1dxxln(1 BA)但 1dx 發(fā)散。1x2)、設(shè) f (x) 在任意區(qū)間 a,A上可積，若xf ( x)dx收斂，則f(x)dxaa收斂。1解、正確。利用 f (x)xf(x) 和 Abel 判別法即可。xxn 13)、若存在 xn使得 x f (x)dx 發(fā)散，則 a f ( x)dx發(fā)散。xnan1解、正確。事實(shí)上， a f(x)dx 收斂充要條件為對任意的 xn an1x n 1xnf (x)dx 收斂。證明：若f (x)dx 收斂， x n，則由于x nx1f ( x) dx f ( x) dx aak1xnk1f ( x