3. 其他探究題（解析版）2021年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難題型突破

1、類型八 其他探究題【典例1】小明將兩個(gè)直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖形，與恰好為對(duì)頂角，連接，點(diǎn)F是線段上一點(diǎn)探究發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)時(shí)，連接（如圖（2），小明經(jīng)過(guò)探究，得到結(jié)論：你認(rèn)為此結(jié)論是否成立？_（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）將（1）中的條件與結(jié)論互換，即：若，則點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)請(qǐng)判斷此結(jié)論是否成立若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由問(wèn)題解決：（3）若，求的長(zhǎng)【答案】（1）是；（2）結(jié)論成立，理由見(jiàn)解析；（3）【解析】【分析】（1）利用等角的余角相等求出A=E，再通過(guò)AB=BD求出A=ADB，緊接著根據(jù)直角三角形斜邊的中線

2、等于斜邊的一半求出FD=FE=FC，由此得出E=FDE，據(jù)此進(jìn)一步得出ADB=FDE，最終通過(guò)證明ADB+EDC=90證明結(jié)論成立即可；（2）根據(jù)垂直的性質(zhì)可以得出90，90，從而可得，接著證明出，利用可知，從而推出，最后通過(guò)證明得出，據(jù)此加以分析即可證明結(jié)論；（3）如圖，設(shè)G為的中點(diǎn)，連接GD，由（1）得，故而，在中，利用勾股定理求出，由此得出，緊接著，繼續(xù)通過(guò)勾股定理求出，最后進(jìn)一步證明，再根據(jù)相似三角形性質(zhì)得出，從而求出，最后進(jìn)一步分析求解即可.【詳解】（1）ABC=CDE=90，A+ACB=E+ECD，ACB=ECD，A=E，AB=BD，A=ADB，在中，F(xiàn)是斜邊CE的中點(diǎn)，F(xiàn)D=FE

3、=FC，E=FDE，A=E，ADB=FDE，F(xiàn)DE+FDC=90，ADB+FDC=90，即FDB=90，BDDF，結(jié)論成立，故答案為：是；（2）結(jié)論成立，理由如下：，90，90，又，又90，90，F(xiàn)為的中點(diǎn)；（3）如圖，設(shè)G為的中點(diǎn)，連接GD，由（1）可知，又，在中，在中，在與中，ABC=EDC，ACB=ECD，【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)及判定的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)方法是解題關(guān)鍵.【典例2】如圖，在菱形ABCD中，ABAC，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊BC，CD上，BECG，AF平分EAG，點(diǎn)H是線段AF上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合）（1）求證：AEHAGH；（2）當(dāng)AB12

4、，BE4時(shí)求DGH周長(zhǎng)的最小值；若點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，是否存在直線OH將ACE分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為1：3若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【分析】（1）先判斷出ABC是等邊三角形，進(jìn)而判斷出ACDABC，判斷出ABEACG，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出EH+DH最小時(shí)，AEH的周長(zhǎng)最小，在RtDCM中，求出CM6，DM6，在RtDME中，根據(jù)勾股定理得，DE2，即可得出結(jié)論；分兩種情況：、當(dāng)OH與線段AE相交時(shí)，判斷出點(diǎn)N是AE的中點(diǎn)，即可得出結(jié)論；、當(dāng)OH與CE相交時(shí)，判斷出點(diǎn)Q是CE的中點(diǎn)，再構(gòu)造直角三角形，即可得出結(jié)論【解答】（1）證明：四邊形

5、ABCD是菱形，ABBC，ABAC，ABBCAC，ABC是等邊三角形，ABC60，BCD120，AC是菱形ABCD的對(duì)角線，ACDBCD60ABC，BECG，ABEACG（SAS），AEAG，AF平分EAG，EAFGAF，AHAH，AEHAGH（SAS）；（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DMBC交BC的延長(zhǎng)線于M，連接DE，AB12，BE4，CG4，CEDG1248，由（1）知，AEHAGH，EHHG，lDGHDH+GH+DGDH+HE+8，要是AEH的周長(zhǎng)最小，則EH+DH最小，最小為DE，在RtDCM中，DCM18012060，CDAB12，CM6，DMCM6，在RtDME中，EMCE+CM14，根

6、據(jù)勾股定理得，DE2，DGH周長(zhǎng)的最小值為2+8；、當(dāng)OH與線段AE相交時(shí)，交點(diǎn)記作點(diǎn)N，如圖2，連接CN，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，SAONSCONSACN，三角形的面積與四邊形的面積比為1：3，SCENSACN，ANEN，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，ONCE，；、當(dāng)OH與線段CE相交時(shí)，交點(diǎn)記作Q，如圖3，連接AQ，F(xiàn)G，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，SAOQSCOQSACQ，三角形的面積與四邊形的面積比為1：3，SAEQSACQ，CQEQCE（124）4，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，OQAE，設(shè)FQx，EFEQ+FQ4+x，CFCQFQ4x，由（1）知，AEAG，AF是EAG的角平分線，EAFGAF，AFAF，AEFAGF（S

7、AS），F(xiàn)GEF4+x，過(guò)點(diǎn)G作GPBC交BC的延長(zhǎng)線于P，在RtCPG中，PCG60，CG4，CPCG2，PGCP2，PFCF+CP4x+26x，在RtFPG中，根據(jù)勾股定理得，PF2+PG2FG2，（6x）2+（2）2（4+x）2，x，F(xiàn)Q，EF4+，OQAE，即的值為或【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定，菱形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，角平分線的定義，判斷出點(diǎn)N是AE的中點(diǎn)和點(diǎn)Q是CE的中點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵【典例3】綜合與探究在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yx2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸上，且OA

8、OB，直線AB與拋物線在第一象限交于點(diǎn)C（2，6），如圖（1）求拋物線的解析式；（2）直線AB的函數(shù)解析式為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，cosABO；連接OC，若過(guò)點(diǎn)O的直線交線段AC于點(diǎn)P，將AOC的面積分成1：2的兩部分，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）在y軸上找一點(diǎn)Q，使得AMQ的周長(zhǎng)最小具體作法如圖，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A，連接MA交y軸于點(diǎn)Q，連接AM、AQ，此時(shí)AMQ的周長(zhǎng)最小請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（4）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)A、O、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【分析】（1）將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式即可求解；（2）點(diǎn)A（4，0），O

9、BOA4，故點(diǎn)B（0，4），即可求出AB的表達(dá)式；OP將AOC的面積分成1：2的兩部分，則APAC或AC，即可求解；（3）AMQ的周長(zhǎng)AM+AQ+MQAM+AM最小，即可求解；（4）分AC是邊、AC是對(duì)角線兩種情況，分別求解即可【解答】解：（1）將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得，故直線AB的表達(dá)式為：yx2+2x；（2）點(diǎn)A（4，0），OBOA4，故點(diǎn)B（0，4），由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)得，直線AB的表達(dá)式為：yx+4；則ABO45，故cosABO；對(duì)于yx2+2x，函數(shù)的對(duì)稱軸為x2，故點(diǎn)M（2，2）；OP將AOC的面積分成1：2的兩部分，則APAC或AC，則，即，解得：yP2或4，故點(diǎn)

10、P（2，2）或（0，4）；故答案為：yx+4；（2，2）；（2，2）或（0，4）；（3）AMQ的周長(zhǎng)AM+AQ+MQAM+AM最小，點(diǎn)A（4，0），設(shè)直線AM的表達(dá)式為：ykx+b，則，解得，故直線AM的表達(dá)式為：yx，令x0，則y，故點(diǎn)Q（0，）；（4）存在，理由：設(shè)點(diǎn)N（m，n），而點(diǎn)A、C、O的坐標(biāo)分別為（4，0）、（2，6）、（0，0），當(dāng)AC是邊時(shí)，點(diǎn)A向右平移6個(gè)單位向上平移6個(gè)單位得到點(diǎn)C，同樣點(diǎn)O（N）右平移6個(gè)單位向上平移6個(gè)單位得到點(diǎn)N（O），即06m，06n，解得：mn6，故點(diǎn)N（6，6）或（6，6）；當(dāng)AC是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)公式得：4+2m+0，6+0n+0，解得：m2

11、，n6，故點(diǎn)N（2，6）；綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（6，6）或（6，6）或（2，6）【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、圖形的平移、面積的計(jì)算等，其中（4），要注意分類求解，避免遺漏【典例4】已知正方形ABCD，點(diǎn)E在直線AD上(不與點(diǎn)A、D重合)，連接BE，作EFBE，且EFBE，過(guò)點(diǎn)F作FGBC，交直線BC于點(diǎn)G.(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)G在邊BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：ABAEBG；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)E在邊DA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)G在邊BC上時(shí)，F(xiàn)G交AD于點(diǎn)H，試猜想AB、AE與BG的關(guān)系，并加以證明；(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)E在邊AD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)G在邊BC上

12、時(shí)，F(xiàn)G交AD于點(diǎn)N，請(qǐng)直接寫出線段AB、AE、BG之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明圖 圖 圖第4題圖【答案】(1)證明：如解圖，延長(zhǎng)AD交GF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，四邊形ABCD是正方形，第4題解圖A90，ABC90，又FGBC，四邊形ABGM是矩形，AMBG，A90，EFBE，M90，AEBMFE，在ABE和MEF中，ABEMEF(AAS)，ABEM，AMAEEMAEAB，ABAEBG；(2)ABAEBG；證明：FEHBEA90，BEAABE90，F(xiàn)EHABE，在ABE和HEF中，ABEHEF(AAS)，EHAB，EHAEABAEAH，四邊形ABGH是矩形，AHBG，ABAEBG；(3)AEABBG.

13、【解法提示】由(2)得ABENEF，NEAB，ANNEANABAE，BGAN，AEABBG.【典例5】如圖，在等腰RtABC和等腰RtEDB中，ACBC，DEBD，ACBEDB90，P為AE的中點(diǎn)(1)觀察猜想連接PC、PD，則線段PC與PD的位置關(guān)系是_，數(shù)量關(guān)系是_；(2)探究證明如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其他條件不變，作EFBC于F，連接PF，試判斷PCF的形狀，并說(shuō)明理由；(3)拓展延伸在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)PCF是等邊三角形時(shí)，直接寫出ACB與EDB的兩直角邊之比【答案】解：(1)PCPD，PCPD；【解法提示】如解圖，過(guò)點(diǎn)E作EFBC于F，過(guò)點(diǎn)P作PHBC于H，連接PF，易得

14、四邊形EFBD是正方形，EFED，DEBFEB45，PEFPED135，在PEF和PED中，PEFPED(SAS)，PFPD，EPFEPD，ACPHEF，點(diǎn)P為AE的中點(diǎn)，點(diǎn)H是FC的中點(diǎn)，CHHF，又PHBC，PCPF，故PCF是等腰三角形，CPHFPH，PCPD；HPBHPFEPF45，CPDCPHHPFEPFEPD2(HPFEPF)90，PCPD.(2)PCF為等腰三角形，理由如下：如解圖，過(guò)點(diǎn)P作PHBC于點(diǎn)H，則ACPHEF，P為AE的中點(diǎn)，點(diǎn)H是FC的中點(diǎn)，CHHF，又PHBC，PCPF，PCF為等腰三角形；(3)2.【解法提示】如解圖，過(guò)點(diǎn)E作EFBC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)P作PHBC于點(diǎn)

15、H，由(1)知，四邊形BDEF為正方形，設(shè)EFBFBDx，HFy，PCF是等邊三角形，PHy，PHEF，BEFBPH，即，解得yx，BCx2y(2)x，2.ACB與EDB的兩直角邊之比為2.【典例6】問(wèn)題背景：如圖（1），已知，求證：；嘗試應(yīng)用：如圖（2），在和中，與相交于點(diǎn)點(diǎn)在邊上，求的值；拓展創(chuàng)新：如圖（3），是內(nèi)一點(diǎn)，直接寫出的長(zhǎng) 【答案】23問(wèn)題背景：見(jiàn)詳解；嘗試應(yīng)用：3；拓展創(chuàng)新：【解析】【分析】問(wèn)題背景：通過(guò)得到，再找到相等的角，從而可證；嘗試應(yīng)用：連接CE，通過(guò)可以證得，得到，然后去證，通過(guò)對(duì)應(yīng)邊成比例即可得到答案；拓展創(chuàng)新：在AD的右側(cè)作DAE=BAC，AE交BD延長(zhǎng)線于E，連

16、接CE，通過(guò)，然后利用對(duì)應(yīng)邊成比例即可得到答案【詳解】問(wèn)題背景：，BAC=DAE， ，BAD+DAC=CAE+DAC，BAD=CAE，；嘗試應(yīng)用：連接CE，BAD+DAC=CAE+DAC，BAD=CAE，由于，即，又，即，又，；拓展創(chuàng)新：如圖，在AD的右側(cè)作DAE=BAC，AE交BD延長(zhǎng)線于E，連接CE，ADE=BAD+ABD，ABC=ABD+CBD，ADE=ABC，又DAE=BAC，又DAE=BAC，BAD=CAE，設(shè)CD=x，在直角三角形BCD中，由于CBD=30，【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的綜合問(wèn)題，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【典例7】以下虛線框中為一個(gè)合作學(xué)習(xí)小組在一

17、次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的過(guò)程記錄，請(qǐng)閱讀后完成虛線框下方的問(wèn)題（1）在中，在探究三邊關(guān)系時(shí)，通過(guò)畫(huà)圖，度量和計(jì)算，收集到，組數(shù)據(jù)如下表：（單位：厘米）（2）根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，選取上表中和的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析；設(shè)，以為坐標(biāo)，在圖所示的坐標(biāo)系中描出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)；連線；觀察思考（3）結(jié)合表中的數(shù)據(jù)以及所面的圖像，猜想當(dāng) 時(shí)，最大；（4）進(jìn)一步C猜想：若中，斜邊為常數(shù)，），則 時(shí)，最大推理證明（5）對(duì)（4）中的猜想進(jìn)行證明問(wèn)題1在圖中完善的描點(diǎn)過(guò)程，并依次連線；問(wèn)題2補(bǔ)全觀察思考中的兩個(gè)猜想： _ _問(wèn)題3證明上述中的猜想：?jiǎn)栴}4圖中折線是一個(gè)感光元件的截面設(shè)計(jì)草圖，其中點(diǎn)間的距離是厘米，厘米，平行光線從區(qū)域射入，線段

18、為感光區(qū)城，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為多少時(shí)，感光區(qū)域長(zhǎng)度之和最大，并求出最大值【答案】問(wèn)題1：見(jiàn)解析；問(wèn)題2：2，；問(wèn)題3：見(jiàn)解析；問(wèn)題4：當(dāng)時(shí)，感光區(qū)域長(zhǎng)度之和最大為【解析】【分析】問(wèn)題1：根據(jù)（1）中的表格數(shù)據(jù)，描點(diǎn)連線，作出圖形即可；問(wèn)題2：根據(jù)（1）中的表格數(shù)據(jù)，可以得知當(dāng)2時(shí)，最大；設(shè)，則，可得，有，可得出；問(wèn)題3：可用兩種方法證明，方法一：（判別式法）設(shè)，則，可得，有，可得出；方法二：（基本不等式），設(shè)，得，可得，根據(jù)當(dāng)時(shí)，等式成立有，可得出；問(wèn)題4：方法一：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，垂足為，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，垂足為，交于點(diǎn)，由題可知：在中，得，根據(jù)，有，得，易證四邊形為矩形，四邊形為矩形，根據(jù)可得，

19、由問(wèn)題3可知，當(dāng)時(shí)，最大，則有時(shí)，最大為；方法二：延長(zhǎng)相交于點(diǎn)同法一求得：，根據(jù)四邊形為矩形，有，得到，由問(wèn)題3可知，當(dāng)時(shí)，最大則可得時(shí)最大為【詳解】問(wèn)題1：圖問(wèn)題2：；問(wèn)題3：法一：（判別式法）證明：設(shè)在中，關(guān)于的元二次方程有實(shí)根，當(dāng)取最大值時(shí)，當(dāng)時(shí)，有最大值法二：（基本不等式）設(shè)在中， 當(dāng)時(shí)，等式成立，當(dāng)時(shí)，有最大值問(wèn)題4：法一：延長(zhǎng)交于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)垂足為過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)垂足為交于點(diǎn)由題可知：在中，即又，在中，即四邊形為矩形，四邊形為矩形，在中，由問(wèn)題3可知，當(dāng)時(shí)，最大時(shí)，最大為即當(dāng)時(shí)，感光區(qū)域長(zhǎng)度之和最大為法二：延長(zhǎng)相交于點(diǎn)同法一求得：設(shè)四邊形為矩形，由問(wèn)題3可知，當(dāng)時(shí)，最大時(shí)最大為即當(dāng)時(shí)，感光區(qū)域長(zhǎng)度之和最大為【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程，二次函數(shù)，不等式，解直角三角形，三角函數(shù)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【典例8】如圖，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，0）且平行于y軸，二次函數(shù)yax22ax+c（a、c是常數(shù)，a0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1，1)，交直線l于點(diǎn)N，圖象的頂點(diǎn)為D，它的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C，直線DM、DN分別與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（1）當(dāng)a1時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)及的值；（2）隨著a的變化，的值是否